Somme des n premiers termes
Propriété 3.6 — somme des \(n\) premiers termes
Pour une suite géométrique de raison \(q \neq 1\), la somme des \(n\) premiers termes vaut
\[ S_{n} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n-1} = u_{0} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}. \]
(Si \(q = 1\), la suite est constante et \(S_{n} = n \cdot u_{0}\).)
Démonstration 3.1
Écrivons \(S_{n}\) puis \(q \cdot S_{n}\) et soustrayons :
\[ S_{n} =u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n-1} = u_{0} + u_{0} q + u_{0} q^{2} + \ldots + u_{0} q^{n-1}, \\ q \cdot S_{n} = q u_{0} + q u_{1} + \ldots +q u_{n-1}= \quad \quad u_{0} q + u_{0} q^{2} + \ldots + u_{0} q^{n-1} + u_{0} q^{n}. \]
Presque tous les termes se simplifient : \(q S_{n} - S_{n} = u_{0} q^{n} - u_{0}\), c’est-à-dire \((q - 1) S_{n} = u_{0} (q^{n} - 1)\). Comme \(q \neq 1\), on peut diviser par \(q-1\) :
\[ S_{n} = u_{0} \frac{q^{n} - 1}{q - 1}. \]
Exemple 3.6
Calculons la somme des \(10\) premiers termes de la suite géométrique de premier terme \(u_{0} = 3\) et de raison \(q = 2\) : \(S_{10} = 3 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 1023 = 3069\).