Exercices

Exemple 3.7 — avant de te lancer

Considérons la suite géométrique donnée par \(u_{0} = 5\), \(q = 3\). Alors \(u_{n} = 5 \cdot 3^{n}\) ; elle converge vers \(+\infty\) ; \(u_{4} = 5 \cdot 81 = 405\) ; et \(S_{5} = 5 \cdot \frac{3^{5} - 1}{3 - 1} = 5 \cdot \frac{242}{2} = 605\).

✎ Exercice 3.1 C2 ★☆☆

Parmi les suites suivantes, indique lesquelles sont géométriques ; pour celles-ci, précise la raison et donne la formule explicite.

\((1 ; 0{,}1 ; 0{,}01 ; 0{,}001 ; \ldots)\)
\((3 ; 5 ; 7 ; 9 ; \ldots)\)
\((7 ; 17{,}5 ; 43{,}75 ; 109{,}375 ; \ldots)\)
\((\frac{1}{3} ; \frac{2}{9} ; \frac{4}{27} ; \frac{8}{81} ; \ldots)\)

Relis la définition d’une suite géométrique et l’exemple qui la suit.

Pour chaque suite, calcule les rapports \(\frac{u_{1}}{u_{0}}\), \(\frac{u_{2}}{u_{1}}\), \(\frac{u_{3}}{u_{2}}\) : sont-ils tous égaux ?

Pour la troisième : \(\frac{17{,}5}{7} = 2{,}5\), puis \(\frac{43{,}75}{17{,}5}\)… Si le rapport est constant, c’est \(q\), et \(u_{n} = u_{0} \cdot q^{n}\) (génération).

Par la Définition 3.1, une suite est géométrique lorsque le rapport entre deux termes consécutifs est constant. On calcule donc ces rapports ; s’ils sont égaux, leur valeur commune est la raison \(q\), et la Propriété 3.2 donne la formule explicite \(u_{n} = u_{0} \cdot q^{n}\).

\((1 ; 0{,}1 ; 0{,}01 ; 0{,}001 ; \ldots)\) : \(\frac{0{,}1}{1} = \frac{0{,}01}{0{,}1} = \frac{0{,}001}{0{,}01} = 0{,}1\). Le rapport est constant : la suite est géométrique, de raison \(q = 0{,}1\) et de premier terme \(u_{0} = 1\), donc \(u_{n} = 0{,}1^{n}\).
\((3 ; 5 ; 7 ; 9 ; \ldots)\) : \(\frac{5}{3} \approx 1{,}67\) et \(\frac{7}{5} = 1{,}4\). Les rapports ne sont pas égaux : la suite n’est pas géométrique. (Elle est arithmétique, de raison \(2\).)
\((7 ; 17{,}5 ; 43{,}75 ; 109{,}375 ; \ldots)\) : \(\frac{17{,}5}{7} = \frac{43{,}75}{17{,}5} = \frac{109{,}375}{43{,}75} = 2{,}5\). La suite est géométrique, de raison \(q = 2{,}5\), et \(u_{n} = 7 \cdot 2{,}5^{n}\).
\((\frac{1}{3} ; \frac{2}{9} ; \frac{4}{27} ; \frac{8}{81} ; \ldots)\) : \(\frac{2}{9} \cdot \frac{3}{1} = \frac{4}{27} \cdot \frac{9}{2} = \frac{8}{81} \cdot \frac{27}{4} = \frac{2}{3}\). La suite est géométrique, de raison \(q = \frac{2}{3}\), et \(u_{n} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3})^{n}\).

Calculer des différences au lieu de rapports.
Diviser dans le mauvais sens (\(\frac{u_{0}}{u_{1}}\)) : on obtient \(\frac{1}{q}\).

✎ Exercice 3.2 A3 ★★☆

Pour les suites géométriques suivantes, calcule \(u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}\), donne la formule explicite, calcule \(u_{9}\) et \(S_{10}\), et précise la variation et la convergence.

