L’essentiel
Définitions et propriétés du cours, pour s’y retrouver
Cette page rassemble les énoncés du cours, sans les activités qui leur donnent du sens, sans les justifications, les exemples ni les méthodes vues en classe. Connaître ces énoncés ne suffit pas : l’essentiel, c’est de savoir les utiliser, et cela s’apprend avec les exemples et les exercices.
Sers-t’en pour retrouver un énoncé ou vérifier que tu peux le redire sans regarder, puis retourne au cours (lien « dans le cours » sous chaque encadré) et aux exercices.
Chapitre 1 — Généralités sur les suites
Qu’est-ce qu’une suite numérique ?
Définition 1.1 — suite numérique
Une suite numérique est une fonction dont le domaine est \(\mathbb{N}\) (les naturels \(0, 1, 2, \ldots\)) ou \(\mathbb{N}_{0}\) (les naturels sans le \(0\) : \(1, 2, 3, \ldots\)). C’est donc une liste ordonnée de nombres réels, où chaque nombre est repéré par sa position.
Générer une suite
Définition 1.2 — formule explicite
Une formule explicite donne le terme \(u_{n}\) directement en fonction de son rang \(n\). Elle permet de calculer n’importe quel terme sans connaître les précédents.
Définition 1.3 — relation de récurrence
Une relation de récurrence (du premier ordre) exprime chaque terme en fonction du précédent. Pour déterminer entièrement la suite, il faut aussi connaître son premier terme.
Variations d’une suite
Définition 1.4 — variation
Soit \((u_{n})\) une suite. On dit qu’elle est
- croissante si \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \leq u_{n+1}\),
- strictement croissante si \(\forall n \in \mathbb{N},u_{n} < u_{n+1}\) ;
- décroissante si \(\forall n \in \mathbb{N},u_{n} \geq u_{n+1}\),
- strictement décroissante si \(\forall n \in \mathbb{N},u_{n} > u_{n+1}\) ;
- constante si \(\forall n \in \mathbb{N},u_{n} = u_{n+1}\) ;
- quelconque si elle n’est dans aucun des cinq cas ci-dessus.
Limite d’une suite
Définition 1.5 — limite, convergence
Soit \((u_{n})\) une suite et \(\ell \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}\) . On dit que \((u_{n})\) converge vers \(\ell\) (ou que la limite de \((u_{n})\) vaut \(\ell\)) si les termes \(u_{n}\) se rapprochent autant qu’on veut de \(\ell\) lorsque le rang \(n\) est suffisamment grand. On note alors
\[ \lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = \ell. \]
Sinon, on dit que la suite diverge.
Chapitre 2 — Suites arithmétiques
Définition
Définition 2.1 — suite arithmétique
Une suite arithmétique est une suite numérique telle que la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette différence constante est appelée la raison, notée \(r\) :
\[ u_{n+1} - u_{n} = r \quad \text{pour tout} n \in \mathbb{N}. \]
Représentation et variation
Propriété 2.1 — variation d’une suite arithmétique
Soit \((u_{n})\) une suite arithmétique de raison \(r\).
- si \(r > 0\), la suite est strictement croissante ;
- si \(r = 0\), la suite est constante ;
- si \(r < 0\), la suite est strictement décroissante.
Générer une suite arithmétique
Propriété 2.2 — génération
Soit \((u_{n})\) une suite arithmétique de raison \(r\) et de premier terme \(u_{0}\).
- Relation de récurrence : \(u_{n+1} = u_{n} + r\).
- Formule explicite : \(u_{n} = u_{0} + n r\).
