Générer une suite arithmétique
Relation de récurrence et formule explicite
Propriété 2.2 — génération
Soit \((u_{n})\) une suite arithmétique de raison \(r\) et de premier terme \(u_{0}\).
- Relation de récurrence : \(u_{n+1} = u_{n} + r\).
- Formule explicite : \(u_{n} = u_{0} + n r\).
Exemple 2.2
Suite arithmétique de raison \(r = 7\) et de premier terme \(u_{0} = -4\). Récurrence : \(u_{n+1} = u_{n} + 7\). Formule explicite : \(u_{n} = -4 + 7 n\). Ainsi \(u_{1000} = -4 + 7 \cdot 1000 = 6996\).
Calculer un terme à partir d’un autre
Le premier terme d’une suite n’est pas toujours \(u_{0}\) : on doit savoir passer d’un terme quelconque \(u_{p}\) à un autre \(u_{n}\). Observons deux cas.
Exemple 2.3 — du 42e terme au 17e
Une suite arithmétique a pour raison \(r = 3\) et l’on connaît \(u_{42} = 100\). Cherchons \(u_{17}\). Pour passer du rang \(42\) au rang \(17\), on recule de \(17 - 42 = -25\) rangs, en retirant \(25\) fois la raison :
\[ u_{17} = u_{42} + (17 - 42) \cdot r = 100 + (-25) \cdot 3 = 100 - 75 = 25. \]
Exemple 2.4 — du 58e terme au 3e
Une suite arithmétique a pour raison \(r = -4\) et \(u_{58} = 200\). Cherchons \(u_{3}\). On passe du rang \(58\) au rang \(3\) : \(3 - 58 = -55\) rangs.
\[ u_{3} = u_{58} + (3 - 58) \cdot r = 200 + (-55) \cdot (-4) = 200 + 220 = 420. \]
Activité 2.2 — généralise
En observant les deux exemples ci-dessus, comment calcules-tu \(u_{n}\) à partir d’un terme \(u_{p}\) quelconque, pour une suite arithmétique de raison \(r\) ?
\(u_{n} =\) \(u_{p} + (n - p) r\)
Propriété 2.3 — d’un terme à un autre
Pour une suite arithmétique de raison \(r\) et pour tous rangs \(n\) et \(p\) :
\[ u_{n} = u_{p} + (n - p) r. \]
Calculer la raison à partir de deux termes
Si l’on connaît deux termes \(u_{p}\) et \(u_{n}\), la propriété précédente permet de trouver la raison : de \(u_{n} = u_{p} + (n - p) r\) on tire la raison en isolant \(r\).
Exemple 2.5
Une suite arithmétique vérifie \(u_{9} = 30\) et \(u_{21} = 120\). La raison est
\[ r = \frac{u_{21} - u_{9}}{21 - 9} = \frac{120 - 30}{12} = \frac{90}{12} = 7{,}5. \]
Propriété 2.4 — raison à partir de deux termes
Pour une suite arithmétique et deux rangs distincts \(n \neq p\) :
\[ r = \frac{u_{n} - u_{p}}{n - p}. \]