Une pyramide de verre
Activité 2.1 — la pyramide du Louvre
La face triangulaire d’une pyramide de verre est tapissée de petits triangles. La rangée du sommet compte \(1\) triangle par face, la suivante \(3\) par face et ainsi de suite. On note \(u_{n}\) le nombre de triangles de la rangée de rang \(n\), à partir du sommet (\(n = 0\)).
- Complète le tableau :
| \(n\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(u_{n}\) | \(4\) | \(12\) | \(20\) | \(28\) | \(36\) | \(44\) | \(52\) |
Comment obtient-on \(u_{n}\) à partir du rang \(n\) ? \(u_{n} =\) \(8 n + 4\)
Une face compte \(12\) rangées (\(n\) varie de \(0\) à \(11\)). Combien de triangles à la dernière rangée ? \(u_{11} =\) \(8 \cdot 11 + 4 = 92\)
Représente les premiers termes. Les points sont-ils alignés ?
Oui : les points sont alignés. Une suite arithmétique a une croissance linéaire (les points suivent une droite).
- Combien de triangles y a-t-il pour toute pyramide ? Il faut calculer la somme \(S_{12} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{11}\). Plutôt que tout additionner, utilisons l’astuce de Gauss : apparions les termes extrêmes.
| paire | somme |
|---|---|
| \(u_{0} + u_{11}\) | \(4 + 92 = 96\) |
| \(u_{1} + u_{10}\) | \(12 + 84 = 96\) |
| \(u_{2} + u_{9}\) | \(20 + 76 = 96\) |
| paire | somme |
|---|---|
| \(u_{3} + u_{8}\) | \(28 + 68 = 96\) |
| \(u_{4} + u_{7}\) | \(36 + 60 = 96\) |
| \(u_{5} + u_{6}\) | \(44 + 52 = 96\) |
Donc \(S_{12} = 6 \times 96 =\) \(576\) triangles.
- Généralisons. Il y a \(n\) termes, soit \(\frac{n}{2}\) paires, chacune valant \(u_{0} + u_{n-1}\). Donc pour une suite arithmétique : \(S_{n} =\) \(\frac{n}{2} (u_{0} + u_{n-1})\)