Exercices

Exemple 1.3 — avant de te lancer

Donnons une formule explicite et une relation de récurrence pour la suite \((u_{n}) = (5 ; 8 ; 11 ; 14 ; \ldots)\), numérotée à partir de \(0\).

On ajoute \(3\) à chaque fois : la récurrence est \(u_{n+1} = u_{n} + 3\) avec \(u_{0} = 5\). Pour la formule explicite, partant de \(u_{0} = 5\) et ajoutant \(n\) fois le nombre \(3\), on obtient \(u_{n} = 5 + 3 n\). Vérification : \(u_{0} = 5\), \(u_{1} = 8\), \(u_{2} = 11\). ✓

✎ Exercice 1.1 C1 ★☆☆

On considère la suite \((u_{n}) = (7 ; 10 ; 13 ; 16 ; 19 ; \ldots)\), numérotée à partir de \(0\).

Quel est le terme de rang \(3\) ?
Quel est le rang du terme valant \(19\) ?
Que vaut \(u_{1}\) ? Et le successeur de \(u_{1}\) ?
Le nombre \(25\) est-il un terme de cette suite ? Si oui, quel est son rang ?

Relis le vocabulaire qui suit la définition d’une suite numérique, et la remarque sur le rang et le terme.

Dans \(u_{3}\), lequel des deux nombres est le rang : le \(3\) en indice, ou la valeur de \(u_{3}\) ? Et comme la suite commence à \(u_{0}\), quel est le rang du premier terme, \(7\) ?

Écris les rangs au-dessus des termes : \(u_{0} = 7\), \(u_{1} = 10\), \(u_{2} = 13\), \(u_{3} = 16\), \(u_{4} = 19\). Pour \(25\), continue la liste : on ajoute \(3\) à chaque fois.

Le terme de rang \(3\) est \(u_{3} = 16\).
Le terme \(19\) occupe le rang \(4\) : \(u_{4} = 19\).
\(u_{1} = 10\) ; son successeur est \(u_{2} = 13\).
En continuant : \(u_{5} = 22\), \(u_{6} = 25\). Le nombre \(25\) est donc un terme de la suite, de rang \(6\).

Compter les termes à partir de \(1\) : le terme de rang \(3\) n’est pas le troisième nombre de la liste, mais le quatrième, puisque la numérotation commence à \(0\).
Répondre « \(u_{1}\) » quand on demande la valeur du successeur de \(u_{1}\) : on attend le nombre \(13\) (le terme \(u_{2}\)).

✎ Exercice 1.2 A3 ★☆☆

Détermine les \(5\) premiers termes (et le \(20\)^e si c’est rapide) des suites ci-dessous.

\(u_{n} = 4 n - 6\)
\(u_{n} = n (n + 1)\)
\(u_{n} = -2 u_{n-1}\), \(u_{0} = -3\)
\(u_{n+1} = \frac{1}{u_{n} + 1}\), \(u_{0} = 0\)

Relis la définition d’une formule explicite et celle d’une relation de récurrence.

Pour chaque ligne, la suite est-elle donnée par une formule explicite (on remplace \(n\) par un nombre) ou par une récurrence (il faut le terme précédent) ? Laquelle des deux permet d’obtenir \(u_{20}\) tout de suite ?

Pour \(u_{n} = 4n - 6\) : \(u_{0} = 4 \cdot 0 - 6 = -6\), \(u_{1} = 4 \cdot 1 - 6 = -2\)… Pour \(u_{n} = -2 u_{n-1}\) avec \(u_{0} = -3\) : \(u_{1} = -2 \cdot (-3) = 6\), puis \(u_{2} = -2 \cdot 6\)…

Les suites sont numérotées à partir de \(0\).

\(u_{n} = 4n - 6\) : \(-6\) ; \(-2\) ; \(2\) ; \(6\) ; \(10\). Et \(u_{20} = 4 \cdot 20 - 6 = 74\).
\(u_{n} = n(n + 1)\) : \(0\) ; \(2\) ; \(6\) ; \(12\) ; \(20\). Et \(u_{20} = 20 \cdot 21 = 420\).
\(u_{n} = -2 u_{n-1}\), \(u_{0} = -3\) : \(-3\) ; \(6\) ; \(-12\) ; \(24\) ; \(-48\). Pour \(u_{20}\), il faudrait calculer les \(19\) termes précédents : ce n’est pas rapide (on verra au chapitre 3 comment faire).
\(u_{n+1} = \frac{1}{u_{n} + 1}\), \(u_{0} = 0\) : \(0\) ; \(1\) ; \(\frac{1}{2}\) ; \(\frac{2}{3}\) ; \(\frac{3}{5}\). Même remarque pour \(u_{20}\).

