Exercices
✎ Exercice 1.1
Un professeur relève, pour \(6\) élèves, le nombre d’heures de révision avant un test (\(x\)) et la note obtenue sur \(20\) (\(y\)).
- Quelle est la population étudiée ?
- Quels sont les deux caractères relevés ?
- Combien de couples \((x_{i} ; y_{i})\) la série compte-t-elle ?
- Écris le couple correspondant à un élève ayant révisé \(3\) h et obtenu \(12\).
Revois la Définition — série statistique à deux variables (population, individu, couple de données).
Question à te poser. Sur qui ou quoi relève-t-on les mesures ? Et combien de nombres note-t-on par individu ?
Étape. Un « couple » s’écrit \((x_{i} \, ; \, y_{i})\), dans l’ordre : d’abord la variable en abscisse, puis celle en ordonnée.
- Les 6 élèves. (b) Le temps de révision (\(x\)) et la note (\(y\)). (c) 6 couples. (d) \((3 \, ; \, 12)\).
Confondre la population (les individus) avec les variables (ce qu’on mesure) ; inverser l’ordre du couple.
✎ Exercice 1.2
On reprend six pays du tableau (\(x\) = PIB/hab. en milliers de $, \(y\) = espérance de vie).
| Pays | Éthiopie | Inde | Chine | Turquie | Belgique | Norvège |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x\) | 2,3 | 7,8 | 19,2 | 27,4 | 41,9 | 88,4 |
| \(y\) | 66,9 | 71,7 | 78,2 | 77,6 | 81,2 | 82,6 |
Trace le nuage de points dans le repère ci-dessous.
Calcule \(\overline{x}\) et \(\overline{y}\) (calculatrice), puis place le point moyen \(G\).
\(\overline{x} \approx 31{,}2\) ; \(\overline{y} \approx 76{,}4\). Source des données : Our World in Data, 2022.
Revois la Définition — point moyen (\(G(\overline{x} \, ; \, \overline{y})\)) et la section Décrire un nuage.
Question à te poser. Comment obtient-on chaque moyenne ? Le nuage monte-t-il ou descend-il quand \(x\) augmente ?
Étape. \(\overline{x} = \frac{2{,}3 + 7{,}8 + 19{,}2 + 27{,}4 + 41{,}9 + 88{,}4}{6}\) ; même principe pour \(\overline{y}\).
- \(\overline{x} \approx 31{,}2\) ; \(\overline{y} \approx 76{,}4\). (b) \(G(31{,}2 \, ; \, 76{,}4)\). (c) Nuage croissant : les pays plus riches vivent plutôt plus longtemps, mais la montée ralentit aux revenus élevés.
Oublier de diviser par le bon effectif (6) ; placer \(G\) « au hasard » plutôt qu’aux deux moyennes.
✎ Exercice 1.3
Associe chacun des trois nuages ci-dessous à la description qui lui convient : (1) lien croissant et resserré ; (2) lien décroissant ; (3) aucun lien visible.
A ↔︎ (1) B ↔︎ (2) C ↔︎ (3)
Revois l’encadré À retenir — Décrire un nuage (les quatre questions).
Question à te poser. Quand \(x\) augmente, que fait \(y\) ? La montée est-elle régulière (droite) ou s’aplatit-elle (courbe) ? Un point est-il « loin » des autres ?
Étape. Regarde d’abord l’allure générale (monte / descend), puis si c’est une droite ou une courbe, enfin les points isolés.
Sens : croissant. Forme : pas une droite — ça monte vite puis plafonne (courbe). Dispersion : assez resserré, sauf exceptions. Point atypique : les États-Unis (58,5 ; 78,0), riches mais à l’espérance de vie modeste.
Dire « ça monte donc c’est une droite » : croissant ≠ linéaire. Oublier de repérer le point atypique.
✎ Exercice 1.4
Reprends le nuage revenu – espérance de vie de l’activité. Un élève affirme : « Il suffit d’être riche pour vivre vieux. » En t’appuyant sur le sens, la forme et le point atypique du nuage, explique en quelques lignes pourquoi cette phrase est trop simple.
Le nuage est bien croissant, donc un revenu plus élevé s’accompagne souvent d’une espérance de vie plus grande. Mais la relation plafonne (au-delà d’un certain revenu, on ne gagne presque plus d’années) et elle souffre d’exceptions nettes, comme les États-Unis, riches mais à l’espérance de vie modeste. « Aller ensemble » n’est pas « suffire » : d’autres facteurs (système de santé, mode de vie, inégalités) interviennent.
Revois la section Décrire un nuage et la Remarque sur le point atypique (États-Unis).
Question à te poser. « Aller ensemble » (corrélation) veut-il dire « suffire » (cause) ? La montée continue-t-elle indéfiniment, ou plafonne-t-elle ?
Étape. Appuie chaque affirmation sur une observation du nuage : le sens (croissant), la forme (plateau), l’exception (États-Unis).
Le nuage est bien croissant : un revenu plus élevé s’accompagne souvent d’une espérance de vie plus grande. Mais la relation plafonne (au-delà d’un certain revenu, on ne gagne presque plus d’années) et souffre d’exceptions nettes (États-Unis). « Aller ensemble » n’est pas « suffire » : d’autres facteurs jouent (système de santé, mode de vie, inégalités).
Transformer une corrélation (ils varient ensemble) en cause (l’un produit l’autre) — on y reviendra au chapitre 3.