Variations d’une suite
Comme pour les fonctions en 4e, on s’intéresse aux variations d’une suite: la suite monte-t-elle ou descend-elle (sa variation) ? En 5e on se posera aussi la question suivante : vers quoi se dirige-t-elle quand le rang devient très grand ?
Activité 1.6 — observer la variation
Pour chacune des suites suivantes, calcule quelques termes puis indique sa variation (strictement croissante, strictement décroissante, constante ou quelconque).
| Suite | Variation |
|---|---|
| \((1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; \ldots)\) | strict. croissante |
| \((4 ; 4 ; 4 ; 4 ; \ldots)\) | constante |
| \((1 ; \frac{1}{2} ; \frac{1}{3} ; \frac{1}{4} ; \ldots)\) | strict. décroissante |
| \((2 ; -2 ; 2 ; -2 ; \ldots)\) | quelconque |
Définition 1.4 — variation
Soit \((u_{n})\) une suite. On dit qu’elle est
- croissante si \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \leq u_{n+1}\),
- strictement croissante si \(\forall n \in \mathbb{N},u_{n} < u_{n+1}\) ;
- décroissante si \(\forall n \in \mathbb{N},u_{n} \geq u_{n+1}\),
- strictement décroissante si \(\forall n \in \mathbb{N},u_{n} > u_{n+1}\) ;
- constante si \(\forall n \in \mathbb{N},u_{n} = u_{n+1}\) ;
- quelconque si elle n’est dans aucun des cinq cas ci-dessus.
Remarque 1.2
C’est la même idée que pour les fonctions en 4e : une suite croissante correspond à une fonction croissante sur son domaine. Comparer \(u_{n+1}\) et \(u_{n}\) revient à comparer deux valeurs consécutives de la fonction \(u\). La différence : une suite n’est définie qu’en des rangs entiers, il suffit donc de comparer chaque terme à son successeur.