Propriété 2.3 — d’un terme à un autre
Pour une suite arithmétique de raison \(r\) et pour tous rangs \(n\) et \(p\) :
\[ u_{n} = u_{p} + (n - p) r. \]
Propriété 2.4 — raison à partir de deux termes
Pour une suite arithmétique et deux rangs distincts \(n \neq p\) :
\[ r = \frac{u_{n} - u_{p}}{n - p}. \]
Caractéristiques : variation, limite
Propriété 2.5 — limite d’une suite arithmétique
Soit \((u_{n})\) une suite arithmétique de raison \(r\). Alors
- si \(r=0\), \(\lim\limits_{n\to +\infty}u_{n}=u_{0}\) ;
- si \(r>0\), \(\lim\limits_{n\to +\infty}u_{n}=+\infty\) ;
- si \(r<0\), \(\lim\limits_{n\to +\infty}u_{n}=-\infty\) ;
Somme des \(n\) premiers termes
Propriété 2.6 — somme des \(n\) premiers termes
Soit \((u_{n})\) suite arithmétique de raison \(r\). Alors la somme \(S_{n}\) des \(n\) premiers termes vaut
\[ S_{n} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n-1} = \frac{n}{2} (u_{0} + u_{n-1}). \]
Plus généralement, une somme de termes consécutifs vaut
\[ \frac{\text{nombre de termes}}{2} \times (\text{premier terme} + \text{dernier terme}). \]
Chapitre 3 — Suites géométriques
Définition
Définition 3.1 — suite géométrique
Une suite géométrique est une suite numérique telle que le rapport entre deux termes consécutifs est constant (et non nul). Ce rapport constant est appelé la raison, notée \(q\) (pour la distinguer de la raison \(r\) d’une suite arithmétique) :
\[ \frac{u_{n+1}}{u_{n}} = q \quad \text{pour tout} n \in \mathbb{N}. \]
Représentation et variation
Propriété 3.1 — variation d’une suite géométrique
Soit \((u_{n})\) une suite géométrique de premier terme \(u_{0} \neq 0\) et de raison \(q\). Sa variation dépend de la raison \(q\) et du signe du premier terme \(u_{0}\) :
| \(q < 0\) | \(0 < q < 1\) | \(q = 1\) | \(q > 1\) | |
|---|---|---|---|---|
| \(u_{0} > 0\) | quelconque | strict. décroissante | constante | strict. croissante |
| \(u_{0} < 0\) | quelconque | strict. croissante | constante | strict. décroissante |
Générer une suite géométrique
Propriété 3.2 — génération
Soit \((u_{n})\) une suite géométrique de raison \(q\) et de premier terme \(u_{0}\).
- Relation de récurrence : \(u_{n+1} = q \cdot u_{n}\).
- Formule explicite : \(u_{n} = u_{0} \cdot q^{n}\).
Propriété 3.3 — d’un terme à un autre
Pour une suite géométrique de raison \(q\) et pour tous rangs \(n\) et \(p\) :
\[ u_{n} = u_{p} \cdot q^{n - p}. \]
Propriété 3.4 — raison à partir de deux termes
Pour une suite géométrique et deux rangs \(n>p\), on a \(q^{n-p} = u_{n} / u_{p}\), d’où :
- si \(n - p\) est impair : \(q = \sqrt[n-p]{u_{n} / u_{p}}\) ;
- si \(n - p\) est pair : \(q = \pm \sqrt[n-p]{u_{n} / u_{p}}\).
Caractéristiques : variation, limite
Propriété 3.5 — limite d’une suite géométrique
Soit \((u_{n})\) une suite géométrique de raison \(q\) (et \(u_{0} \neq 0\)).
- si \(-1 < q < 1\), alors \(\lim\limits_{n\to+\infty} u_{n} = 0\) : la suite converge vers \(0\) ;
- si \(q = 1\), la suite est constante : elle converge vers \(u_{0}\) ;
- si \(q > 1\), elle converge vers \(+\infty\) (si \(u_{0} > 0\)) ou \(-\infty\) (si \(u_{0} < 0\)) ;
- si \(q \leq -1\), la suite diverge (elle n’a pas de limite).
Somme des \(n\) premiers termes
Propriété 3.6 — somme des \(n\) premiers termes
Pour une suite géométrique de raison \(q \neq 1\), la somme des \(n\) premiers termes vaut
\[ S_{n} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n-1} = u_{0} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}. \]
(Si \(q = 1\), la suite est constante et \(S_{n} = n \cdot u_{0}\).)