Limite d’une suite
Intéressons-nous maintenant à la tendance de la suite quand le rang devient très grand.
Activité 1.7 — conjecturer une limite
Observe les deux graphiques et le tableau de valeurs, puis conjecture vers quel nombre chaque suite se dirige lorsque le rang \(n\) devient très grand.
\(u_{n} = \frac{1}{n}\)
\(v_{n} = \frac{n}{n+1}\)
Conjectures : \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} =\) \(0\) \(\lim\limits_{n \to +\infty} v_{n} =\) \(1\)
Voici enfin une suite \((a_{n})\) donnée par un tableau de valeurs :
| \(n\) | \(1\) | \(5\) | \(10\) | \(100\) | \(1000\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(a_{n}\) | 2,5 | 2,1 | 2,05 | 2,005 | 2,0005 |
Vers quel nombre \(a_{n}\) semble-t-il se rapprocher ? \(2\)
Une suite peut aussi se lire sur une droite graduée : ses termes y sont reportés, et l’on voit vers quel nombre ils s’accumulent. Ci-dessous, la suite \(w_{n}\) définie par \(w_{0} = 0\) et \(w_{n+1} = \frac{w_{n} + 2}{2}\) :
Les termes s’accumulent vers \(2\) : on conjecture \(\lim\limits_{n \to +\infty} w_{n} = 2\).
Définition 1.5 — limite, convergence
Soit \((u_{n})\) une suite et \(\ell \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}\) . On dit que \((u_{n})\) converge vers \(\ell\) (ou que la limite de \((u_{n})\) vaut \(\ell\)) si les termes \(u_{n}\) se rapprochent autant qu’on veut de \(\ell\) lorsque le rang \(n\) est suffisamment grand. On note alors
\[ \lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = \ell. \]
Sinon, on dit que la suite diverge.
Que signifie « autant qu’on veut » ? Reprenons la suite \(v_{n} = \frac{n}{n+1}\) de l’activité et fixons une marge autour de \(1\), par exemple \(0{,}1\) : les termes situés dans la bande colorée autour de la droite d’équation \(y = 1\) sont à moins de \(0{,}1\) de \(1\) (le curseur \(\varepsilon\) règle la largeur de la bande). À partir du rang \(10\), tous les termes y restent, car l’écart \(1 - v_{n} = \frac{1}{n+1}\) est alors inférieur à \(0{,}1\). Avec une marge plus petite, \(0{,}01\), il faut attendre le rang \(100\). Quelle que soit la marge choisie, aussi petite soit-elle, un tel rang existe : c’est exactement ce que dit la définition.
La suite \(v_{n} = \frac{n}{n+1}\) et la bande de demi-largeur \(0{,}1\) autour de \(1\).
La suite \((w_{n})\) de l’activité, définie par récurrence, se lit aussi sur un graphique. On trace la droite d’équation \(y = \frac{x + 2}{2}\), qui donne le terme suivant à partir du terme courant, et la droite d’équation \(y = x\). On part de \(w_{0} = 0\) sur l’axe horizontal, on monte jusqu’à la première droite pour lire \(w_{1}\), puis on se déplace horizontalement jusqu’à la droite \(y = x\) : ce point a pour abscisse \(w_{1}\), et l’on recommence à partir de lui pour lire \(w_{2}\), et ainsi de suite. Les marches de cette « toile » se resserrent vers le point où les deux droites se croisent, d’abscisse \(2\) : c’est la limite que nous avions conjecturée.
La toile de la suite définie par \(w_{n+1} = \frac{w_{n} + 2}{2}\) et \(w_{0} = 0\).
Un tableau de valeurs ou un graphique ne montre qu’un nombre fini de termes : il ne permet jamais d’établir une limite avec certitude, seulement de la conjecturer. C’est pourquoi, dans ce cours, on conjecture une limite par observation.