Deux situations pour commencer
Une rumeur qui se propage
Activité 1.1 — la rumeur
Laura confie un secret à une personne. Le lendemain, cette personne le confie à une nouvelle personne ; le jour suivant, chacune des personnes déjà au courant le confie à une nouvelle personne, et ainsi de suite : chaque jour, le nombre de personnes au courant double.
Notons \(u_{n}\) le nombre de personnes qui connaissent le secret après \(n\) jours. Au départ, \(u_{0} = 1\). Complète le tableau :
| \(n\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(u_{n}\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(8\) | \(16\) | \(32\) | \(64\) | \(128\) | \(256\) |
Quelle relation lie le nombre \(u_{n}\) de personnes au nombre de jours \(n\) écoulés depuis l’aveu de Laura ? \(u_{n} =\) \(2^{n}\)
Cette formule permet de répondre sans tout calculer : il suffit de chercher le plus petit \(n\) tel que \(2^{n}\) dépasse la population. Complète :
| Population | Plus petite puissance qui dépasse | Jours |
|---|---|---|
| École (\(1800\)) | \(2^{11} = 2048\) | \(11\) |
| Mons (\(96 \, 000\)) | \(2^{17} = 131 \, 072\) | \(17\) |
| Belgique (\(11{,}6\) millions) | \(2^{24} \approx 16{,}8\) M | \(24\) |
| Terre (\(8\) milliards) | \(2^{33} \approx 8{,}6\) G | \(33\) |
Remplace le mot « secret » par « virus » et tu comprends pourquoi un confinement, en empêchant chaque personne d’en contaminer d’autres, freine une épidémie. Cette suite grandit de plus en plus vite : c’est une croissance exponentielle, le comportement typique des suites que nous appellerons bientôt géométriques.
Deux façons de faire fructifier un capital
Tu déposes \(1000\) € sur un compte d’épargne à un taux annuel de \(10 \%\). Il existe deux mécanismes qui font évoluer ton capital; ils vont faire apparaître les deux grandes familles de suites de ce cours.
Activité 1.2 — intérêts simples et composés
Intérêts simples — l’intérêt est calculé une seule fois, sur le montant de départ : \(10 \%\) de \(1000\) € \(= 100\) € par an. On ajoute donc toujours la même somme. Complète :
| année | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| € | \(1000\) | \(1100\) | \(1200\) | \(1300\) | \(1400\) | \(1500\) |
Formule : \(C_{n} =\) \(1000 + 100 n\)
Intérêts composés — l’intérêt est recalculé chaque année sur le capital de l’année précédente.
Cherchons d’abord un raccourci. Augmenter une somme \(C\) de \(10 \%\), c’est lui ajouter \(\frac{10}{100} C\), donc calculer \(C + \frac{10}{100} C\). En mettant \(C\) en évidence, cela vaut \(C \cdot (1 + \class{rep}{0{,}1}) = \class{rep}{1{,}1} \cdot C\). Autrement dit, augmenter de \(10 \%\) revient à multiplier par \(1{,}1\). Utilise ce raccourci pour compléter (montants arrondis à l’euro) :
| année | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| € | \(1000\) | \(1100\) | \(1210\) | \(1331\) | \(1464\) | \(1611\) |
Formule : \(C_{n} =\) \(1000 \cdot 1{,}1^{n}\)
- Qu’est-ce qui distingue les deux façons de passer d’une année à la suivante ?
Aux intérêts simples on ajoute toujours \(+100\) (différence constante) ; aux intérêts composés on multiplie toujours par \(1{,}1\) (rapport constant).
- Représentons les deux capitaux dans un repère :
Intérêts simples : points alignés.
Intérêts composés : courbe qui s’incurve.
Ces deux suites illustrent les deux comportements fondamentaux du cours :
Différence constante. On passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre (\(+100\)). Croissance régulière, « comme une droite ».
→ suite arithmétique (chapitre 2).
Rapport constant. On passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre (\(\cdot 1{,}1\)). Croissance qui s’emballe.
→ suite géométrique (chapitre 3).