Exercices

✎ Exercice 4.1 A5 ★☆☆

Une droite de régression relie le nombre d’heures de révision \(x\) à la note \(y\) (sur \(20\)) : \(y = 1{,}5 x + 6\), établie pour des élèves ayant révisé de \(1\) à \(8\) heures.

  • Estime la note d’un élève ayant révisé \(5\) h. Interpolation ou extrapolation ?
  • Le modèle prévoit-il une note correcte pour \(12\) h de révision ? Commente.

Revois la Définition — interpolation, extrapolation et l’encadré À retenir sur les limites.

Question à te poser. 5 h et 12 h sont-ils dans l’intervalle observé (1 à 8 h) ou dehors ? Que vaut \(y\) quand on remplace \(x\) ?

Étape. Calcule \(1{,}5 \times 5 + 6\), puis \(1{,}5 \times 12 + 6\), et regarde si le résultat reste réaliste (une note dépasse-t-elle 20 ?).

  1. \(y = 1{,}5 \times 5 + 6 = 13{,}5\) : interpolation (5 est entre 1 et 8), fiable. (b) \(y = 1{,}5 \times 12 + 6 = 24\) : extrapolation (12 > 8) et impossible (une note ne dépasse pas 20). Le modèle linéaire ne tient plus si loin.

Appliquer la droite sans se demander si le \(x\) est dans l’intervalle ; accepter un résultat absurde (note > 20).

✎ Exercice 4.2 T1 ★★☆

Un journal affiche deux graphiques du même jeu de données. Sur le premier, l’axe vertical va de \(0\) à \(100\) ; la courbe paraît presque plate. Sur le second, l’axe vertical va de \(48\) à \(52\) ; la même courbe paraît grimper en flèche.

  • Les données sont-elles différentes ? Qu’est-ce qui change ?
  • Quel graphique est trompeur, et pourquoi ?
  • Quelle règle proposerais-tu pour un axe vertical honnête ?

Revois l’esprit critique du chapitre : un même chiffre peut être présenté de façons très différentes.

Question à te poser. Qu’est-ce qui change entre les deux images : les données ou l’échelle ? Un petit écart sur un axe très « zoomé » paraît-il grand ?

Étape. Compare l’amplitude de l’axe (0–100 vs 48–52) à la taille réelle des variations.

  1. Non : mêmes données, seule l’échelle de l’axe change. (b) Le second est trompeur : en zoomant (48–52), il exagère des variations minuscules. (c) Un axe honnête part en général de 0 (ou indique clairement toute troncature) et garde une échelle proportionnée aux variations réelles.

Croire qu’un graphique « ne peut pas mentir » ; juger une tendance sans regarder les graduations de l’axe.

✎ Exercice 4.3 T1 ★★★

Pour chacune des affirmations, dis s’il s’agit d’une corrélation ou d’une causalité établie, et justifie en une phrase.

  • « Dans un testing, à CV identique, changer le prénom fait chuter le taux de rappel. »
  • « Les pays où l’on consomme le plus de chocolat comptent le plus de prix Nobel. »
  • « Après avoir augmenté le nombre de contrôles fiscaux, l’administration a récupéré davantage d’impôts éludés. »

Revois la Propriété — quand la corrélation devient une cause (l’expérience contrôlée) et l’encadré du chapitre 3 (cause / variable cachée / coïncidence).

Question à te poser. Dans chaque cas : a-t-on tout tenu égal sauf un facteur (→ expérience → cause), ou seulement observé deux chiffres qui vont ensemble ?

Étape. Repère laquelle des trois situations est un test contrôlé (une seule chose change).

  1. Causalité : c’est une expérience (CV identiques, seul le prénom change) → l’origine est bien la cause. (b) Corrélation : variable cachée (la richesse du pays gonfle les deux) — aucun lien de cause. (c) Prudence : corrélation plausible, mais d’autres facteurs (conjoncture, nouvelles lois) ont pu jouer ; sans expérience contrôlée, la cause n’est pas prouvée.

Prendre toute succession dans le temps pour une cause (« après, donc à cause de ») ; oublier qu’un testing isole le facteur, contrairement à une simple observation.

✎ Exercice 4.4 T1 ★★★

On te donne le nuage « PIB par habitant – espérance de vie » du chapitre 1 et sa droite de régression. Rédige un court paragraphe (5 – 6 lignes) qui : décrit le lien, donne l’ordre de grandeur du coefficient de corrélation attendu, et nuance toute conclusion trop rapide du type « il suffit d’enrichir un pays pour que ses habitants vivent plus longtemps ».

Mobilise les quatre chapitres : décrire un nuage (ch. 1), l’ajuster (ch. 2), \(r\) (ch. 3), corrélation vs causalité et limites (ch. 4).

Question à te poser. Le nuage est-il croissant ? linéaire ou en plateau ? \(r\) fort ou moyen ? Peut-on parler de cause à partir d’une observation ?

Étape. Structure ton paragraphe : (1) sens + forme, (2) ordre de grandeur de \(r\), (3) la nuance (plateau, exceptions, corrélation ≠ causalité).

Le nuage est croissant mais non linéaire : l’espérance de vie monte vite pour les pays pauvres puis plafonne. Le lien est moyen à fort (\(r\) de l’ordre de \(0{,}7\)), avec des exceptions nettes (États-Unis). On observe donc une corrélation, pas une preuve de cause : enrichir un pays s’accompagne souvent d’une meilleure santé, mais d’autres facteurs comptent (système de santé, inégalités, mode de vie), et au-delà d’un certain revenu le gain devient minime.

Conclure à une causalité ; oublier le plateau et les points atypiques ; annoncer un \(r\) « parfait » alors que le nuage n’est pas une droite.