S’autoévaluer
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Deux situations pour commencer
Qu’est-ce qu’une suite numérique ?
Représenter une suite
Générer une suite
Variations d’une suite
Limite d’une suite
Exercices
Une pyramide de verre
Définition
Représentation et variation
Générer une suite arithmétique
Caractéristiques : variation, limite
Somme des \(n\) premiers termes
Exercices
Le pliage d’une feuille
Définition
Représentation et variation
Générer une suite géométrique
Caractéristiques : variation, limite
Somme des \(n\) premiers termes
Exercices
Traduire des écritures indicées en utilisant le vocabulaire lié aux suites (savoir différencier le rang d’un terme et le terme).
Reconnaître une suite arithmétique / géométrique exprimée dans des registres différents : numérique, symbolique, graphique ou au départ d’un énoncé contextualisé.
Identifier les éléments caractéristiques (1er terme, raison, croissance) d’une suite arithmétique / géométrique exprimée dans des registres différents.
Écrire le terme général d’une suite arithmétique / géométrique au départ de ses éléments caractéristiques.
Donner un exemple de suites arithmétique / géométrique vérifiant des contraintes (croissance, convergence).
Conjecturer la limite d’une suite au départ de sa représentation numérique ou graphique.
Démontrer la formule de la somme des \(n\) premiers termes d’une suite arithmétique / géométrique.
Représenter graphiquement une suite de nombres.
Justifier qu’une suite est arithmétique / géométrique.
Calculer les éléments caractéristiques ou un terme d’une suite arithmétique / géométrique.
Calculer la somme de \(n\) termes consécutifs d’une suite arithmétique / géométrique.
Trouver le taux, l’intérêt ou la durée d’un placement à intérêts simples ou à intérêts composés.
Réaliser un tableau d’amortissement à l’aide de l’outil informatique.
Résoudre un problème où interviennent des suites dans différents contextes.
Chapitre 1 : Généralités
Douze questions tirées au hasard sur le chapitre 1 : vocabulaire, représentations, génération, variation, limite.
Chapitre 2 : Suites arithmétiques
Dix questions tirées au hasard sur le chapitre 2.
Chapitre 3 : Suites géométriques
Dix questions tirées au hasard sur le chapitre 3.
Arithmétique ou géométrique ?
Reconnaître, justifier, écrire le terme général : ne pas confondre différence et rapport.
Conjecturer une limite
Lire une limite sur un tableau ou un graphique, et utiliser les propriétés des suites arithmétiques et géométriques.
Sommes de termes
Calculer et démontrer les sommes des \(n\) premiers termes.
Les bases, pour démarrer
Dix questions de niveau ★ sur tout le cours.
Dans l’activité de la rumeur, le nombre de personnes au courant double chaque jour. Comment passe-t-on d’un jour au suivant ?
On multiplie toujours par le même nombre.
Oui : on multiplie par \(2\) chaque jour. C’est le comportement des suites que le chapitre 3 appelle géométriques.
On ajoute toujours le même nombre.
Non : de \(1\) à \(2\) on ajoute \(1\), de \(2\) à \(4\) on ajoute \(2\), de \(4\) à \(8\) on ajoute \(4\). La différence n’est pas constante ; c’est le rapport qui l’est.
On ajoute \(2\) chaque jour.
Doubler n’est pas ajouter \(2\) : \(4\) devient \(8\), pas \(6\). Doubler, c’est multiplier par \(2\).
On ajoute le numéro du jour.
Vérifie sur le tableau : \(u_{3} = 8\) et \(u_{4} = 16\) ; on a ajouté \(8\), pas \(4\). Chaque jour, on multiplie par \(2\).
On place \(1000\) € à intérêts simples, au taux annuel de \(3 \%\). De combien dispose-t-on après \(4\) ans ?
\(1120\) €
Oui : l’intérêt est calculé sur le montant de départ, \(30\) € par an ; en \(4\) ans, \(1000 + 4 \cdot 30 = 1120\) €.
environ \(1125{,}51\) €
C’est le résultat des intérêts composés (\(1000 \cdot 1{,}03^{4}\)). Aux intérêts simples, on ajoute chaque année la même somme, \(3 \%\) de \(1000\) €.
\(1030\) €
C’est le capital après \(1\) an. Après \(4\) ans, on a ajouté \(4\) fois les \(30\) € d’intérêt.
\(1012\) €
Tu as ajouté \(4 \cdot 3 = 12\) € : \(3 \%\) de \(1000\) €, ce n’est pas \(3\) €, mais \(\frac{3}{100} \cdot 1000 = 30\) €.
On place \(2000\) € à intérêts composés, au taux annuel de \(5 \%\). De combien dispose-t-on après \(2\) ans ?
\(2205\) €
Oui : augmenter de \(5 \%\), c’est multiplier par \(1{,}05\) ; en deux ans, \(2000 \cdot 1{,}05^{2} = 2205\) €.
\(2200\) €
C’est le résultat des intérêts simples (\(2000 + 2 \cdot 100\)). Aux intérêts composés, la deuxième année, l’intérêt est calculé sur \(2100\) € et vaut \(105\) €.
\(2100\) €
C’est le capital après \(1\) an seulement.
\(4200\) €
Tu as multiplié par \(2\) au lieu d’élever au carré : \(2000 \cdot 1{,}05 \cdot 2\). Deux années, c’est deux multiplications par \(1{,}05\) : \(2000 \cdot 1{,}05^{2}\).