\(u_{0} = -7\) et \(q = 3\)
\(u_{0} = 128\) et \(q = \frac{1}{2}\)

Relis les propriétés « génération », « somme des \(n\) premiers termes » et « limite d’une suite géométrique », ainsi que l’activité qui la précède.

Pour la variation, regarde à la fois le signe de \(u_{0}\) et la valeur de \(q\) : multiplier un nombre négatif par \(3\), est-ce le faire monter ou descendre ?

\(u_{n} = u_{0} \cdot q^{n}\), puis \(S_{10} = u_{0} \cdot \frac{q^{10} - 1}{q - 1}\).

On utilise la Propriété 3.2 (\(u_{n} = u_{0} \cdot q^{n}\)), la Propriété 3.6 (\(S_{n} = u_{0} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}\) pour \(q \neq 1\)), la Propriété 3.1 pour la variation et la Propriété 3.5 pour la limite.

Première suite : \(u_{0} = -7\) et \(q = 3\).

On multiplie chaque terme par \(3\) : \(u_{1} = -21\), \(u_{2} = -63\), \(u_{3} = -189\), \(u_{4} = -567\).
Formule explicite : \(u_{n} = -7 \cdot 3^{n}\). Donc \(u_{9} = -7 \cdot 3^{9} = -7 \cdot 19 \, 683 = -137 \, 781\).
\(S_{10} = -7 \cdot \frac{3^{10} - 1}{3 - 1} = -7 \cdot \frac{59 \, 048}{2} = -7 \cdot 29 \, 524 = -206 \, 668\).
Variation : \(u_{0} < 0\) et \(q > 1\), donc la suite est strictement décroissante.
Limite : \(q > 1\) et \(u_{0} < 0\), donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = -\infty\) : la suite converge vers \(-\infty\).

Seconde suite : \(u_{0} = 128\) et \(q = \frac{1}{2}\).

On divise chaque terme par \(2\) : \(u_{1} = 64\), \(u_{2} = 32\), \(u_{3} = 16\), \(u_{4} = 8\).
Formule explicite : \(u_{n} = 128 \cdot (\frac{1}{2})^{n}\). Donc \(u_{9} = \frac{128}{2^{9}} = \frac{128}{512} = 0{,}25\).
\(S_{10} = 128 \cdot \frac{(\frac{1}{2})^{10} - 1}{\frac{1}{2} - 1} = 128 \cdot \frac{\frac{1}{1024} - 1}{-\frac{1}{2}} = 256 \cdot (1 - \frac{1}{1024}) = 256 - 0{,}25 = 255{,}75\).
Variation : \(u_{0} > 0\) et \(0 < q < 1\), donc la suite est strictement décroissante.
Limite : \(-1 < q < 1\), donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = 0\) : la suite converge vers \(0\).

Dire que la première suite est croissante « parce que \(q > 1\) » : avec \(u_{0} < 0\), elle décroît.
Se tromper de signe au dénominateur : \(\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}\).
Calculer \(u_{9} = -7 \cdot 3 \cdot 9\) comme pour une suite arithmétique.

Exemple 3.8 — calculer un terme à partir d’un autre

Considérons la suite géométrique donnée par \(q = 2\), \(u_{10} = 5\). Alors

\[ u_{13} = u_{10} \cdot q^{13 - 10} = 5 \cdot 2^{3} = 40. \]

✎ Exercice 3.3 A3 ★★☆

Dans chaque cas, la suite est géométrique. Calcule le terme demandé.

\(q = 2\), \(u_{5} = 3\) : calcule \(u_{8}\).
\(q = \frac{1}{2}\), \(u_{10} = 64\) : calcule \(u_{7}\).
\(q = 3\), \(u_{4} = 2\) : calcule \(u_{7}\).
\(q = -2\), \(u_{3} = 1\) : calcule \(u_{6}\).
\(q = 10\), \(u_{6} = 7\) : calcule \(u_{9}\).
\(q = \frac{1}{3}\), \(u_{8} = 9\) : calcule \(u_{5}\).
\(q = 2\), \(u_{20} = 5\) : calcule \(u_{16}\).
\(q = -1\), \(u_{4} = 5\) : calcule \(u_{9}\).

