Exercices
✎ Exercice 2.1
On donne cinq points, déjà rangés : \((1 ; 2)\), \((2 ; 5)\), \((3 ; 5)\), \((4 ; 8)\), \((5 ; 10)\). Le point du milieu (\(3 ; 5\)) est laissé de côté pour équilibrer les groupes.
- Calcule \(G_{1}\) (les deux premiers points) et \(G_{2}\) (les deux derniers).
- Détermine la pente puis l’équation de la droite de Mayer.
- Vérifie qu’elle passe par le point moyen \(G\) des cinq points.
Revois la Définition — droite de Mayer et l’Exemple — Mayer sur l’écart salarial.
Question à te poser. Comment obtient-on le point moyen d’un petit groupe ? Puis, avec deux points, comment calcule-t-on une pente \(\Delta y / \Delta x\) ?
Étape. \(G_{1} = (\frac{1+2}{2} \, ; \, \frac{2+5}{2})\) ; de même \(G_{2}\) avec les deux derniers. Ensuite \(a = \frac{y_{G_{2}} - y_{G_{1}}}{x_{G_{2}} - x_{G_{1}}}\).
\(G_{1} = (1{,}5 \, ; \, 3{,}5)\), \(G_{2} = (4{,}5 \, ; \, 9)\). \(a = \frac{9 - 3{,}5}{4{,}5 - 1{,}5} = \frac{5{,}5}{3} \approx 1{,}83\) ; via \(G_{1}\) : \(b = 3{,}5 - 1{,}83 \cdot 1{,}5 \approx 0{,}75\). Donc \(y \approx 1{,}83 \, x + 0{,}75\). Point moyen des cinq : \(G(3 \, ; \, 6)\), et \(1{,}83 \cdot 3 + 0{,}75 \approx 6{,}25\) : la droite passe tout près de \(G\). ✓
« Séparer » un couple entre les deux groupes ; classer selon \(y\) au lieu de \(x\).
✎ Exercice 2.2
Reprends les cinq points de l’exercice précédent. Dresse un tableau à colonnes \(x_{i}\), \(y_{i}\), \(x_{i}^{2}\), \(x_{i} y_{i}\) (quatre colonnes suffisent pour la pente), calcule \(\text{variance}(x)\) et \(\text{cov}(x, y)\) par les formules développées, puis déduis-en l’équation de la droite de régression. Compare sa pente à celle de la droite de Mayer : sont-elles proches ?
Revois les Propriétés — pente de la droite de régression et formules de calcul développées, ainsi que l’Exemple — la pente depuis un seul tableau.
Question à te poser. Quelles sommes te faut-il pour la variance (\(\sum x^{2}\)) et pour la covariance (\(\sum x y\)) ? Que valent \(\overline{x}\) et \(\overline{y}\) ?
Étape. \(\text{variance} (x) = \frac{\sum x^{2}}{N} - \overline{x} ^2\) et \(\text{cov} (x,y) = \frac{\sum x y}{N} - \overline{x} \, \overline{y}\), puis \(a = \text{cov} / \text{variance} (x)\) et \(b = \overline{y} - a \overline{x}\).
\(\sum x = 15, \ \sum y = 30, \ \sum x^{2} = 55, \ \sum x y = 109, \ N = 5\) ; \(\overline{x} = 3, \ \overline{y} = 6\). \(\text{variance} (x) = \frac{55}{5} - 9 = 2\) ; \(\text{cov} (x,y) = \frac{109}{5} - 18 = 3{,}8\). \(a = \frac{3{,}8}{2} = 1{,}9\) ; \(b = 6 - 1{,}9 \cdot 3 = 0{,}3\). Donc \(y = 1{,}9 \, x + 0{,}3\) — pente très proche de celle de Mayer (\(1{,}83\)).
Diviser \(\sum x^{2}\) par \(N\) mais oublier de retrancher \(\overline{x} ^2\) ; confondre \(\sum x^{2}\) (somme des carrés) et \((\sum x)^{2}\) (carré de la somme).
✎ Exercice 2.3
Un camarade a tracé « au jugé » une droite qui passe au-dessus de tous les points d’un nuage. En raisonnant sur les résidus, explique pourquoi ce ne peut pas être la droite des moindres carrés.
Revois la Définition — droite de régression (moindres carrés) : que minimise-t-elle ? Rejoue la figure interactive du cours.
Question à te poser. Si la droite est au-dessus de tous les points, quel est le signe de chaque résidu ? En descendant la droite, la somme des carrés augmente-t-elle ou diminue-t-elle ?
Étape. Compare la somme des carrés avant et après avoir abaissé la droite vers le nuage.
Si la droite est au-dessus de tous les points, tous les résidus ont le même signe et sont grands. En abaissant la droite vers le nuage, on réduit chaque écart, donc la somme des carrés diminue : la droite de départ n’était donc pas celle qui la rend minimale. La droite des moindres carrés laisse forcément des points de part et d’autre (et passe par \(G\)).
Croire qu’« au-dessus » veut dire « proche » ; oublier que c’est la somme des carrés qu’on minimise, pas le nombre de points touchés.
✎ Exercice 2.4
On relève, pour huit pays, le PIB par habitant \(x\) (milliers de $) et l’espérance de vie \(y\) (données du chapitre 1, Our World in Data 2022).
| \(x\) | 7,8 | 14,6 | 19,2 | 27,4 | 32,5 | 39,1 | 46,6 | 58,5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 71,7 | 74,9 | 78,2 | 77,6 | 77,9 | 82,5 | 80,6 | 78,0 |
À la calculatrice, donne l’équation de la droite de régression.
La pente est positive : qu’est-ce que cela signifie, concrètement, sur le lien entre richesse et espérance de vie ?
Revois l’Exemple — la pente depuis un seul tableau : la calculatrice applique exactement ces formules.
Question à te poser. En mode statistique à deux variables, quelles touches donnent \(a\) et \(b\) ? Une pente de « \(0{,}13\) » se lit : quand \(x\) augmente de 1, de combien augmente \(y\) ?
Étape. Saisis les huit couples, lis la régression linéaire \(a x + b\), puis traduis \(a\) en « années gagnées par millier de dollars ».
Environ \(y \approx 0{,}13 \, x + 73{,}5\). La pente \(0{,}13\) signifie qu’en moyenne, 1000 $ de PIB/hab. en plus s’accompagnent d’environ 0,13 année d’espérance de vie en plus — sur cet échantillon, et sans que cela prouve une cause (chapitre 3).
Donner la pente « à l’envers » (confondre \(a\) et \(b\)) ; conclure à une cause alors qu’on n’a qu’une corrélation.