La suite \((u_{n}) = (4 ; 9 ; 14 ; 19 ; \ldots)\) est numérotée à partir de \(0\). Que vaut \(u_{2}\) ?
\(14\)
Oui : \(u_{0} = 4\), \(u_{1} = 9\), \(u_{2} = 14\).
\(9\)
\(9\) est le deuxième nombre de la liste, mais son rang est \(1\) : la numérotation commence à \(0\). Revois la remarque sur le rang et le terme.
\(2\)
\(2\) est le rang, pas le terme. On demande la valeur qui occupe le rang \(2\).
\(8\)
Tu as calculé \(4 \cdot 2\). Il suffit ici de lire la liste : le terme de rang \(2\) est le troisième nombre.
La suite \((v_{n}) = (3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48 ; \ldots)\) est numérotée à partir de \(1\). Que vaut \(v_{3}\) ?
\(12\)
Oui : \(v_{1} = 3\), \(v_{2} = 6\), \(v_{3} = 12\).
\(24\)
Tu as numéroté à partir de \(0\) ; ici la suite commence à \(v_{1}\), le premier nombre de la liste.
\(9\)
Tu as calculé \(3 \cdot 3\) (rang fois premier terme) : on ne calcule rien, on lit le terme qui occupe le rang \(3\).
\(3\)
\(3\) est le rang demandé (et aussi le premier terme \(v_{1}\)) ; on demande la valeur du terme de rang \(3\).
Comment note-t-on le successeur du terme \(u_{n-1}\) ?
\(u_{n}\)
Oui : le successeur a le rang suivant, \(n - 1 + 1 = n\).
\(u_{n+1}\)
\(u_{n+1}\) est le successeur de \(u_{n}\). Celui de \(u_{n-1}\) a le rang \(n - 1 + 1 = n\).
\(u_{n-1} + 1\)
\(u_{n-1} + 1\) est le terme \(u_{n-1}\) augmenté de \(1\), pas le terme suivant. C’est l’indice qui augmente de \(1\).
\(u_{n-2}\)
\(u_{n-2}\) est le prédécesseur de \(u_{n-1}\) : on a reculé au lieu d’avancer.
Traduis en français l’égalité \(u_{n+1} = u_{n} + 3\), en utilisant les mots « terme », « successeur » et « rang ».
Pour tout rang \(n\), le successeur du terme \(u_{n}\) s’obtient en ajoutant \(3\) à ce terme : chaque terme vaut le précédent augmenté de \(3\).
J’ai dit que \(u_{n+1}\) est le successeur de \(u_{n}\) (le terme de rang suivant).
J’ai dit qu’on ajoute \(3\) au terme, pas au rang.
On représente la suite \(u_{n} = 5 - 2n\) (à partir de \(n = 0\)) dans un repère. Quel point y figure ?
\((2 ; 1)\)
Oui : \(u_{2} = 5 - 4 = 1\), d’où le point \((2 ; u_{2}) = (2 ; 1)\).
\((1 ; 2)\)
Tu as inversé les coordonnées : le rang \(n\) est en abscisse, le terme \(u_{n}\) en ordonnée. Ici \(u_{2} = 1\) donne \((2 ; 1)\).
\((0 ; 0)\)
\(u_{0} = 5 - 0 = 5\) : le premier point est \((0 ; 5)\).
\((3 ; 11)\)
Erreur de signe : tu as calculé \(5 + 2 \cdot 3\). Ici \(u_{3} = 5 - 6 = -1\), d’où le point \((3 ; -1)\).
Pourquoi ne relie-t-on pas les points de la représentation d’une suite dans un repère ?
Parce qu’une suite n’est définie que pour des rangs entiers.
Oui : entre \(n = 1\) et \(n = 2\), il n’y a aucun terme. Les points sont isolés.
Parce que les points ne sont jamais alignés.
Les points d’une suite arithmétique sont alignés, et on ne les relie pas non plus. La raison est ailleurs : il n’y a pas de terme entre deux rangs entiers.
Pour que le graphique soit plus lisible.
Ce n’est pas une question de lisibilité : un trait ferait croire qu’il existe des termes de rang \(1{,}5\), \(1{,}7\)…
On peut les relier si la suite est croissante.
Même croissante, une suite n’a pas de terme entre deux rangs entiers : on ne relie jamais les points.
Représente les termes \(u_{0}\) à \(u_{4}\) de la suite \(u_{n} = \frac{1}{n + 1}\) sur une droite graduée de \(0\) à \(1\). Que montre ce dessin ?
\(u_{0} = 1\), \(u_{1} = \frac{1}{2}\), \(u_{2} = \frac{1}{3}\), \(u_{3} = \frac{1}{4}\), \(u_{4} = \frac{1}{5}\).
Les termes se resserrent de plus en plus près de \(0\) : ils semblent s’y accumuler.
J’ai calculé correctement les cinq termes.
J’ai placé des valeurs sur une seule droite, chacune avec son nom.
J’ai remarqué que les termes s’accumulent vers \(0\).
Soit \(u_{n} = n^{2} - 3n\). Que vaut \(u_{5}\) ?
\(10\)
Oui : \(u_{5} = 25 - 15 = 10\).
\(-5\)
Tu as calculé \(5 \cdot 2 - 15\) : \(n^{2}\), c’est \(5 \cdot 5 = 25\), pas \(5 \cdot 2\).
\(4\)
Tu as calculé \(u_{4} = 16 - 12\) : on demande le terme de rang \(5\).
\(40\)
Tu as additionné : \(25 + 15\). La formule soustrait \(3n\).
