Caractéristiques : variation, limite
Nous savons déjà lire la variation dans le signe de \(r\). Occupons-nous de la limite, en reprenant la démarche du chapitre 1 : on conjecture en observant, puis on confirme par la formule explicite.
Activité 2.3 — conjecturer puis confirmer
À l’aide de la formule explicite \(u_{n} = u_{0} + n r\), complète le tableau selon le signe de la raison (la variation a déjà été vue) :
| Raison \(r\) | \(r > 0\) | \(r = 0\) | \(r < 0\) |
|---|---|---|---|
| Variation | strict. croissante | constante | strict. décroissante |
| \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n}\) | \(+\infty\) | \(u_{0}\) | \(-\infty\) |
Où filent les termes quand \(n\) grandit ? Observe les trois comportements :
\(r > 0 : \rightarrow +\infty\)
\(r = 0 : \rightarrow u_{0}\)
\(r < 0 : \rightarrow -\infty\)
Propriété 2.5 — limite d’une suite arithmétique
Soit \((u_{n})\) une suite arithmétique de raison \(r\). Alors
- si \(r=0\), \(\lim\limits_{n\to +\infty}u_{n}=u_{0}\) ;
- si \(r>0\), \(\lim\limits_{n\to +\infty}u_{n}=+\infty\) ;
- si \(r<0\), \(\lim\limits_{n\to +\infty}u_{n}=-\infty\) ;