Exercices

Exemple 2.7 — avant de te lancer

Une suite arithmétique a \(u_{0} = 4\) et \(r = -3\). Alors \(u_{n} = 4 - 3 n\) ; elle est strictement décroissante ; \(u_{10} = 4 - 30 = -26\) ; et \(S_{10} = \frac{10}{2} (u_{0} + u_{9}) = 5 (4 + (4 - 27)) = 5 (4 - 23) = 5 \cdot (-19) = -95\).

✎ Exercice 2.1 C2 ★☆☆

Parmi les suites suivantes, indique lesquelles sont arithmétiques ; pour celles-ci, précise la raison et donne la formule explicite.

\((-17 ; -10 ; -3 ; 4 ; 11 ; \ldots)\)
\((16 ; 4 ; -8 ; -20 ; \ldots)\)
\((4 ; 8 ; 16 ; 32 ; \ldots)\)
\((1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8 ; \ldots)\)

Relis la définition d’une suite arithmétique et l’exemple qui la suit.

Pour chaque suite, calcule les différences \(u_{1} - u_{0}\), \(u_{2} - u_{1}\), \(u_{3} - u_{2}\) : sont-elles toutes égales ?

Pour la première : \(-10 - (-17) = 7\), \(-3 - (-10) = 7\)… Si la différence est constante, c’est la raison \(r\), et \(u_{n} = u_{0} + n r\) (génération).

\((-17 ; -10 ; -3 ; 4 ; 11 ; \ldots)\) : différences toutes égales à \(7\) ; arithmétique, \(r = 7\), \(u_{n} = -17 + 7n\).
\((16 ; 4 ; -8 ; -20 ; \ldots)\) : différences toutes égales à \(-12\) ; arithmétique, \(r = -12\), \(u_{n} = 16 - 12n\).
\((4 ; 8 ; 16 ; 32 ; \ldots)\) : différences \(4\), \(8\), \(16\) : pas arithmétique (on multiplie par \(2\) : elle est géométrique).
\((1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8 ; \ldots)\) : différences \(1\), \(2\), \(1\), \(2\) : pas arithmétique.

Calculer \(u_{0} - u_{1}\) au lieu de \(u_{1} - u_{0}\) : on obtient la raison avec le mauvais signe.
Conclure après une seule différence : pour \((1 ; 2 ; 4 ; 5 ; \ldots)\), la première vaut \(1\) mais la deuxième vaut \(2\).

✎ Exercice 2.2 A3 ★☆☆

Une suite arithmétique \((x_{n})\) a pour premier terme \(x_{0} = -4\) et pour raison \(r = 3\). Calcule ses \(5\) premiers termes, donne son sens de variation, sa formule explicite, et calcule \(x_{100}\).

Relis la propriété « génération » et la propriété sur la variation.

On ajoute \(3\) à chaque rang : la suite monte-t-elle ou descend-elle ? Et combien de fois ajoute-t-on \(3\) pour aller de \(x_{0}\) à \(x_{100}\) ?

\(x_{1} = -4 + 3 = -1\), \(x_{2} = -1 + 3 = 2\)… La formule explicite est \(x_{n} = x_{0} + n r\).

\(x_{0} = -4\), \(x_{1} = -1\), \(x_{2} = 2\), \(x_{3} = 5\), \(x_{4} = 8\). La raison \(r = 3\) est positive : la suite est strictement croissante. \(x_{n} = -4 + 3n\), donc \(x_{100} = -4 + 300 = 296\).

Écrire \(x_{n} = -4n + 3\) en inversant premier terme et raison.
Calculer \(x_{100} = -4 + 3 \cdot 99\) : de \(x_{0}\) à \(x_{100}\), on ajoute \(100\) fois la raison.

✎ Exercice 2.3 C6 ★☆☆

Soit la suite définie par \(u_{n+1} = u_{n} - 5\) et \(u_{0} = -2\). Cette suite est-elle arithmétique? Quelle est sa raison, sa variation et sa limite ?

Relis la définition, la variation et la limite d’une suite arithmétique.

Que vaut \(u_{n+1} - u_{n}\) ? Est-ce le même nombre pour tous les rangs ?

\(u_{n+1} = u_{n} - 5\) donne \(u_{n+1} - u_{n} = -5\) pour tout \(n\) : c’est la définition avec \(r = -5\).

Pour tout \(n\), \(u_{n+1} - u_{n} = -5\) : la suite est arithmétique de raison \(r = -5\) (premiers termes : \(-2\) ; \(-7\) ; \(-12\) ; \(-17\)). Comme \(r < 0\), elle est strictement décroissante, et \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = -\infty\).