Pour \(u_{n} = n(n + 1)\), calculer \(n^{2} + 1\) : la parenthèse multiplie tout, \(u_{2} = 2 \cdot 3 = 6\).
Dans une récurrence, se tromper de terme précédent : \(u_{2}\) se calcule à partir de \(u_{1}\), pas de \(u_{0}\).
Oublier les signes avec \(-2\) : les termes changent de signe à chaque étape.

✎ Exercice 1.3 C1 ★☆☆

Soit une suite \((u_{n})\). En te servant uniquement de la notation des rangs, écris :

le successeur de \(u_{9}\) ;
le prédécesseur de \(u_{9}\) ;
le terme situé \(4\) rangs après \(u_{n}\) ;
le terme situé \(2\) rangs avant \(u_{n}\).

Relis l’activité « se repérer dans une suite » et son tableau.

Quand on avance d’un rang, que devient l’indice ? Et quand on avance de \(4\) rangs ?

Le successeur de \(u_{n}\) est \(u_{n+1}\) : l’indice augmente de \(1\). Remplace \(n\) par \(9\).

le successeur de \(u_{9}\) : \(u_{10}\) ;
le prédécesseur de \(u_{9}\) : \(u_{8}\) ;
le terme situé \(4\) rangs après \(u_{n}\) : \(u_{n+4}\) ;
le terme situé \(2\) rangs avant \(u_{n}\) : \(u_{n-2}\).

Écrire \(u_{n} + 4\) au lieu de \(u_{n+4}\) : \(u_{n} + 4\) est le terme \(u_{n}\) augmenté de \(4\), pas le terme situé \(4\) rangs plus loin.
Oublier les parenthèses de l’indice : \(u_{n}+4\) se lit comme \(u_{n} + 4\).

✎ Exercice 1.4 C4 ★☆☆

Soit la suite \((u_{n}) = (3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; \ldots)\), numérotée à partir de \(0\). Parmi les formules suivantes, laquelle décrit cette suite ? Justifie en calculant les premiers termes de celle que tu choisis.

\(u_{n} = 3 n\)
\(u_{n} = 2 n + 3\)
\(u_{n} = n + 2\)

Relis la définition d’une formule explicite : elle donne chaque terme à partir de son rang.

Si une formule est la bonne, que doit-elle donner pour \(n = 0\) ? Et pour \(n = 1\) ?

Calcule \(u_{0}\), \(u_{1}\) et \(u_{2}\) avec chacune des trois formules et compare avec \(3\) ; \(5\) ; \(7\).

\(u_{n} = 3n\) donne \(0\) ; \(3\) ; \(6\) : ne convient pas (dès \(u_{0}\)).
\(u_{n} = 2n + 3\) donne \(3\) ; \(5\) ; \(7\) ; \(9\) ; \(11\) : convient.
\(u_{n} = n + 2\) donne \(2\) ; \(3\) ; \(4\) : ne convient pas.

La bonne formule est \(u_{n} = 2n + 3\) : on part de \(3\) et l’on ajoute \(2\) à chaque rang.

Ne tester qu’un seul terme : \(u_{n} = 3n\) donne bien \(3\) pour \(n = 1\), mais la suite commence à \(u_{0} = 3\).
Commencer la numérotation à \(1\) alors que l’énoncé dit « à partir de \(0\) ».

✎ Exercice 1.5 C4 ★★☆

Donne une formule explicite et une relation de récurrence pour chacune de ces suites (numérote à partir de \(0\)).

\((2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; \ldots)\)
\((6 ; 11 ; 16 ; 21 ; \ldots)\)
\((4 ; 8 ; 16 ; 32 ; \ldots)\)
\((100 ; 50 ; 25 ; 12{,}5 ; \ldots)\)

Relis l’exemple « avant de te lancer » : il fait exactement ce travail pour \((5 ; 8 ; 11 ; \ldots)\).

Pour passer d’un terme au suivant, ajoute-t-on toujours le même nombre, ou multiplie-t-on toujours par le même nombre ?

Pour \((2 ; 4 ; 6 ; 8 ; \ldots)\) : on ajoute \(2\), donc \(u_{n+1} = u_{n} + 2\) et \(u_{0} = 2\). Partant de \(2\) et ajoutant \(n\) fois \(2\) : \(u_{n} = 2 + 2n\). Pour \((4 ; 8 ; 16 ; \ldots)\), on multiplie : partant de \(4\) et multipliant \(n\) fois par \(2\)…