Relis la propriété « d’un terme à un autre » et les deux exemples qui la précèdent.

De combien de rangs avance-t-on ou recule-t-on ? Reculer d’un rang, c’est multiplier par \(q\) ou diviser par \(q\) ?

Premier cas : de \(u_{5}\) à \(u_{8}\), on avance de \(3\) rangs : \(u_{8} = 3 \cdot 2^{3}\). Quand on recule, l’exposant \(n - p\) est négatif : \(q^{-3} = \frac{1}{q^{3}}\).

Par la Propriété 3.3, pour deux rangs \(n\) et \(p\), on a \(u_{n} = u_{p} \cdot q^{n - p}\) : on multiplie par \(q\) autant de fois qu’on avance de rangs. Quand on recule (\(n < p\)), l’exposant est négatif, ce qui revient à diviser par \(q\).

\(u_{8} = u_{5} \cdot 2^{8 - 5} = 3 \cdot 2^{3} = 3 \cdot 8 = 24\).
\(u_{7} = u_{10} \cdot (\frac{1}{2})^{7 - 10} = 64 \cdot (\frac{1}{2})^{-3} = 64 \cdot 2^{3} = 512\).
\(u_{7} = u_{4} \cdot 3^{7 - 4} = 2 \cdot 3^{3} = 2 \cdot 27 = 54\).
\(u_{6} = u_{3} \cdot (-2)^{6 - 3} = 1 \cdot (-2)^{3} = -8\).
\(u_{9} = u_{6} \cdot 10^{9 - 6} = 7 \cdot 1000 = 7000\).
\(u_{5} = u_{8} \cdot (\frac{1}{3})^{5 - 8} = 9 \cdot (\frac{1}{3})^{-3} = 9 \cdot 27 = 243\).
\(u_{16} = u_{20} \cdot 2^{16 - 20} = 5 \cdot 2^{-4} = \frac{5}{16} = 0{,}3125\).
\(u_{9} = u_{4} \cdot (-1)^{9 - 4} = 5 \cdot (-1)^{5} = -5\).

Multiplier par \((n - p)\) au lieu d’élever à la puissance \(n - p\) (réflexe des suites arithmétiques).
Oublier le signe : \((-2)^{3} = -8\).
Quand on recule avec \(q = \frac{1}{2}\), diviser par \(8\) au lieu de multiplier par \(8\).

✎ Exercice 3.4 A3 ★★☆

Dans chaque cas, la suite est une suite géométrique. Calcule \(u_{0}\) et la raison (attention au signe de la racine).

\(u_{5} = 96\) et \(u_{6} = 192\)
\(u_{1} = 6\) et \(u_{4} = 48\)

Relis la propriété « raison à partir de deux termes » et l’exemple « trois cas ».

Combien de rangs séparent les deux termes connus ? L’exposant est-il pair ou impair ?

Deuxième cas : \(q^{3} = \frac{48}{6} = 8\). L’exposant \(3\) est impair : une seule racine cubique. Pour \(u_{0}\), recule depuis \(u_{1}\) : \(u_{0} = \frac{u_{1}}{q}\).

Les termes \(u_{5}\) et \(u_{6}\) sont consécutifs : par la Définition 3.1, \(q = \frac{u_{6}}{u_{5}} = \frac{192}{96} = 2\). Par la Propriété 3.3, \(u_{5} = u_{0} \cdot q^{5}\), d’où \(u_{0} = \frac{u_{5}}{q^{5}} = \frac{96}{32} = 3\). Vérification : \(u_{6} = 3 \cdot 2^{6} = 3 \cdot 64 = 192\).
Par la Propriété 3.4, \(q^{4 - 1} = \frac{u_{4}}{u_{1}}\), c’est-à-dire \(q^{3} = \frac{48}{6} = 8\). L’exposant \(3\) est impair : il n’y a qu’une raison possible, \(q = \sqrt[3]{8} = 2\). Ensuite \(u_{1} = u_{0} \cdot q\), d’où \(u_{0} = \frac{u_{1}}{q} = \frac{6}{2} = 3\). Vérification : \(u_{4} = 3 \cdot 2^{4} = 3 \cdot 16 = 48\).

