Générer une suite géométrique
Relation de récurrence et formule explicite
Propriété 3.2 — génération
Soit \((u_{n})\) une suite géométrique de raison \(q\) et de premier terme \(u_{0}\).
- Relation de récurrence : \(u_{n+1} = q \cdot u_{n}\).
- Formule explicite : \(u_{n} = u_{0} \cdot q^{n}\).
Exemple 3.2
Suite géométrique de raison \(q = 3\) et de premier terme \(u_{0} = -4\). Récurrence : \(u_{n+1} = 3 u_{n}\). Formule explicite : \(u_{n} = -4 \cdot 3^{n}\). Ainsi \(u_{5} = -4 \cdot 3^{5} = -4 \cdot 243 = -972\).
Calculer un terme à partir d’un autre
Comme pour les suites arithmétiques, on peut passer d’un terme à l’autre, sans nécessairement passer par le terme initial.
Exemple 3.3 — du 4e terme au 9e
On considère une suite géométrique de raison \(q = 3\) avec \(u_{4} = 2\). Pour passer du rang \(4\) au rang \(9\), on avance de \(9 - 4 = 5\) rangs, en multipliant \(5\) fois par la raison :
\[ u_{9} = u_{4} \cdot q^{9 - 4} = 2 \cdot 3^{5} = 2 \cdot 243 = 486. \]
Exemple 3.4 — du 20e terme au 15e
On considère une suite géométrique de raison \(q = 2\) avec \(u_{20} = 1000\). On recule de \(15 - 20 = -5\) rangs :
\[ u_{15} = u_{20} \cdot q^{15 - 20} = 1000 \cdot 2^{-5} = \frac{1000}{32} = 31{,}25. \]
Activité 3.2 — généralise
En observant les deux exemples ci-dessus, comment calcules-tu \(u_{n}\) à partir d’un terme \(u_{p}\) quelconque, pour une suite géométrique de raison \(q\) ?
\(u_{n} =\) \(u_{p} \cdot q^{n - p}\)
Propriété 3.3 — d’un terme à un autre
Pour une suite géométrique de raison \(q\) et pour tous rangs \(n\) et \(p\) :
\[ u_{n} = u_{p} \cdot q^{n - p}. \]
Calculer la raison à partir de deux termes
Si l’on connaît deux termes \(u_{p}\) et \(u_{n}\), avec \(n>p\), la relation \(u_{n} = u_{p} \cdot q^{n-p}\) donne \(q^{n-p} = \frac{u_{n}}{u_{p}}\). Pour trouver la raison, on doit se débarrasser de l’exposant \(n-p\): il faut alors extraire une racine, en prenant en compte la parité de l’exposant :
- si \(n - p\) est impair, la racine a un seul signe possible : \(q\) est déterminé de façon unique (il a le signe de \(\frac{u_{n}}{u_{p}}\)) ;
- si \(n - p\) est pair, il y a deux valeurs possibles, opposées : \(q = \pm \sqrt[n-p]{u_{n} / u_{p}}\).
Exemple 3.5 — trois cas
- \(u_{2} = 6\) et \(u_{5} = 20{,}25\) : \(q^{3} = 20{,}25 / 6 = 3{,}375\). L’exposant \(3\) est impair, donc \(q = \sqrt[3]{3{,}375} = 1{,}5\) (unique).
- \(u_{2} = 6\) et \(u_{5} = -20{,}25\) : \(q^{3} = -3{,}375\), exposant impair, donc \(q = -1{,}5\).
- \(u_{2} = 6\) et \(u_{6} = 30{,}375\) : \(q^{4} = 30{,}375 / 6 = 5{,}0625\). L’exposant \(4\) est pair, donc \(q = \pm \sqrt[4]{5{,}0625} = \pm 1{,}5\) (deux suites conviennent).
Propriété 3.4 — raison à partir de deux termes
Pour une suite géométrique et deux rangs \(n>p\), on a \(q^{n-p} = u_{n} / u_{p}\), d’où :
- si \(n - p\) est impair : \(q = \sqrt[n-p]{u_{n} / u_{p}}\) ;
- si \(n - p\) est pair : \(q = \pm \sqrt[n-p]{u_{n} / u_{p}}\).