Suite	Récurrence	Formule explicite
\((2 ; 4 ; 6 ; 8 ; \ldots)\)	\(u_{n+1} = u_{n} + 2\), \(u_{0} = 2\)	\(u_{n} = 2 + 2n\)
\((6 ; 11 ; 16 ; 21 ; \ldots)\)	\(u_{n+1} = u_{n} + 5\), \(u_{0} = 6\)	\(u_{n} = 6 + 5n\)
\((4 ; 8 ; 16 ; 32 ; \ldots)\)	\(u_{n+1} = 2 u_{n}\), \(u_{0} = 4\)	\(u_{n} = 4 \cdot 2^{n}\)
\((100 ; 50 ; 25 ; 12{,}5 ; \ldots)\)	\(u_{n+1} = \frac{u_{n}}{2}\), \(u_{0} = 100\)	\(u_{n} = 100 \cdot (\frac{1}{2})^{n}\)

Vérification, par exemple pour la troisième : \(u_{3} = 4 \cdot 2^{3} = 32\). ✓

Oublier le premier terme dans la récurrence : \(u_{n+1} = u_{n} + 2\) seul décrit aussi \((0 ; 2 ; 4 ; \ldots)\).
Écrire \(u_{n} = 2n\) pour \((4 ; 8 ; 16 ; \ldots)\) : on multiplie par \(2\) à chaque étape, \(n\) fois de suite, ce qui donne une puissance \(2^{n}\).
Ne pas vérifier la formule sur un ou deux termes.

✎ Exercice 1.6 A1 ★★☆

On donne la suite \(u_{n} = 2 n - 1\) (numérotée à partir de \(0\)). Calcule \(u_{0}, \ldots, u_{5}\), puis représente ces termes dans le repère (points \((n ; u_{n})\)) et sur la droite graduée (les valeurs \(u_{n}\)).

Relis le début de la section « Représenter une suite » et l’activité « deux dessins pour une même suite ».

Dans le repère, quelles sont les coordonnées du point qui représente \(u_{0}\) ? Et sur la droite graduée, que reporte-t-on : le rang ou la valeur ?

\(u_{0} = 2 \cdot 0 - 1 = -1\) : dans le repère, le point \((0 ; -1)\) ; sur la droite graduée, un point en \(-1\), noté \(u_{0}\).

\(u_{0} = -1\), \(u_{1} = 1\), \(u_{2} = 3\), \(u_{3} = 5\), \(u_{4} = 7\), \(u_{5} = 9\).

Dans le repère : les points \((0 ; -1)\), \((1 ; 1)\), \((2 ; 3)\), \((3 ; 5)\), \((4 ; 7)\) et \((5 ; 9)\), sans les relier.
Sur la droite graduée : les valeurs \(-1\), \(1\), \(3\), \(5\), \(7\), \(9\), chacune avec son nom \(u_{0}, \ldots, u_{5}\).

Relier les points : une suite n’est définie qu’aux rangs entiers, il n’y a rien entre \(n = 1\) et \(n = 2\).
Placer le rang sur la droite graduée à la place de la valeur.

✎ Exercice 1.7 C2 ★★☆

Voici la représentation d’une suite \((u_{n})\).

Lis les valeurs de \(u_{0}, u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}\).
Décris la suite par une phrase.
Propose une formule explicite.

Relis la section « Représenter une suite » et l’activité « deux dessins pour une même suite » : dans le repère, chaque point a pour coordonnées \((n ; u_{n})\).

Le point le plus à gauche est sur l’axe vertical : quel est son rang ? Comment passe-t-on d’un point au suivant ?

Lis les hauteurs : \(u_{0} = 1\), \(u_{1} = 3\)… Puis regarde de combien la hauteur augmente d’un rang au suivant.

\(u_{0} = 1\), \(u_{1} = 3\), \(u_{2} = 5\), \(u_{3} = 7\), \(u_{4} = 9\).
La suite part de \(1\) et l’on ajoute \(2\) à chaque rang : ce sont les nombres impairs.
Partant de \(1\) et ajoutant \(n\) fois \(2\) : \(u_{n} = 1 + 2n\) (vérification : \(u_{4} = 1 + 8 = 9\) ✓).

Commencer à lire au rang \(1\) : le premier point est sur l’axe vertical, c’est \(u_{0}\).
Proposer \(u_{n} = 2n\) : cette formule donne \(u_{0} = 0\), pas \(1\).

✎ Exercice 1.8 C6 ★★☆

Pour chaque suite, calcule quelques termes, donne sa variation et conjecture sa limite. Précise si elle converge ou diverge.

\(u_{n} = \frac{1}{n^{2}}\)
\(u_{n} = \frac{n}{n + 1}\)
\((u_{n}) = (2 ; 4 ; 8 ; 16 ; \ldots)\)
\(u_{n} = (-1)^{n}\)

Relis la définition de la variation et la définition de la limite.

Quand \(n\) devient très grand, que devient \(\frac{1}{n^{2}}\) ? Et une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont presque égaux, comme \(\frac{1000}{1001}\) ?