Diviser \(48\) par \(3\) au lieu d’extraire une racine cubique.
Pour \(u_{0}\), multiplier par \(q\) au lieu de diviser : on recule vers le rang \(0\).

✎ Exercice 3.5 A4 ★★☆

Sachant que les termes des sommes suivantes sont les termes d’une suite géométrique, calcule les sommes.

\(S_{12} = 8 + 16 + 32 + \ldots\)
\(3 + 6 + 12 + \ldots + 1536\)

Relis la propriété « somme des \(n\) premiers termes » et l’exemple qui la suit.

Quels sont le premier terme et la raison ? Combien y a-t-il de termes dans chaque somme ?

Seconde somme : \(u_{0} = 3\), \(q = 2\) ; pour compter les termes, résous \(3 \cdot 2^{n} = 1536\), soit \(2^{n} = 512\).

On utilise la Propriété 3.6 : la somme des \(n\) premiers termes vaut \(S_{n} = u_{0} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}\) si \(q \neq 1\). Il faut connaître le premier terme, la raison et le nombre de termes.

Le premier terme est \(u_{0} = 8\) et \(\frac{16}{8} = \frac{32}{16} = 2\), donc \(q = 2\). La somme compte \(12\) termes :

\[ S_{12} = 8 \cdot \frac{2^{12} - 1}{2 - 1} = 8 \cdot 4095 = 32 \, 760. \]

Le premier terme est \(u_{0} = 3\) et \(q = \frac{6}{3} = 2\), donc \(u_{k} = 3 \cdot 2^{k}\). Le dernier terme vaut \(1536\) : \(3 \cdot 2^{k} = 1536\), donc \(2^{k} = 512 = 2^{9}\) et \(k = 9\). La somme va de \(u_{0}\) à \(u_{9}\) : elle compte \(10\) termes.

\[ 3 + 6 + 12 + \ldots + 1536 = S_{10} = 3 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 3 \cdot 1023 = 3069. \]

Compter \(9\) termes au lieu de \(10\) : de \(u_{0}\) à \(u_{9}\), il y en a \(10\).
Utiliser la formule des suites arithmétiques.

✎ Exercice 3.6 A3 ★★☆

Sachant que \((u_{n})\) est géométrique, que \(u_{3} = 24\) et \(u_{11} = 6144\), calcule la raison puis \(u_{0}\).

Relis la propriété « raison à partir de deux termes » et l’encadré « Attention à la parité de l’exposant ».

Combien de rangs séparent \(u_{3}\) et \(u_{11}\) ? Cet exposant est-il pair ?

\(q^{8} = \frac{6144}{24} = 256\). Quels nombres ont une puissance huitième égale à \(256\) ?

Par la Propriété 3.4, \(q^{11 - 3} = \frac{u_{11}}{u_{3}}\), c’est-à-dire \(q^{8} = \frac{6144}{24} = 256\). L’exposant \(8\) est pair : il y a deux raisons possibles, opposées, \(q = \pm \sqrt[8]{256} = \pm 2\).

On calcule \(u_{0}\) à partir de \(u_{3} = u_{0} \cdot q^{3}\) (Propriété 3.3) :

si \(q = 2\), alors \(u_{0} = \frac{u_{3}}{q^{3}} = \frac{24}{8} = 3\) ;
si \(q = -2\), alors \(u_{0} = \frac{24}{(-2)^{3}} = \frac{24}{-8} = -3\).

Deux suites conviennent : \(u_{n} = 3 \cdot 2^{n}\) et \(u_{n} = -3 \cdot (-2)^{n}\). Vérification : \(3 \cdot 2^{3} = 24\) et \(-3 \cdot (-2)^{3} = -3 \cdot (-8) = 24\).

Oublier la raison négative : l’exposant est pair.
Calculer \(u_{0} = 24 \cdot 2^{3}\) en avançant au lieu de reculer.

