Un nombre entre -1 et 1

Définition 3.1 — coefficient de corrélation linéaire

Le coefficient de corrélation linéaire, noté \(r\), est un nombre toujours compris entre \(-1\) et \(1\) qui mesure à quel point les points d’un nuage sont proches d’une droite.

• le signe de \(r\) donne le sens : \(r > 0\) pour un nuage croissant, \(r < 0\) pour un nuage décroissant ;
• \(|r|\) proche de 1 : les points sont presque alignés (lien fort) ; \(|r|\) proche de 0 : aucun alignement (lien linéaire faible ou nul).

On le calcule par \(r = \frac{\text{covariance}(x, y)}{\sigma_{x} \sigma_{y}}\), mais en pratique c’est la calculatrice qui le donne, en même temps que la droite de régression.

Pourquoi diviser par \(\sigma_{x} \sigma_{y}\) ? La covariance seule dépend des unités (des euros, des années, des degrés…) : sa valeur peut être énorme ou minuscule sans que le lien soit pour autant plus ou moins fort. En la divisant par l’étalement de chaque variable, on efface les unités : \(r\) devient un nombre sans dimension, toujours entre \(-1\) et \(1\), donc comparable d’un contexte à l’autre.

Cette division explique aussi pourquoi \(r\) ne dépasse jamais \(1\) en valeur absolue : la covariance est au maximum égale à \(\sigma_{x} \sigma_{y}\) (ce maximum est atteint quand les points sont parfaitement alignés). Le coefficient \(r\) compare donc la co-variation réelle à la co-variation maximale possible — d’où \(-1 \leq r \leq 1\), et \(r = \pm 1\) pour un alignement parfait.

Pour interpréter \(|r|\), un ordre de grandeur utile (à ne pas prendre au pied de la lettre) : au-delà de \(0{,}9\), lien très fort ; entre \(0{,}7\) et \(0{,}9\), fort ; entre \(0{,}5\) et \(0{,}7\), moyen ; en dessous de \(0{,}5\), faible.

Remarque 3.1

\(r\) ne mesure que le lien linéaire. Un nuage en forme de U (parabole) peut avoir \(r \approx 0\) alors que le lien entre \(x\) et \(y\) est évident : il n’est simplement pas droit. De même, \(r\) ne dit rien de la pente : une droite très inclinée et une droite presque plate peuvent toutes deux donner \(r = 1\).