Calcule par exemple \(u_{10}\) et \(u_{100}\) pour chaque suite (à la calculatrice) : les termes se rapprochent-ils d’un nombre ?

\(u_{n} = \frac{1}{n^{2}}\) (à partir de \(n = 1\)) : \(1\) ; \(\frac{1}{4}\) ; \(\frac{1}{9}\) ; \(\frac{1}{16}\)… Strictement décroissante ; les termes se rapprochent de \(0\) : on conjecture \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = 0\), la suite converge.
\(u_{n} = \frac{n}{n + 1}\) : \(0\) ; \(\frac{1}{2}\) ; \(\frac{2}{3}\) ; \(\frac{3}{4}\)… Strictement croissante ; \(u_{100} = \frac{100}{101} \approx 0{,}990\) : on conjecture une limite égale à \(1\), la suite converge.
\((2 ; 4 ; 8 ; 16 ; \ldots)\) : strictement croissante ; les termes deviennent aussi grands qu’on veut : on conjecture une limite égale à \(+\infty\) : la suite converge vers \(+\infty\) (définition 1.5).
\(u_{n} = (-1)^{n}\) : \(1\) ; \(-1\) ; \(1\) ; \(-1\)… Quelconque ; les termes sautent sans cesse de \(1\) à \(-1\) : pas de limite, la suite diverge.

Affirmer une limite en ne regardant que trois termes : calcule un terme lointain (\(n = 100\), \(n = 1000\)).
Dire que \((-1)^{n}\) « converge vers \(1\) et vers \(-1\) » : une limite est unique ; ici, il n’y en a pas.

✎ Exercice 1.9 C6 ★★☆

Dans chaque cas, conjecture la limite de la suite (ou indique qu’elle n’en a pas), à partir de la représentation donnée.

D’après le graphique :

Suite \((a_{n})\)

D’après le tableau de valeurs :

\(n\)	\(1\)	\(5\)	\(10\)	\(100\)	\(1000\)
\(b_{n}\)	4,5	4,9	4,95	4,995	4,9995

D’après la droite graduée (où sont reportés les termes \(c_{0}, c_{1}, \ldots\)) :

Relis l’activité « conjecturer une limite » : on y lit une limite sur un graphique, un tableau et une droite graduée.

Vers quelle hauteur les points s’aplatissent-ils ? Vers quel nombre les valeurs du tableau se rapprochent-elles quand \(n\) est très grand ? Où les points de la droite graduée s’accumulent-ils ?

Dans le tableau, compare chaque valeur à \(5\) : \(5 - 4{,}5 = 0{,}5\), \(5 - 4{,}95 = 0{,}05\)… L’écart diminue-t-il ?

Les points descendent de moins en moins et s’approchent de la hauteur \(3\) : on conjecture \(\lim\limits_{n \to +\infty} a_{n} = 3\).
L’écart avec \(5\) est divisé par \(10\) quand \(n\) est multiplié par \(10\) : on conjecture \(\lim\limits_{n \to +\infty} b_{n} = 5\).
Chaque terme est la moitié du précédent ; les termes s’accumulent contre \(0\) : on conjecture \(\lim\limits_{n \to +\infty} c_{n} = 0\).

Donner la dernière valeur du tableau (\(4{,}9995\)) comme limite : la limite est le nombre dont les termes se rapprochent autant qu’on veut, ici \(5\).
Écrire que la limite est « démontrée » : un graphique ou un tableau ne montre qu’un nombre fini de termes, on conjecture.

✎ Exercice 1.10 C1 ★★☆

Un élève affirme : « Avec une relation de récurrence, je peux calculer \(u_{50}\) aussi vite qu’avec une formule explicite. » A-t-il raison ? Justifie en expliquant, avec tes mots, la différence entre les deux modes de génération.

Relis la phrase qui suit la définition d’une relation de récurrence.

Avec une récurrence, que faut-il connaître pour calculer \(u_{50}\) ? Et pour calculer ce terme-là ?

Compare avec la formule explicite : pour \(u_{n} = 3n + 2\), que vaut \(u_{50}\) ? Combien de calculs as-tu faits ?

Il a tort. Une relation de récurrence exprime chaque terme à partir du précédent : pour obtenir \(u_{50}\), il faut d’abord calculer \(u_{1}\), puis \(u_{2}\), …, jusqu’à \(u_{49}\), soit \(50\) étapes. Une formule explicite donne \(u_{50}\) en une seule fois, en remplaçant \(n\) par \(50\) ; par exemple, si \(u_{n} = 3n + 2\), alors \(u_{50} = 152\).

Répondre « oui, avec une calculatrice » : la question porte sur la méthode (le nombre d’étapes), pas sur la vitesse de calcul.