✎ Exercice 3.7 A2 ★★☆

Cite la théorie. Un élève affirme que \((2 ; -6 ; 18 ; -54 ; \ldots)\) est géométrique. A-t-il raison ? Justifie en citant la définition utilisée, précise la raison et donne la formule explicite.

Relis la définition d’une suite géométrique.

Que faut-il calculer pour vérifier la définition ? Un rapport négatif est-il permis ?

\(-\frac{6}{2} = -3\), \(\frac{18}{-6} = -3\), \(-\frac{54}{18} = -3\).

Par la Définition 3.1, une suite est géométrique lorsque le rapport entre deux termes consécutifs est constant et non nul. Ici,

\[ \frac{-6}{2} = -3, \quad \frac{18}{-6} = -3, \quad \frac{-54}{18} = -3. \]

Les rapports sont tous égaux à \(-3\) : l’élève a raison, la suite est géométrique de raison \(q = -3\). Son premier terme est \(u_{0} = 2\), donc, par la Propriété 3.2, \(u_{n} = 2 \cdot (-3)^{n}\). La raison est négative : les termes changent de signe à chaque étape (Remarque 3.1), ce que l’on observe.

Penser qu’une raison négative est interdite : les termes changent alors de signe à chaque rang.
Écrire \(u_{n} = -3 \cdot 2^{n}\) en inversant premier terme et raison.

✎ Exercice 3.8 C7 ★★★

Cite la théorie. Énonce la propriété donnant la somme des \(n\) premiers termes d’une suite géométrique, puis démontre-la (multiplie la somme par \(q\) et soustrais).

Relis la propriété de la somme des \(n\) premiers termes et sa démonstration.

Si tu multiplies toute la somme par \(q\), que devient chaque terme ? Lesquels retrouves-tu dans \(S_{n}\) ?

\(q \cdot S_{n} = u_{0} q + u_{0} q^{2} + \ldots + u_{0} q^{n}\) : tous ces termes, sauf le dernier, sont aussi dans \(S_{n}\). Calcule \(q S_{n} - S_{n}\).

Propriété (Propriété 3.6). Soit \((u_{n})\) une suite géométrique de raison \(q \neq 1\). La somme de ses \(n\) premiers termes vaut

\[ S_{n} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n-1} = u_{0} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}. \]

Démonstration. Par la Propriété 3.2, \(u_{k} = u_{0} \cdot q^{k}\) pour tout \(k\). On écrit \(S_{n}\), puis \(q \cdot S_{n}\) :

\[ S_{n} = u_{0} + u_{0} q + u_{0} q^{2} + \ldots + u_{0} q^{n-1}, \\ q \cdot S_{n} = u_{0} q + u_{0} q^{2} + \ldots + u_{0} q^{n-1} + u_{0} q^{n}. \]

On soustrait la première ligne de la seconde. Les termes \(u_{0} q, u_{0} q^{2}, \ldots, u_{0} q^{n-1}\) figurent dans les deux lignes et s’éliminent ; il reste

\[ q S_{n} - S_{n} = u_{0} q^{n} - u_{0}, \quad \text{c'est-à-dire} \quad (q - 1) S_{n} = u_{0} (q^{n} - 1). \]

Comme \(q \neq 1\), on a \(q - 1 \neq 0\) et on peut diviser par \(q - 1\) :

\[ S_{n} = u_{0} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}. \]

Si \(q = 1\), tous les termes valent \(u_{0}\), et la somme vaut \(n \cdot u_{0}\).

Oublier la condition \(q \neq 1\) : on divise par \(q - 1\).
Se tromper dans les termes qui restent après la soustraction : ce sont le dernier de \(q S_{n}\) et le premier de \(S_{n}\).

✎ Exercice 3.9 C5 ★★☆

Donne un exemple. Dans chaque cas, propose une suite géométrique qui convient et précise son premier terme \(u_{0}\), sa raison \(q\) et sa formule explicite.

qui converge vers \(0\) ;
constante, égale à \(4\) ;
dont les termes alternent de signe ;
qui converge vers \(+\infty\).