Soit la suite définie par \(u_{0} = 2\) et \(u_{n+1} = 3 u_{n} - 1\). Que vaut \(u_{2}\) ?
\(14\)
Oui : \(u_{1} = 3 \cdot 2 - 1 = 5\), puis \(u_{2} = 3 \cdot 5 - 1 = 14\).
\(5\)
\(5\), c’est \(u_{1}\). Il faut encore une étape pour \(u_{2}\).
\(17\)
Tu as oublié le \(-1\) à la première étape (\(u_{1} = 6\)). Chaque étape applique toute la relation : \(u_{1} = 3 \cdot 2 - 1 = 5\).
\(15\)
Tu as oublié le \(-1\) à la deuxième étape : \(u_{2} = 3 \cdot 5 - 1 = 14\).
Laquelle de ces écritures est une relation de récurrence ?
\(u_{n+1} = \frac{u_{n}}{2}\) et \(u_{0} = 64\)
Oui : chaque terme est exprimé à partir du précédent, et le premier terme est donné.
\(u_{n} = \frac{64}{2^{n}}\)
C’est une formule explicite : \(u_{n}\) se calcule directement à partir du rang \(n\).
\(u_{n+1} = \frac{u_{n}}{2}\)
Il manque le premier terme : sans lui, la relation décrit une infinité de suites.
\(u_{n} = \frac{n}{2}\)
C’est une formule explicite (elle ne fait pas intervenir le terme précédent).
Donne une formule explicite et une relation de récurrence pour la suite \((10 ; 7 ; 4 ; 1 ; \ldots)\), numérotée à partir de \(0\).
On retire \(3\) à chaque rang : \(u_{n+1} = u_{n} - 3\) avec \(u_{0} = 10\), et \(u_{n} = 10 - 3n\) (vérification : \(u_{3} = 1\) ✓).
Ma récurrence contient le premier terme \(u_{0} = 10\).
Ma formule explicite donne les bons premiers termes.
Une suite \((u_{n})\) vérifie \(u_{n+1} < u_{n}\) pour tout \(n\). Elle est :
strictement décroissante
Oui : chaque terme est strictement plus petit que le précédent.
strictement croissante
Lis bien l’inégalité : le terme suivant \(u_{n+1}\) est plus petit. La suite descend.
décroissante, mais pas strictement
L’inégalité est stricte (\(<\)) : les termes ne sont jamais égaux, la décroissance est stricte.
quelconque
« Quelconque » veut dire ni croissante, ni décroissante, ni constante. Ici, chaque terme est plus petit que le précédent : la suite a une variation bien précise.
Quelle est la variation de la suite \(u_{n} = (-2)^{n}\) ?
quelconque
Oui : \(1\) ; \(-2\) ; \(4\) ; \(-8\)… les termes montent et descendent alternativement.
strictement décroissante
\(u_{1} = -2 < u_{0} = 1\), mais \(u_{2} = 4 > u_{1}\) : il faut comparer chaque terme à son successeur.
strictement croissante
\(u_{2} = 4 > u_{0} = 1\), mais \(u_{1} = -2\) est plus petit que \(u_{0}\). Compare des termes consécutifs.
constante
Les termes changent à chaque rang : \(1\) ; \(-2\) ; \(4\) ; \(-8\).
Voici quelques termes d’une suite. Quelle limite peut-on conjecturer ?
| \(n\) | \(1\) | \(10\) | \(100\) | \(1000\) | \(10000\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(a_{n}\) | \(3{,}5\) | \(3{,}05\) | \(3{,}005\) | \(3{,}0005\) | \(3{,}00005\) |
\(3\)
Oui : l’écart avec \(3\) est divisé par \(10\) chaque fois que \(n\) est multiplié par \(10\).
\(3{,}00005\)
C’est le dernier terme du tableau, pas la limite : les termes suivants s’approchent encore plus de \(3\).
\(0\)
C’est l’écart avec \(3\) qui se rapproche de \(0\), pas les termes eux-mêmes.
\(+\infty\)
Les termes diminuent et restent au-dessus de \(3\) : ils ne deviennent pas grands.
Voici la représentation d’une suite \((u_{n})\). Quelle limite peut-on conjecturer ?
\(2\)
Oui : les points montent de moins en moins et s’approchent de la hauteur \(2\) sans la dépasser.
\(+\infty\)
La suite est croissante, mais elle ne devient pas aussi grande qu’on veut : elle s’aplatit sous la hauteur \(2\).
\(-2\)
\(-2\) est le premier terme \(u_{0}\). La limite décrit ce qui se passe quand \(n\) devient très grand.
\(8\)
Tu as lu sur l’axe horizontal : la limite est une valeur des termes (lue sur l’axe vertical), pas un rang.
Que signifie l’écriture \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = 5\) ?
Les termes \(u_{n}\) se rapprochent autant qu’on veut de \(5\) quand le rang \(n\) est suffisamment grand.
Oui, c’est la définition : aussi petite que soit la marge choisie autour de \(5\), tous les termes y sont à partir d’un certain rang.
Le terme \(u_{5}\) est très grand.
Le \(5\) n’est pas un rang : c’est la valeur dont les termes se rapprochent.
Un des termes de la suite vaut \(5\).
Ce n’est pas nécessaire : les termes de \(u_{n} = 5 - \frac{1}{n}\) ne valent jamais \(5\), et pourtant la limite vaut \(5\).
Les termes sont tous plus petits que \(5\).
