Générer une suite
Il existe deux manières de décrire une suite : par une formule explicite, ou par une relation de récurrence.
Par une formule explicite
Définition 1.2 — formule explicite
Une formule explicite donne le terme \(u_{n}\) directement en fonction de son rang \(n\). Elle permet de calculer n’importe quel terme sans connaître les précédents.
Comme une suite est une fonction, cette formule n’est rien d’autre que l’expression analytique de la fonction \(u : n \mapsto u_{n}\) — exactement comme le \(f(x)\) d’une fonction vu en 4e.
Exemple 1.1 — les puissances de 2
Pour la suite \((1 ; 2 ; 4 ; 8 ; \ldots)\) numérotée à partir de \(0\), on a \(u_{n} = 2^{n}\). On calcule alors directement :
\[ u_{6} = 2^{6} = 64, \quad u_{10} = 2^{10} = 1024, \quad u_{20} = 2^{20} = 1 \, 048 \, 576. \]
Activité 1.4 — calculer avec une formule explicite
Complète chaque tableau à partir de la formule donnée.
| Formule | \(n = 1\) | \(n = 2\) | \(n = 3\) |
|---|---|---|---|
| \(u_{n} = 2 n - 1\) | \(1\) | \(3\) | \(5\) |
| \(u_{n} = \frac{n}{2} (n + 1)\) | \(1\) | \(3\) | \(6\) |
| \(u_{n} = n^{2} + n - 1\) | \(1\) | \(5\) | \(11\) |
Par une relation de récurrence
Avant de définir cette deuxième méthode, apprenons à nommer les termes voisins.
Activité 1.5 — se repérer dans une suite
Place-toi sur le terme \(u_{6}\) d’une suite. Sur l’axe ci-dessous, les termes sont repérés par leur rang (le rang augmente vers la droite).
Le terme suivant se note \(u_{7}\) ; le terme précédent se note \(u_{5}\) ; le terme situé deux rangs plus loin se note \(u_{8}\) ; celui situé trois rangs avant se note \(u_{3}\).
Généralisons. Pour un terme quelconque \(u_{n}\) :
| suivant | précédent | deux rangs plus loin | \(k\) rangs plus loin |
|---|---|---|---|
| \(u_{n+1}\) | \(u_{n-1}\) | \(u_{n+2}\) | \(u_{n+k}\) |
Cette écriture est exactement ce dont on a besoin pour décrire une suite « de proche en proche ».
Définition 1.3 — relation de récurrence
Une relation de récurrence (du premier ordre) exprime chaque terme en fonction du précédent. Pour déterminer entièrement la suite, il faut aussi connaître son premier terme.
Contrairement à une formule explicite, une relation de récurrence ne donne pas un terme lointain directement : pour obtenir \(u_{100}\), il faut d’abord calculer \(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{99}\).
Exemple 1.2
La suite définie par \(u_{n+1} = u_{n} + 200\) et \(u_{1} = 1000\) se calcule de proche en proche : \(u_{1} = 1000\), puis \(u_{2} = 1000 + 200 = 1200\), puis \(u_{3} = 1200 + 200 = 1400\), etc.