Faire parler les écarts à la moyenne
Avant de chercher « la meilleure droite », posons une question plus simple : comment un seul nombre pourrait-il dire si \(x\) et \(y\) varient ensemble ? L’idée est de regarder chaque point par rapport au point moyen \(G\).
Activité 2.2 — le signe qui révèle le sens
Traçons par \(G\) deux droites : la verticale \(x = \overline{x}\) et l’horizontale \(y = \overline{y}\). Elles partagent le plan en quatre zones.
Pour chaque point, on note son écart en \(x\) (\(x_{i} - \overline{x}\)) et son écart en \(y\) (\(y_{i} - \overline{y}\)).
Quel est le signe de leur produit selon la zone ? Un point en haut à droite de \(G\) a ses deux écarts positifs, donc un produit positif ; un point en haut à gauche a un produit négatif.
Vérifions-le sur quatre années de l’écart salarial (\(\overline{x} = 9\), \(\overline{y} \approx 5{,}97\)). Complète les signes :
| Année | signe de \(x_{i} - \overline{x}\) | signe de \(y_{i} - \overline{y}\) | signe du produit |
|---|---|---|---|
| 2006 | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
| 2010 | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
| 2020 | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| 2022 | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
- Tous les produits sont négatifs : le nuage est donc plutôt décroissant. Si, au contraire, les produits étaient majoritairement positifs, le nuage serait croissant.
Ce que tu viens d’examiner point par point porte un nom : en faisant la moyenne de tous ces produits, on obtient la covariance.
Définition 2.2 — covariance
La covariance de \(x\) et \(y\) est la moyenne des produits des écarts à leurs moyennes :
\[ \text{cov}(x, y) = \frac{1}{N} \sum (x_{i} - \overline{x})(y_{i} - \overline{y}). \]
Son signe donne le sens du lien : positive si \(x\) et \(y\) augmentent ensemble, négative s’ils varient en sens contraire, proche de \(0\) s’il n’y a pas de tendance nette.