Pas forcément : \(u_{n} = 5 + \frac{1}{n}\) a aussi pour limite \(5\), avec des termes plus grands que \(5\). La limite parle de rapprochement, pas de position.
Un élève calcule \(u_{1000} \approx 0{,}001\) et affirme : « J’ai démontré que la limite vaut \(0\). » Qu’en penses-tu ?
Il a seulement conjecturé la limite : un nombre fini de termes ne démontre rien.
Oui : un tableau ou un graphique permet de conjecturer une limite, pas de l’établir avec certitude (encadré « Observer ≠ démontrer »).
Il a raison, \(u_{1000}\) est très proche de \(0\).
Un seul terme ne dit rien de tous les suivants : la suite pourrait ensuite s’éloigner de \(0\).
Il a raison s’il a aussi calculé \(u_{10000}\).
Même avec beaucoup de termes, on n’en observe qu’un nombre fini : on conjecture.
Il a tort : la limite vaut forcément \(0{,}001\).
\(0{,}001\) est la valeur d’un terme, pas la limite.
On considère \(v_{n} = \frac{n}{n + 1}\), de limite \(1\). À partir de quel rang tous les termes sont-ils à moins de \(0{,}05\) de \(1\) ? Justifie.
L’écart vaut \(1 - v_{n} = \frac{1}{n + 1}\). Il est inférieur à \(0{,}05 = \frac{1}{20}\) lorsque \(n + 1 > 20\), c’est-à-dire \(n > 19\). À partir du rang \(20\), tous les termes sont à moins de \(0{,}05\) de \(1\) (et \(v_{19} = \frac{19}{20}\) est exactement à \(0{,}05\)).
J’ai exprimé l’écart \(1 - v_{n}\) en fonction de \(n\).
J’ai trouvé le rang \(20\).
J’ai expliqué pourquoi les termes suivants restent aussi dans la marge (l’écart diminue quand \(n\) augmente).
Avec l’astuce de Gauss, calcule \(3 + 7 + 11 + \ldots + 39\) (termes d’une suite arithmétique de raison \(4\)).
\(210\)
Oui : il y a \(10\) termes (\(39 = 3 + 9 \cdot 4\)) ; \(\frac{10}{2} (3 + 39) = 5 \cdot 42 = 210\).
\(189\)
Tu as compté \(9\) termes : de \(u_{0} = 3\) à \(u_{9} = 39\), il y en a \(10\). \(\frac{9}{2} \cdot 42 = 189\).
\(420\)
Tu as oublié de diviser par \(2\) : chaque paire (premier + dernier) vaut \(42\), et il y a \(\frac{10}{2} = 5\) paires.
\(42\)
\(42\), c’est la somme d’une paire (le premier et le dernier terme). Combien y a-t-il de paires ?
Laquelle de ces suites est arithmétique ?
\((12 ; 9{,}5 ; 7 ; 4{,}5 ; \ldots)\)
Oui : on retire toujours \(2{,}5\) ; la raison est \(-2{,}5\).
\((1 ; 4 ; 9 ; 16 ; \ldots)\)
Les différences valent \(3\), \(5\), \(7\) : elles ne sont pas constantes (ce sont les carrés).
\((2 ; 6 ; 18 ; 54 ; \ldots)\)
On multiplie par \(3\) : le rapport est constant, pas la différence. Elle est géométrique.
\((1 ; -1 ; 1 ; -1 ; \ldots)\)
Les différences valent \(-2\) puis \(2\) : elles changent de signe.
Quelle est la raison de la suite arithmétique \((20 ; 14 ; 8 ; 2 ; \ldots)\) ?
\(-6\)
Oui : \(u_{1} - u_{0} = 14 - 20 = -6\).
\(6\)
La suite descend : on retire \(6\). La raison est \(u_{1} - u_{0} = -6\).
\(20\)
\(20\) est le premier terme, pas la raison.
\(\frac{7}{10}\)
Tu as calculé un rapport (\(\frac{14}{20}\)) : pour une suite arithmétique, la raison est une différence.
Soit la suite \(u_{n} = 7 - 4n\). Montre qu’elle est arithmétique et donne sa raison.
Pour tout \(n\) : \(u_{n+1} - u_{n} = (7 - 4(n + 1)) - (7 - 4n) = 7 - 4n - 4 - 7 + 4n = -4\). La différence entre deux termes consécutifs est constante : la suite est arithmétique, de raison \(r = -4\).
J’ai calculé \(u_{n+1} - u_{n}\) pour un \(n\) quelconque (pas seulement sur des exemples).
J’ai remplacé correctement \(n\) par \(n + 1\), avec les parenthèses.
J’ai conclu en citant la définition : différence constante, raison \(-4\).
Pour prouver qu’une suite donnée par une formule explicite est arithmétique, que faut-il montrer ?
Que \(u_{n+1} - u_{n}\) est le même nombre pour tout \(n\).
Oui : c’est la définition, vérifiée pour un rang quelconque.
Que \(u_{1} - u_{0}\) et \(u_{2} - u_{1}\) sont égaux.
Deux différences égales ne suffisent pas : \(u_{n} = n^{3} - 3n^{2} + 3n\) donne \(1\) et \(1\), puis \(7\). Il faut un calcul valable pour tout \(n\).
Que les termes augmentent.
Une suite peut augmenter sans être arithmétique (\(2\) ; \(4\) ; \(8\) ; …), et une suite arithmétique peut diminuer.
Que \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\) est constant.
C’est la définition d’une suite géométrique. Pour une arithmétique, on regarde la différence.
