Caractéristiques : variation, limite
Activité 3.3 — conjecturer la limite
Observe les graphiques suivants, qui représentent des suites géométriques dans différents cas, selon le signe de la raison et du premier terme:
\(0 < q < 1\) et \(u_{0}>0\)
\(q > 1\) et \(u_{0}>0\)
\(q \leq -1\) et \(u_{0}>0\)
\(0 < q < 1\) et \(u_{0}<0\)
\(q > 1\) et \(u_{0}<0\)
\(q \leq -1\) et \(u_{0}<0\)
\(-1 < q < 0\) et \(u_{0}<0\)
\(-1 < q < 0\) et \(u_{0}>0\)
\(q = 1\) et \(u_{0}<0\)
Tu constates que le comportement d’une suite géométrique dépend à la fois de la raison \(q\) et du signe du premier terme \(u_{0}\).
À l’aide des graphiques, complète le tableau des limites \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}\) selon le signe de \(u_{0}\) et la valeur de \(q\) :
| \(q \leq -1\) | \(-1 < q < 0\) | \(0 < q < 1\) | \(q = 1\) | \(q > 1\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(u_{0} > 0\) | pas de limite | \(0\) | \(0\) | \(u_{0}\) | \(+\infty\) |
| \(u_{0} < 0\) | pas de limite | \(0\) | \(0\) | \(u_{0}\) | \(-\infty\) |
Propriété 3.5 — limite d’une suite géométrique
Soit \((u_{n})\) une suite géométrique de raison \(q\) (et \(u_{0} \neq 0\)).
- si \(-1 < q < 1\), alors \(\lim\limits_{n\to+\infty} u_{n} = 0\) : la suite converge vers \(0\) ;
- si \(q = 1\), la suite est constante : elle converge vers \(u_{0}\) ;
- si \(q > 1\), elle converge vers \(+\infty\) (si \(u_{0} > 0\)) ou \(-\infty\) (si \(u_{0} < 0\)) ;
- si \(q \leq -1\), la suite diverge (elle n’a pas de limite).
Sur le site du cours, la figure suivante s’anime : fais varier la raison \(q\) et le premier terme \(u_{0}\), et retrouve chaque case du tableau de l’activité.
Suite géométrique de premier terme \(u_{0} = 6\) et de raison \(q = 0{,}7\) (réglables sur le site).