Prendre \(r = 5\) : on retire \(5\), la raison est négative.
Confondre le premier terme (\(-2\)) avec la raison.

Exemple 2.8 — calculer un terme à partir d’un autre

Suite arithmétique, \(r = 2\), \(u_{30} = 50\). Alors \(u_{12} = u_{30} + (12 - 30) \cdot 2 = 50 - 36 = 14\).

✎ Exercice 2.4 A3 ★★☆

Dans chaque cas, la suite est arithmétique. Calcule le terme demandé (attention : parfois on remonte vers un rang plus petit).

\(r = 4\), \(u_{10} = 30\) : calcule \(u_{25}\).
\(r = -3\), \(u_{20} = 100\) : calcule \(u_{8}\).
\(r = 5\), \(u_{50} = 12\) : calcule \(u_{14}\).
\(r = -2\), \(u_{7} = 40\) : calcule \(u_{31}\).
\(r = \frac{1}{2}\), \(u_{40} = 15\) : calcule \(u_{12}\).
\(r = 6\), \(u_{100} = 500\) : calcule \(u_{85}\).
\(r = -1\), \(u_{13} = 0\) : calcule \(u_{60}\).
\(r = 3\), \(u_{21} = -7\) : calcule \(u_{9}\).

Relis la propriété « d’un terme à un autre » et les deux exemples qui la précèdent.

De combien de rangs avance-t-on (ou recule-t-on) pour passer du terme connu au terme demandé ? Ce nombre est-il positif ou négatif ?

Premier cas : de \(u_{10}\) à \(u_{25}\), on avance de \(25 - 10 = 15\) rangs, donc on ajoute \(15\) fois la raison : \(u_{25} = 30 + 15 \cdot 4\).

On applique \(u_{n} = u_{p} + (n - p) r\).

\(u_{25} = 30 + 15 \cdot 4 = 90\) ;
\(u_{8} = 100 + (-12) \cdot (-3) = 136\) ;
\(u_{14} = 12 + (-36) \cdot 5 = -168\) ;
\(u_{31} = 40 + 24 \cdot (-2) = -8\) ;
\(u_{12} = 15 + (-28) \cdot \frac{1}{2} = 1\) ;
\(u_{85} = 500 + (-15) \cdot 6 = 410\) ;
\(u_{60} = 0 + 47 \cdot (-1) = -47\) ;
\(u_{9} = -7 + (-12) \cdot 3 = -43\).

Calculer \(p - n\) au lieu de \(n - p\) : quand on recule, le nombre de rangs est négatif.
Oublier la règle des signes quand on recule avec une raison négative : \((-12) \cdot (-3) = +36\).

✎ Exercice 2.5 A3 ★★☆

Calcule la raison d’une suite arithmétique dont :

\(u_{9} = 30\) et \(u_{21} = 120\) ;
\(u_{3} = 1\) et \(u_{10} = 15\).

Relis la propriété « raison à partir de deux termes » et l’exemple qui la précède.

Entre les deux termes connus, combien de fois a-t-on ajouté la raison ? De combien la valeur a-t-elle augmenté ?

De \(u_{9}\) à \(u_{21}\), on avance de \(12\) rangs et la valeur augmente de \(120 - 30 = 90\) : \(12\) fois la raison valent \(90\).

\(r = \frac{120 - 30}{12} = \frac{90}{12} = 7{,}5\).
\(r = \frac{u_{10} - u_{3}}{10 - 3} = \frac{15 - 1}{7} = 2\).

Diviser par \(21\) ou par \(9\) au lieu de diviser par l’écart entre les rangs.
Inverser l’ordre au numérateur et pas au dénominateur (ou le contraire) : on obtient la raison avec le mauvais signe.

✎ Exercice 2.6 A4 ★★☆

\((t_{n})\) est une suite arithmétique de raison \(r\). Complète (utilise la bonne formule à chaque fois).

On te donne	Trouve
\(t_{3} = 6\), \(r = \frac{1}{2}\)	\(t_{1}\), \(t_{9}\), \(t_{20}\)
\(t_{0} = 10\), \(r = -3\)	\(S_{10}\)
\(t_{0} = -3\), \(r = 4\)	\(S_{7}\)
\(t_{0} = -1\), \(t_{4} = 11\)	\(S_{35}\)

Relis les propriétés « d’un terme à un autre », « raison à partir de deux termes » et « somme des \(n\) premiers termes ».

Pour une somme \(S_{n}\), de quoi as-tu besoin ? Du premier terme \(t_{0}\) et du dernier terme \(t_{n-1}\) : les connais-tu déjà ?