Une suite arithmétique a pour premier terme \(u_{0} = -8\) et pour raison \(r = 3\). Elle est :
strictement croissante
Oui : la raison est positive, on ajoute \(3\) à chaque rang (propriété).
strictement décroissante
Le signe du premier terme ne décide pas de la variation : c’est celui de la raison. \(r = 3 > 0\).
croissante puis décroissante
Une suite arithmétique varie toujours dans le même sens : on ajoute toujours le même nombre.
constante
Elle serait constante si \(r = 0\).
Ces points représentent une suite arithmétique. Quels sont son premier terme et sa raison ?
\(u_{0} = 7\) et \(r = -2\)
Oui : le premier point est à la hauteur \(7\) et l’on descend de \(2\) à chaque rang.
\(u_{0} = 7\) et \(r = 2\)
Les points descendent : la raison est négative.
\(u_{0} = -1\) et \(r = 2\)
Tu as lu la suite de droite à gauche. Le premier terme est celui de rang \(0\), sur l’axe vertical.
\(u_{0} = 0\) et \(r = 7\)
\(0\) est le rang du premier point ; sa hauteur, \(7\), est le premier terme.
Une suite arithmétique a pour premier terme \(u_{0} = 5\) et pour raison \(r = -3\). Quel est son terme général ?
\(u_{n} = 5 - 3n\)
Oui : \(u_{n} = u_{0} + n r = 5 + n \cdot (-3)\).
\(u_{n} = -3 + 5n\)
Tu as inversé premier terme et raison : \(u_{0} = -3\) ici, au lieu de \(5\).
\(u_{n} = 5 \cdot (-3)^{n}\)
C’est la formule d’une suite géométrique. Une suite arithmétique ajoute la raison : \(u_{n} = u_{0} + n r\).
\(u_{n} = 5 - 3(n - 1)\)
Cette formule convient si la suite commence à \(u_{1} = 5\). Ici le premier terme est \(u_{0}\).
Une suite arithmétique a pour raison \(r = 4\) et vérifie \(u_{30} = 50\). Que vaut \(u_{12}\) ?
\(-22\)
Oui : \(u_{12} = u_{30} + (12 - 30) \cdot 4 = 50 - 72 = -22\).
\(122\)
Tu as avancé au lieu de reculer : de \(u_{30}\) à \(u_{12}\), on recule de \(18\) rangs, donc on retire \(18\) fois la raison.
\(98\)
Tu as calculé \(50 + 12 \cdot 4\) : le nombre de rangs est l’écart \(12 - 30 = -18\), pas \(12\).
\(20\)
Tu as calculé \(50 \cdot \frac{12}{30}\), comme pour une proportion. Une suite arithmétique n’est pas proportionnelle : \(u_{n} = u_{p} + (n - p) r\).
Une suite arithmétique vérifie \(u_{4} = 11\) et \(u_{10} = 32\). Calcule sa raison et son premier terme \(u_{0}\).
\(r = \frac{32 - 11}{10 - 4} = \frac{21}{6} = 3{,}5\) ; puis \(u_{0} = u_{4} - 4 r = 11 - 14 = -3\).
J’ai divisé la différence des termes par la différence des rangs.
J’ai trouvé \(r = 3{,}5\) et \(u_{0} = -3\).
Quelle est la limite de la suite arithmétique \(u_{n} = 100 - 0{,}1 n\) ?
\(-\infty\)
Oui : la raison \(-0{,}1\) est négative ; même petite, on la retire indéfiniment (propriété).
\(100\)
\(100\) est le premier terme. La suite continue de descendre : \(u_{10000} = -900\).
\(0\)
La raison est petite, mais c’est une différence constante : les termes passent sous \(0\) et continuent (ex. \(u_{2000} = -100\)).
\(-0{,}1\)
C’est la raison, pas la limite.
Donne un exemple de suite arithmétique strictement décroissante dont le premier terme est \(u_{0} = 3\). Précise sa raison, sa formule explicite et sa limite.
Par exemple \(r = -2\) : \(u_{n} = 3 - 2n\), de limite \(-\infty\) (toute raison négative convient).
Ma raison est strictement négative et mon premier terme vaut \(3\).
Ma formule explicite est de la forme \(u_{n} = 3 + n r\).
J’ai donné la limite \(-\infty\).
Quelle suite arithmétique est croissante et a pour premier terme \(u_{0} = -10\) ?
\(u_{n} = -10 + 0{,}5 n\)
Oui : \(u_{0} = -10\) et la raison \(0{,}5\) est positive.
\(u_{n} = 10 - 0{,}5 n\)
Premier terme \(10\) et raison négative : les deux contraintes sont fausses.
\(u_{n} = -10 - 0{,}5 n\)
Le premier terme convient, mais la raison \(-0{,}5\) est négative : la suite décroît.
\(u_{n} = -10 \cdot 1{,}5^{n}\)
Ce n’est pas une suite arithmétique (on multiplie par \(1{,}5\)), et elle est décroissante (termes négatifs de plus en plus grands en valeur absolue).
Une suite arithmétique a \(u_{0} = 2\) et \(r = 5\). Que vaut \(S_{10} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{9}\) ?
\(245\)
Oui : \(u_{9} = 2 + 45 = 47\) et \(S_{10} = \frac{10}{2} (2 + 47) = 5 \cdot 49 = 245\).
\(260\)
Tu as pris \(u_{10} = 52\) comme dernier terme : les \(10\) premiers termes vont de \(u_{0}\) à \(u_{9}\).