Relis la propriété « limite d’une suite géométrique » et le tableau de l’activité qui la précède.

Quelles valeurs de \(q\) font converger la suite vers \(0\) ? Quelle valeur la rend constante ? Quel signe de \(q\) fait alterner les termes ?

Choisis \(q\) d’abord, puis \(u_{0}\) (non nul), puis écris \(u_{n} = u_{0} \cdot q^{n}\).

D’autres réponses sont possibles. On choisit d’abord la raison \(q\) (et le signe de \(u_{0}\)) à l’aide de la Propriété 3.5 et de la Remarque 3.1, puis \(u_{0} \neq 0\), et on écrit \(u_{n} = u_{0} \cdot q^{n}\) (Propriété 3.2).

Qui converge vers \(0\) : il faut \(-1 < q < 1\). Par exemple \(u_{0} = 5\) et \(q = \frac{1}{2}\) : \(u_{n} = 5 \cdot (\frac{1}{2})^{n}\).
Constante, égale à \(4\) : il faut \(q = 1\) et \(u_{0} = 4\) : \(u_{n} = 4 \cdot 1^{n} = 4\).
Dont les termes alternent de signe : il faut \(q < 0\). Par exemple \(u_{0} = 1\) et \(q = -2\) : \(u_{n} = (-2)^{n}\), dont les termes sont \(1 ; -2 ; 4 ; -8 ; \ldots\)
Qui converge vers \(+\infty\) : il faut \(q > 1\) et \(u_{0} > 0\). Par exemple \(u_{0} = 1\) et \(q = 2\) : \(u_{n} = 2^{n}\).

Proposer \(q = 0\) pour converger vers \(0\) : la définition impose un rapport non nul.
Pour la limite \(+\infty\), prendre \(u_{0} < 0\) : la suite tend alors vers \(-\infty\).

✎ Exercice 3.10 A1 ★☆☆

a) Représente les cinq premiers termes (\(n\) de \(0\) à \(4\)) de la suite géométrique \(u_{n} = 16 \cdot (\frac{1}{2})^{n}\) dans le repère ci-dessous.

b) On donne ci-dessous une autre suite. Est-elle plutôt arithmétique ou géométrique ? Justifie par l’allure des points, puis lis \(u_{0}\), détermine la raison et donne la formule explicite.

Relis la section « Représentation et variation » du chapitre 3 et la définition d’une suite géométrique.

Sur le second graphique, les hauteurs diminuent-elles toujours du même nombre, ou sont-elles à chaque fois divisées par le même nombre ?

\(u_{0} = 16\), \(u_{1} = 8\)… b) Lis \(u_{0} = 8\), puis compare \(u_{1}\) à \(u_{0}\).

On calcule les termes : \(u_{0} = 16\), \(u_{1} = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8\), \(u_{2} = 4\), \(u_{3} = 2\), \(u_{4} = 1\). On place les points \((0 ; 16)\), \((1 ; 8)\), \((2 ; 4)\), \((3 ; 2)\) et \((4 ; 1)\).
On lit \(u_{0} = 8\), \(u_{1} = 4\), \(u_{2} = 2\), \(u_{3} = 1\). Les points ne sont pas alignés : les écarts \(4 - 8 = -4\), \(2 - 4 = -2\) et \(1 - 2 = -1\) ne sont pas constants, donc la suite n’est pas arithmétique. En revanche, \(\frac{4}{8} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) : le rapport est constant, donc, par la Définition 3.1, la suite est géométrique, de raison \(q = \frac{1}{2}\). Par la Propriété 3.2, \(u_{n} = 8 \cdot (\frac{1}{2})^{n}\).

Lire une raison \(q = -4\) en regardant la première descente : dans une suite géométrique, on compare par division.

✎ Exercice 3.11 C6 ★★☆

Calcule la limite de chaque suite, à partir de sa représentation, sachant que ce sont des suites géométriques.

a) D’après le graphique :

b) D’après le tableau de valeurs :

\(n\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
\(u_{n}\)	\(1\)	\(3\)	\(9\)	\(27\)	\(81\)	\(243\)

Relis la propriété « limite d’une suite géométrique ».