Pour \(S_{10}\) avec \(t_{0} = 10\) et \(r = -3\) : le dernier terme est \(t_{9} = 10 + 9 \cdot (-3) = -17\).

\(t_{1} = 6 + (-2) \cdot \frac{1}{2} = 5\) ; \(t_{9} = 6 + 6 \cdot \frac{1}{2} = 9\) ; \(t_{20} = 6 + 17 \cdot \frac{1}{2} = 14{,}5\).
\(S_{10} = \frac{10}{2} (t_{0} + t_{9}) = 5 (10 - 17) = -35\).
\(t_{6} = -3 + 6 \cdot 4 = 21\) et \(S_{7} = \frac{7}{2} (-3 + 21) = 63\).
\(r = \frac{11 - (-1)}{4} = 3\) ; \(t_{34} = -1 + 34 \cdot 3 = 101\) ; \(S_{35} = \frac{35}{2} (-1 + 101) = 1750\).

Prendre \(t_{10}\) comme dernier terme de \(S_{10}\) : la somme des \(10\) premiers termes s’arrête à \(t_{9}\).
Oublier le facteur \(\frac{n}{2}\) (nombre de termes divisé par \(2\)).

✎ Exercice 2.7 A4 ★★☆

Dans la suite arithmétique \((u_{n}) = (1 ; 7 ; 13 ; \ldots)\) :

quel est le rang du terme valant \(295\) ?
que vaut \(1 + 7 + 13 + \ldots + 295\) ?

Relis la formule explicite d’une suite arithmétique et la somme de termes consécutifs.

Quelle est la raison ? Pour quel \(n\) a-t-on \(u_{n} = 295\) ? Combien y a-t-il alors de termes dans la somme ?

\(r = 6\) et \(u_{n} = 1 + 6n\). Résous \(1 + 6n = 295\).

\(1 + 6n = 295\) donne \(6n = 294\), \(n = 49\) : le terme \(295\) est de rang \(49\).
La somme contient les termes de \(u_{0}\) à \(u_{49}\), soit \(50\) termes : \(1 + 7 + \ldots + 295 = \frac{50}{2} (1 + 295) = 25 \cdot 296 = 7400\).

Compter \(49\) termes : de \(u_{0}\) à \(u_{49}\), il y en a \(50\).

✎ Exercice 2.8 C7 ★★★

Cite la théorie. Un élève écrit : « la somme des \(n\) premiers termes d’une suite arithmétique vaut \(\frac{n}{2} (u_{0} + u_{n-1})\) ». Énonce la propriété qui le justifie, puis démontre-la.

Relis la propriété de la somme des \(n\) premiers termes, sa démonstration, et l’astuce de Gauss dans l’activité de la pyramide.

Si tu écris la somme une fois dans l’ordre et une fois à l’envers, que vaut la somme de deux termes placés l’un sous l’autre ?

Sous \(u_{0}\) on trouve \(u_{n-1}\), sous \(u_{1}\) on trouve \(u_{n-2}\). Or \(u_{1} + u_{n-2} = (u_{0} + r) + (u_{n-1} - r) = u_{0} + u_{n-1}\).

Propriété. Si \((u_{n})\) est arithmétique, \(S_{n} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n-1} = \frac{n}{2} (u_{0} + u_{n-1})\).

Démonstration. On écrit la somme dans les deux sens :

\[ S_{n} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n-1}, \\ S_{n} = u_{n-1} + u_{n-2} + \ldots + u_{0}. \]

Dans chaque colonne, le terme du haut a le rang \(k\) et celui du bas le rang \(n - 1 - k\) ; comme \(u_{k} = u_{0} + k r\) et \(u_{n-1-k} = u_{n-1} - k r\), leur somme vaut \(u_{0} + u_{n-1}\), la même pour toutes les colonnes. Il y a \(n\) colonnes : en additionnant les deux lignes, \(2 S_{n} = n (u_{0} + u_{n-1})\), d’où \(S_{n} = \frac{n}{2} (u_{0} + u_{n-1})\).

Vérifier la formule sur un exemple au lieu de la démontrer : un exemple ne prouve rien pour toutes les suites.
Oublier de justifier pourquoi toutes les colonnes ont la même somme : c’est là que sert le fait que la suite est arithmétique.

✎ Exercice 2.9 A2 ★★☆

Cite la théorie. Un élève affirme que la suite \((u_{n}) = (2 ; 5 ; 8 ; 11 ; \ldots)\) est arithmétique. A-t-il raison ? Justifie en citant la définition utilisée, puis donne la formule explicite.

Relis la définition d’une suite arithmétique.

Que dit exactement la définition ? Que faut-il calculer pour la vérifier sur les termes donnés ?