\(490\)
Tu as oublié de diviser par \(2\) : \(S_{n} = \frac{n}{2} (u_{0} + u_{n-1})\).
\(49\)
\(49\) est la somme du premier et du dernier terme. Il y a \(5\) paires de cette valeur.
Les olympiades se succèdent tous les \(4\) ans ; la Ire a commencé en \(1896\) (Jeux d’Athènes). On les compte même quand les Jeux n’ont pas eu lieu (guerres). En quelle année commence la XXXIIIe olympiade ? Et la XXXVe ?
L’année de la \(k\)e olympiade forme une suite arithmétique de raison \(4\) : \(a_{k} = 1896 + 4 (k - 1)\). XXXIIIe : \(a_{33} = 1896 + 4 \cdot 32 = 2024\) (Jeux de Paris). XXXVe : \(a_{35} = 1896 + 4 \cdot 34 = 2032\) (Jeux de Brisbane).
J’ai reconnu une suite arithmétique de raison \(4\).
J’ai tenu compte du fait que la numérotation commence à \(1\) (on ajoute \(k - 1\) fois la raison).
J’ai trouvé \(2024\) et \(2032\).
Calcule la somme \(5 + 9 + 13 + \ldots + 101\) des termes consécutifs d’une suite arithmétique.
Raison \(4\), \(u_{0} = 5\) ; \(5 + 4n = 101\) donne \(n = 24\) : il y a \(25\) termes. Somme : \(\frac{25}{2} (5 + 101) = 25 \cdot 53 = 1325\).
J’ai trouvé le rang du dernier terme (\(24\)) et donc le nombre de termes (\(25\)).
J’ai appliqué : nombre de termes divisé par \(2\), fois (premier terme + dernier terme).
J’ai trouvé \(1325\).
Démontre que la somme des \(n\) premiers termes d’une suite arithmétique vaut \(S_{n} = \frac{n}{2} (u_{0} + u_{n-1})\).
On écrit la somme dans les deux sens :
\[ S_{n} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n-1}, \\ S_{n} = u_{n-1} + u_{n-2} + \ldots + u_{0}. \]
Dans une colonne, les rangs sont \(k\) et \(n - 1 - k\) : \(u_{k} + u_{n-1-k} = (u_{0} + k r) + (u_{n-1} - k r) = u_{0} + u_{n-1}\). Les \(n\) colonnes ont donc la même somme ; en additionnant les deux lignes, \(2 S_{n} = n (u_{0} + u_{n-1})\), d’où la formule.
J’ai écrit la somme dans l’ordre et à l’envers.
J’ai justifié que chaque colonne vaut \(u_{0} + u_{n-1}\), en utilisant la raison.
J’ai compté \(n\) colonnes et divisé par \(2\) à la fin.
Dans la démonstration de la somme arithmétique, pourquoi \(u_{1} + u_{n-2} = u_{0} + u_{n-1}\) ?
Parce que \(u_{1} = u_{0} + r\) et \(u_{n-2} = u_{n-1} - r\).
Oui : on ajoute la raison d’un côté et on la retire de l’autre ; la somme ne change pas.
Parce que \(u_{1} = u_{0}\) et \(u_{n-2} = u_{n-1}\).
Ce serait vrai seulement si la raison était nulle.
Parce que la somme de deux termes est toujours constante.
C’est vrai pour des termes « symétriques » (\(k\) et \(n - 1 - k\)), pas pour deux termes quelconques : \(u_{1} + u_{2} \neq u_{0} + u_{n-1}\) en général.
On le vérifie sur la pyramide.
Un exemple illustre, il ne démontre pas : la propriété doit valoir pour toute suite arithmétique.
Une feuille de \(0{,}1\) mm d’épaisseur est pliée en deux à chaque étape. Quelle est son épaisseur après \(5\) pliages ?
\(3{,}2\) mm
Oui : l’épaisseur double à chaque pliage : \(0{,}1 \cdot 2^{5} = 0{,}1 \cdot 32 = 3{,}2\) mm.
\(1\) mm
Tu as multiplié par \(2 \cdot 5 = 10\) : on double cinq fois de suite, soit un facteur \(2^{5} = 32\).
\(0{,}6\) mm
Tu as ajouté \(0{,}1\) mm à chaque pliage : c’est l’épaisseur qui double, on multiplie.
\(1{,}6\) mm
C’est l’épaisseur après \(4\) pliages : il en manque un.
Laquelle de ces suites est géométrique ?
\((81 ; -27 ; 9 ; -3 ; \ldots)\)
Oui : chaque terme est le précédent multiplié par \(-\frac{1}{3}\).
\((2 ; 4 ; 6 ; 8 ; \ldots)\)
On ajoute \(2\) : c’est la différence qui est constante. Les rapports \(\frac{4}{2}\) et \(\frac{6}{4}\) sont différents.
\((1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 11 ; \ldots)\)
Les rapports \(2\), \(2\), \(1{,}75\) ne sont pas égaux (on ajoute \(1\), \(2\), \(3\), \(4\)).
\((5 ; 0 ; 0 ; 0 ; \ldots)\)
Le rapport \(\frac{0}{5} = 0\) est nul et \(\frac{0}{0}\) n’a pas de sens : la définition exige un rapport constant non nul.
Quelle est la raison de la suite géométrique \((48 ; 12 ; 3 ; 0{,}75 ; \ldots)\) ?
\(\frac{1}{4}\)
Oui : \(\frac{12}{48} = \frac{1}{4}\).