Pour appliquer la propriété, que faut-il connaître ? Peux-tu lire \(q\) et le signe de \(u_{0}\) sur chaque représentation ?

\(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\). b) \(\frac{3}{1} = 3\).

On utilise la Propriété 3.5 : il faut connaître la raison \(q\) et, si \(q > 1\), le signe de \(u_{0}\).

On lit \(u_{0} = 8\), \(u_{1} = 4\), \(u_{2} = 2\) : \(\frac{4}{8} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\), donc \(q = \frac{1}{2}\). Comme \(-1 < q < 1\), \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = 0\) : la suite converge vers \(0\).
\(\frac{3}{1} = \frac{9}{3} = \frac{27}{9} = 3\), donc \(q = 3\). Comme \(q > 1\) et \(u_{0} = 1 > 0\), \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = +\infty\) : la suite converge vers \(+\infty\).

Dire « la limite vaut \(0{,}25\) » en lisant le dernier point : la suite continue de diminuer.
Oublier le signe de \(u_{0}\) quand \(q > 1\).

✎ Exercice 3.12 T1 ★★★

Le prix d’un sac est de \(165\) €. Il subit \(4\) rabais successifs de \(5 \%\) (soldes).

Calcule son prix après chaque rabais.
Quelle est la nature de la suite formée par ces prix ?
Quel est le pourcentage total de diminution ?

Relis l’activité sur les intérêts composés : augmenter de \(10 \%\), c’est multiplier par \(1{,}1\). Et diminuer de \(5 \%\) ?

Par quel nombre multiplie-t-on le prix à chaque rabais ? Après \(4\) rabais, par quel nombre a-t-on multiplié en tout ?

Diminuer de \(5 \%\), c’est garder \(95 \%\) : on multiplie par \(0{,}95\). \(p_{1} = 165 \cdot 0{,}95\).

Diminuer un prix de \(5 \%\), c’est en garder \(95 \%\), donc le multiplier par \(0{,}95\). Notons \(p_{0} = 165\) le prix de départ et \(p_{n}\) le prix après \(n\) rabais.

\(p_{1} = 165 \cdot 0{,}95 = 156{,}75\) €, \(p_{2} = 156{,}75 \cdot 0{,}95 \approx 148{,}91\) €, \(p_{3} \approx 141{,}47\) € et \(p_{4} \approx 134{,}39\) €.
Chaque prix s’obtient en multipliant le précédent par le même nombre \(0{,}95\) : par la Définition 3.1, la suite des prix est géométrique, de raison \(q = 0{,}95\), et \(p_{n} = 165 \cdot 0{,}95^{n}\).
Après les \(4\) rabais, le prix a été multiplié par \(0{,}95^{4} \approx 0{,}8145\) : il vaut environ \(81{,}45 \%\) du prix de départ. La diminution totale est donc d’environ \(100 \% - 81{,}45 \% = 18{,}55 \%\), et non de \(4 \cdot 5 \% = 20 \%\), car chaque rabais porte sur un prix déjà réduit.

Retirer \(4 \times 5 \% = 20 \%\) : chaque rabais porte sur un prix déjà réduit.
Retirer à chaque fois \(5 \%\) de \(165\) € (c’est-à-dire \(8{,}25\) €) : ce serait une suite arithmétique.

✎ Exercice 3.13 T1 ★★★

La légende veut que l’inventeur du jeu d’échecs ait demandé \(1\) grain de blé pour la 1^re case, \(2\) pour la 2^e, \(4\) pour la 3^e, et ainsi de suite en doublant jusqu’à la 64^e case. Combien de grains en tout ? Sachant que \(100\) grains pèsent environ \(5\) g et que la production mondiale annuelle de blé est d’environ \(700\) millions de tonnes, la demande était-elle réaliste ?

Relis la propriété « somme des \(n\) premiers termes ».