\(5 - 2 = 3\), \(8 - 5 = 3\), \(11 - 8 = 3\).

Une suite est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante. Ici, \(5 - 2 = 8 - 5 = 11 - 8 = 3\) : sur les termes donnés, la différence vaut toujours \(3\). Si la suite continue de la même façon (c’est ce que suggèrent les points de suspension), elle est arithmétique de raison \(r = 3\), et \(u_{n} = 2 + 3n\).

Justifier par « on voit qu’on ajoute \(3\) » sans citer la définition.
Oublier qu’une liste finie de termes ne suffit pas à prouver : on vérifie la définition sur les termes connus et l’on suppose que la régularité continue.

✎ Exercice 2.10 C5 ★★☆

Donne un exemple. Dans chaque cas, propose une suite arithmétique qui convient et précise son premier terme \(u_{0}\), sa raison \(r\) et sa formule explicite (plusieurs réponses sont possibles).

strictement décroissante ;
constante, égale à \(7\) ;
strictement croissante avec \(u_{0} = -5\) ;
qui converge vers \(-\infty\).

Relis les propriétés sur la variation et la limite d’une suite arithmétique.

Quel est le seul nombre qui décide si une suite arithmétique monte, descend ou reste constante ? Quel signe doit-il avoir dans chaque cas ?

Choisis d’abord le signe de \(r\), puis un premier terme \(u_{0}\) qui convient ; écris enfin \(u_{n} = u_{0} + n r\).

Par exemple (d’autres réponses sont possibles) :

strictement décroissante : \(u_{0} = 10\), \(r = -2\), \(u_{n} = 10 - 2n\) ;
constante, égale à \(7\) : \(u_{0} = 7\), \(r = 0\), \(u_{n} = 7\) ;
strictement croissante avec \(u_{0} = -5\) : \(r = 3\), \(u_{n} = -5 + 3n\) ;
qui converge vers \(-\infty\) : \(u_{0} = 0\), \(r = -1\), \(u_{n} = -n\) (toute raison négative convient).

Pour « constante égale à \(7\) », donner \(r = 7\) : c’est \(u_{0}\) qui vaut \(7\), et \(r = 0\).
Oublier de donner les trois éléments demandés (\(u_{0}\), \(r\) et la formule).

✎ Exercice 2.11 A1 ★★☆

a) Représente les six premiers termes (\(n\) de \(0\) à \(5\)) de la suite arithmétique \(u_{n} = -3 + 2 n\) dans le repère ci-dessous. Les points sont-ils alignés ?

b) On donne ci-dessous une autre suite. Peut-elle être arithmétique ? Justifie, puis lis \(u_{0}\) et la raison \(r\) sur le graphique et donne la formule explicite.

Relis la section « Représentation et variation » : les points d’une suite arithmétique sont alignés.

Sur le second graphique, les hauteurs augmentent-elles toujours du même nombre d’un rang au suivant ?

\(u_{0} = -3\), \(u_{1} = -1\)… b) Lis \(u_{0}\) sur l’axe vertical, puis la montée d’un point au suivant.

\(u_{0} = -3\), \(u_{1} = -1\), \(u_{2} = 1\), \(u_{3} = 3\), \(u_{4} = 5\), \(u_{5} = 7\) : les points \((n ; u_{n})\) sont alignés, car on monte de \(2\) à chaque rang.
Les points sont alignés : on monte de \(2\) à chaque rang. La suite peut donc être arithmétique, avec \(u_{0} = 2\) et \(r = 2\) ; \(u_{n} = 2 + 2n\).

Lire la raison sur l’axe horizontal : c’est la montée verticale d’un rang au suivant.
Relier les points par un trait.

✎ Exercice 2.12 C6 ★★☆

Calcule la limite de chaque suite, à partir de sa représentation, sachant que ce sont des suites arithmétiques.

a) D’après le graphique :

b) D’après le tableau de valeurs :

\(n\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
\(u_{n}\)	\(20\)	\(17\)	\(14\)	\(11\)	\(8\)	\(5\)

Relis la propriété « limite d’une suite arithmétique ».

Pour appliquer la propriété, que suffit-il de connaître ? Peux-tu le lire sur le graphique ou dans le tableau ?

Calcule la raison : sur le graphique, de combien monte-t-on d’un point au suivant ? Dans le tableau, que vaut \(u_{1} - u_{0}\) ?

On monte de \(3\) à chaque rang : \(r = 3 > 0\), donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = +\infty\).
\(17 - 20 = -3\) (et de même pour les autres) : \(r = -3 < 0\), donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = -\infty\).