\(4\)
Tu as divisé dans le mauvais sens (\(\frac{48}{12}\)). La raison est \(\frac{u_{1}}{u_{0}}\).
\(-36\)
C’est la différence \(12 - 48\). Pour une suite géométrique, la raison est un rapport.
\(48\)
\(48\) est le premier terme.
Soit la suite \(u_{n} = 5 \cdot 3^{n}\). Montre qu’elle est géométrique et donne sa raison.
Aucun terme n’est nul et, pour tout \(n\), \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \frac{5 \cdot 3^{n+1}}{5 \cdot 3^{n}} = 3\). Le rapport de deux termes consécutifs est constant : la suite est géométrique de raison \(q = 3\).
J’ai calculé \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\) pour un \(n\) quelconque.
J’ai simplifié correctement : \(\frac{3^{n+1}}{3^{n}} = 3\).
J’ai conclu en citant la définition : rapport constant, raison \(3\).
Une suite géométrique a pour premier terme \(u_{0} = -2\) et pour raison \(q = 3\). Elle est :
strictement décroissante
Oui : \(-2\) ; \(-6\) ; \(-18\)… les termes sont négatifs et de plus en plus grands en valeur absolue : ils descendent.
strictement croissante
Avec \(q > 1\), la suite « s’éloigne de \(0\) » ; mais ici les termes sont négatifs : elle descend. Il faut regarder aussi le signe de \(u_{0}\).
quelconque
Les termes ne changent pas de signe (\(q > 0\)) : la variation est régulière.
constante
Elle serait constante si \(q = 1\).
Ces points représentent-ils une suite arithmétique ou une suite géométrique ?
Géométrique : les points ne sont pas alignés, et chaque terme est \(1{,}5\) fois le précédent.
Oui : \(\frac{1{,}5}{1} = \frac{2{,}25}{1{,}5} = 1{,}5\) ; la courbe s’incurve.
Arithmétique : la suite est croissante.
Croissante ne veut pas dire arithmétique : les montées \(0{,}5\) ; \(0{,}75\) ; \(1{,}125\) ne sont pas égales.
Arithmétique : les points sont alignés.
Regarde les montées d’un point au suivant : elles augmentent. Les points ne sont pas alignés.
Ni l’une ni l’autre.
Calcule les rapports \(\frac{u_{1}}{u_{0}}\), \(\frac{u_{2}}{u_{1}}\) : ils sont égaux.
Une suite géométrique a pour premier terme \(u_{0} = 3\) et pour raison \(q = 2\). Quel est son terme général ?
\(u_{n} = 3 \cdot 2^{n}\)
Oui : \(u_{n} = u_{0} \cdot q^{n}\).
\(u_{n} = 6^{n}\)
\(3 \cdot 2^{n}\) n’est pas \((3 \cdot 2)^{n}\) : l’exposant ne porte que sur la raison. Vérifie : \(u_{0} = 3\), alors que \(6^{0} = 1\).
\(u_{n} = 3 + 2n\)
C’est une suite arithmétique (on ajoute \(2\)). Ici, on multiplie par \(2\).
\(u_{n} = 2 \cdot 3^{n}\)
Tu as inversé premier terme et raison.
Une suite géométrique a pour raison \(q = 2\) et vérifie \(u_{10} = 96\). Que vaut \(u_{7}\) ?
\(12\)
Oui : \(u_{7} = u_{10} \cdot 2^{7 - 10} = \frac{96}{8} = 12\).
\(768\)
Tu as avancé au lieu de reculer : de \(u_{10}\) à \(u_{7}\), on divise trois fois par \(2\).
\(90\)
Tu as retiré \(3 \cdot 2\), comme pour une suite arithmétique. Ici, on divise par \(2^{3}\).
\(16\)
Tu as divisé par \(2 \cdot 3 = 6\) : reculer de \(3\) rangs, c’est diviser par \(2^{3} = 8\).
Une suite géométrique vérifie \(u_{1} = 5\) et \(u_{5} = 405\). Détermine toutes les raisons possibles et les premiers termes \(u_{0}\) correspondants.
\(q^{4} = \frac{405}{5} = 81\). L’exposant \(4\) est pair : \(q = 3\) ou \(q = -3\). Si \(q = 3\) : \(u_{0} = \frac{5}{3}\) ; si \(q = -3\) : \(u_{0} = -\frac{5}{3}\). Deux suites conviennent.
J’ai calculé \(q^{4} = 81\) (et non \(q = \frac{81}{4}\)).
J’ai trouvé les deux raisons \(3\) et \(-3\), parce que l’exposant est pair.
J’ai calculé \(u_{0}\) pour chacune, en reculant d’un rang (division par \(q\)).
Quelle est la limite de la suite géométrique \(u_{n} = 8 \cdot 0{,}9^{n}\) ?
\(0\)
Oui : \(-1 < 0{,}9 < 1\) ; on multiplie sans cesse par un nombre plus petit que \(1\), les termes se rapprochent de \(0\) (propriété).
\(8\)
\(8\) est le premier terme ; les suivants sont de plus en plus petits.
\(-\infty\)
La suite décroît, mais ses termes restent positifs : ils ne peuvent pas devenir très négatifs.
\(0{,}9\)
C’est la raison, pas la limite.
Que peut-on dire de la limite de \(u_{n} = 2 \cdot (-3)^{n}\) ?
Elle n’existe pas : les termes changent de signe et s’éloignent de \(0\).