Quels sont le premier terme, la raison et le nombre de termes ? Combien pèse un grain ?

Sur la case de rang \(k\) (de \(0\) à \(63\)), il y a \(2^{k}\) grains : \(S_{64} = 1 \cdot \frac{2^{64} - 1}{2 - 1}\). Un grain pèse \(\frac{5}{100} = 0{,}05\) g.

Sur la case de rang \(k\) (de \(0\) pour la première case à \(63\) pour la dernière), il y a \(2^{k}\) grains : le nombre de grains forme une suite géométrique de premier terme \(u_{0} = 1\) et de raison \(q = 2\). Le nombre total de grains est la somme des \(64\) premiers termes. Par la Propriété 3.6,

\[ S_{64} = 1 \cdot \frac{2^{64} - 1}{2 - 1} = 2^{64} - 1 \approx 1{,}84 \cdot 10^{19}. \]

Il y a donc environ \(1{,}84 \cdot 10^{19}\) grains. Comme \(100\) grains pèsent \(5\) g, un grain pèse \(0{,}05\) g. La masse totale vaut environ \(1{,}84 \cdot 10^{19} \cdot 0{,}05 \approx 9{,}2 \cdot 10^{17}\) g, soit \(9{,}2 \cdot 10^{11}\) t, puisque \(1\) t \(= 10^{6}\) g. Cela représente \(\frac{9{,}2 \cdot 10^{11}}{7 \cdot 10^{8}} \approx 1300\) années de production mondiale : la demande n’était pas réaliste.

Calculer seulement la dernière case (\(2^{63}\) grains) au lieu de la somme de toutes les cases.
Se tromper dans les unités : \(1\) tonne \(= 10^{6}\) g.

✎ Exercice 3.14 T1 ★★★

Une balle est lâchée d’une hauteur de \(2\) m. À chaque rebond, elle remonte à \(75 \%\) de sa hauteur précédente.

Quelle hauteur atteint-elle après le 3^e rebond ?
Quelle hauteur après le \(n\)^e rebond ?
Après combien de rebonds la hauteur passe-t-elle sous \(15\) cm ?

Relis la propriété « génération » d’une suite géométrique.

Par quel nombre la hauteur est-elle multipliée à chaque rebond ? Quelle est la hauteur « au rang \(0\) » ?

\(h_{0} = 2\) m et \(q = 0{,}75\), donc \(h_{n} = 2 \cdot 0{,}75^{n}\). Pour le dernier point, calcule quelques termes : \(h_{8}\), \(h_{9}\), \(h_{10}\).

À chaque rebond, la balle remonte à \(75 \%\) de la hauteur précédente : la hauteur est multipliée par \(0{,}75\). Notons \(h_{0} = 2\) m la hauteur de départ et \(h_{n}\) la hauteur après le \(n\)^e rebond. La suite \((h_{n})\) est géométrique, de premier terme \(h_{0} = 2\) et de raison \(q = 0{,}75\).

Après le \(3\)^e rebond : \(h_{3} = 2 \cdot 0{,}75^{3} \approx 0{,}84\) m.
Après le \(n\)^e rebond, par la Propriété 3.2 : \(h_{n} = 2 \cdot 0{,}75^{n}\) m.
On cherche le premier rang tel que \(h_{n} < 0{,}15\) m. On calcule : \(h_{9} = 2 \cdot 0{,}75^{9} \approx 0{,}1502\) m, encore au-dessus de \(15\) cm, et \(h_{10} = 2 \cdot 0{,}75^{10} \approx 0{,}1126\) m. Comme \(h_{0} > 0\) et \(0 < q < 1\), la suite est strictement décroissante (Propriété 3.1) : la hauteur passe sous \(15\) cm après le \(10\)^e rebond.

Arrondir trop tôt : \(h_{9} \approx 0{,}150\) m semble valoir exactement \(15\) cm, mais \(h_{9} = 0{,}15017\)… reste au-dessus.
Retirer \(25\) cm à chaque rebond : c’est \(25 \%\) de la hauteur précédente qui est perdu.