Donner la dernière valeur du tableau (\(5\)) comme limite : la suite continue de descendre (\(2\), \(-1\), …).
Oublier de justifier par le signe de la raison.

✎ Exercice 2.13 T1 ★★★

En janvier, Vincent économise 12,50 €. Chaque mois, il met de côté 1,20 € de plus que le mois précédent. On note \(u_{0}\) l’économie de janvier.

Calcule \(u_{1}\), \(u_{2}\), \(u_{3}\).
Exprime \(u_{n}\) en fonction de \(n\).
Combien économise-t-il le \(24\)^e mois ?
Quelle somme totale a-t-il économisée en \(24\) mois ?

Relis la définition d’une suite arithmétique, la formule explicite et la somme des \(n\) premiers termes.

D’un mois au suivant, l’économie augmente-t-elle toujours du même montant ? Quel est le rang du \(24\)^e mois si janvier est le rang \(0\) ?

\(u_{0} = 12{,}50\) et \(r = 1{,}20\). Le \(24\)^e mois est \(u_{23}\).

\(u_{1} = 13{,}70\) €, \(u_{2} = 14{,}90\) €, \(u_{3} = 16{,}10\) €.
La suite est arithmétique de raison \(1{,}20\) : \(u_{n} = 12{,}50 + 1{,}20 n\).
Le \(24\)^e mois : \(u_{23} = 12{,}50 + 1{,}20 \cdot 23 = 40{,}10\) €.
En \(24\) mois : \(S_{24} = \frac{24}{2} (u_{0} + u_{23}) = 12 (12{,}50 + 40{,}10) = 631{,}20\) €.

Calculer \(u_{24}\) pour le \(24\)^e mois : janvier est le mois de rang \(0\).
Confondre l’économie du dernier mois (\(40{,}10\) €) et le total économisé.

✎ Exercice 2.14 T1 ★★★

Un charpentier construit une échelle de \(9\) échelons dont la longueur diminue régulièrement, de \(45\) cm à la base à \(33\) cm au sommet.

Détermine la longueur des \(7\) échelons intermédiaires.
Quelle longueur totale de bois faut-il pour les \(9\) échelons ?

Relis la propriété « raison à partir de deux termes » et la somme des \(n\) premiers termes.

Si l’échelon du bas est \(u_{0} = 45\), quel est le rang de l’échelon du haut ? Combien de fois la raison sépare-t-elle ces deux échelons ?

\(u_{8} = 33\), donc \(8 r = 33 - 45 = -12\).

\(r = -\frac{12}{8} = -1{,}5\) cm. Les échelons intermédiaires mesurent \(43{,}5\) ; \(42\) ; \(40{,}5\) ; \(39\) ; \(37{,}5\) ; \(36\) ; \(34{,}5\) cm.
Longueur totale : \(S_{9} = \frac{9}{2} (45 + 33) = 9 \cdot 39 = 351\) cm, soit \(3{,}51\) m.

Diviser par \(9\) (le nombre d’échelons) au lieu de \(8\) (le nombre d’écarts entre eux).
Oublier que la longueur diminue : la raison est négative.

✎ Exercice 2.15 T1 ★★★

Un jardinier doit déposer une brouette de terreau au pied de chacun des \(30\) arbres alignés d’une allée. Les arbres sont espacés de \(6\) m ; le tas de terreau est à \(10\) m devant le premier arbre. Entre deux arbres, il revient systématiquement au tas. Combien de mètres aura-t-il parcourus une fois le travail terminé (brouette ramenée au tas) ?

Relis la somme de termes consécutifs : nombre de termes divisé par \(2\), fois (premier + dernier).

Quelle distance parcourt-il pour la brouette du premier arbre, aller et retour ? Et pour le deuxième ? De combien ces trajets augmentent-ils ?

Premier arbre : \(10\) m aller, \(10\) m retour, soit \(20\) m. Deuxième arbre : \(2 \cdot 16 = 32\) m. Chaque trajet est plus long de \(12\) m.

Le trajet vers l’arbre de rang \(k\) (de \(0\) à \(29\)) mesure \(u_{k} = 20 + 12k\) m (aller-retour). C’est une suite arithmétique de raison \(12\) ; le dernier trajet vaut \(u_{29} = 20 + 12 \cdot 29 = 368\) m. Distance totale : \(S_{30} = \frac{30}{2} (20 + 368) = 15 \cdot 388 = 5820\) m, soit environ \(5{,}8\) km.

Oublier le retour au tas (il faut doubler chaque distance).
Prendre une raison de \(6\) m : l’arbre suivant est \(6\) m plus loin à l’aller et au retour.