Oui : \(q = -3 \leq -1\) ; \(2\) ; \(-6\) ; \(18\) ; \(-54\)… la suite diverge.
Elle vaut \(+\infty\).
La moitié des termes sont négatifs et de plus en plus grands en valeur absolue : les termes ne restent pas grands et positifs.
Elle vaut \(0\).
Les termes s’éloignent de \(0\) : \(|q| = 3 > 1\).
Elle vaut \(-\infty\).
Un terme sur deux est positif et très grand : la suite n’a pas de limite.
Donne un exemple de suite géométrique de premier terme négatif qui converge vers \(0\). Précise \(u_{0}\), \(q\) et la formule explicite.
Par exemple \(u_{0} = -4\) et \(q = \frac{1}{2}\) : \(u_{n} = -4 \cdot (\frac{1}{2})^{n}\). (Toute raison vérifiant \(-1 < q < 1\), \(q \neq 0\), convient.)
Mon premier terme est négatif.
Ma raison vérifie \(-1 < q < 1\) et n’est pas nulle.
Ma formule est de la forme \(u_{n} = u_{0} \cdot q^{n}\).
Quelle suite géométrique a pour limite \(-\infty\) ?
\(u_{n} = -3 \cdot 2^{n}\)
Oui : \(u_{0} < 0\) et \(q > 1\) : les termes sont négatifs et deviennent aussi grands qu’on veut en valeur absolue.
\(u_{n} = 3 \cdot (-2)^{n}\)
Avec \(q = -2\), les termes changent de signe : pas de limite.
\(u_{n} = -3 \cdot (\frac{1}{2})^{n}\)
Avec \(q = \frac{1}{2}\), les termes se rapprochent de \(0\) : la limite vaut \(0\).
\(u_{n} = 3 \cdot 2^{n}\)
\(u_{0} > 0\) et \(q > 1\) : la limite vaut \(+\infty\).
Que vaut \(S_{8} = 3 + 6 + 12 + \ldots\) (les \(8\) premiers termes de la suite géométrique \(u_{0} = 3\), \(q = 2\)) ?
\(765\)
Oui : \(S_{8} = 3 \cdot \frac{2^{8} - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 255 = 765\).
\(1533\)
Tu as calculé \(S_{9}\) (\(3 \cdot (2^{9} - 1)\)) : les \(8\) premiers termes vont de \(u_{0}\) à \(u_{7}\), et la formule utilise \(q^{8}\).
\(384\)
\(384 = u_{7}\) est le dernier terme de la somme, pas la somme.
\(768\)
Tu as oublié le \(-1\) : \(3 \cdot 2^{8} = 768\). La formule est \(u_{0} \frac{q^{n} - 1}{q - 1}\).
Démontre que, pour une suite géométrique de raison \(q \neq 1\), \(S_{n} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n-1} = u_{0} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}\).
\[ S_{n} = u_{0} + u_{0} q + \ldots + u_{0} q^{n-1}, \\ q S_{n} = u_{0} q + \ldots + u_{0} q^{n-1} + u_{0} q^{n}. \]
En soustrayant, il ne reste que \(q S_{n} - S_{n} = u_{0} q^{n} - u_{0}\), soit \((q - 1) S_{n} = u_{0} (q^{n} - 1)\). Comme \(q \neq 1\), on divise par \(q - 1\).
J’ai écrit \(S_{n}\) avec la formule explicite \(u_{k} = u_{0} q^{k}\).
J’ai multiplié par \(q\) et soustrait, en montrant quels termes se simplifient.
J’ai utilisé \(q \neq 1\) pour diviser.
L’iode 131, utilisé en médecine, perd la moitié de sa radioactivité tous les \(8\) jours environ. Un flacon a une activité de \(800\) unités. Quelle sera son activité après \(24\) jours ? Après combien de périodes de \(8\) jours passera-t-elle sous \(10\) unités ?
L’activité est multipliée par \(\frac{1}{2}\) tous les \(8\) jours : \(a_{n} = 800 \cdot (\frac{1}{2})^{n}\), où \(n\) compte les périodes de \(8\) jours. Après \(24\) jours (\(n = 3\)) : \(a_{3} = \frac{800}{8} = 100\) unités. \(a_{6} = 12{,}5\) et \(a_{7} = 6{,}25\) : l’activité passe sous \(10\) unités après \(7\) périodes, soit \(56\) jours.
J’ai modélisé par une suite géométrique de raison \(\frac{1}{2}\) en comptant des périodes de \(8\) jours.
J’ai trouvé \(100\) unités après \(24\) jours.
J’ai trouvé \(7\) périodes (environ \(56\) jours) en calculant les termes successifs.
La suite \((w_{n})\) est définie par \(w_{0} = 0\) et \(w_{n+1} = \frac{w_{n} + 6}{3}\). Calcule \(w_{1}\), \(w_{2}\), \(w_{3}\), puis conjecture sa limite. Explique comment la « toile » du cours (droites \(y = \frac{x + 6}{3}\) et \(y = x\)) permet de la trouver.
\(w_{1} = 2\), \(w_{2} = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\), \(w_{3} = \frac{26}{9} \approx 2{,}89\) : on conjecture une limite égale à \(3\). Sur la toile, les marches se resserrent vers le point où les deux droites se croisent : \(x = \frac{x + 6}{3}\) donne \(3x = x + 6\), \(x = 3\).
J’ai calculé les termes de proche en proche.
J’ai conjecturé la limite \(3\).
J’ai relié la limite à l’intersection des deux droites.