Somme des n premiers termes
L’activité de la pyramide a fait apparaître une formule pour la somme. Énonçons-la et démontrons-la proprement.
Propriété 2.6 — somme des \(n\) premiers termes
Soit \((u_{n})\) suite arithmétique de raison \(r\). Alors la somme \(S_{n}\) des \(n\) premiers termes vaut
\[ S_{n} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n-1} = \frac{n}{2} (u_{0} + u_{n-1}). \]
Plus généralement, une somme de termes consécutifs vaut
\[ \frac{\text{nombre de termes}}{2} \times (\text{premier terme} + \text{dernier terme}). \]
Démonstration 2.1
Écrivons la somme \(S_{n}\) dans les deux sens:
\[ S_{n} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n-1}, \\ S_{n} = u_{n-1} + u_{n-2} + \ldots + u_{0}. \]
On a que \(u_{1}+u_{n-2}=u_{0}+r+u_{n-1}-r=u_{0}+u_{n-1}\). De même
\[ u_{2}+u_{n-3}=u_{0}+2r+u_{n-1}-2r=u_{0}+u_{n-1}. \]
En procédant de la même manière on obtient:
\[ u_{0}+u_{n-1}=u_{1}+u_{n-2}=u_{2}+u_{n-3}=\ldots=u_{n-1}+u_{0}. \]
Chacune des \(n\) colonnes a donc la même somme, \(u_{0}+u_{n-1}\).
Donc,
\[ 2 S_{n} = n (u_{0} + u_{n-1}), \quad \text{d'où} \quad S_{n} = \frac{n}{2} (u_{0} + u_{n-1}). \]
Exemple 2.6
Somme des \(12\) premiers termes de la suite de la pyramide (\(u_{0} = 4\), \(u_{11} = 92\)) : \(S_{12} = \frac{12}{2} (4 + 92) = 6 \cdot 96 = 576\). On retrouve bien le résultat de l’activité.