L’essentiel
Définitions et propriétés du cours, pour s’y retrouver
Cette page rassemble les énoncés du cours, sans les activités qui leur donnent du sens, sans les justifications, les exemples ni les méthodes vues en classe. Connaître ces énoncés ne suffit pas : l’essentiel, c’est de savoir les utiliser, et cela s’apprend avec les exemples et les exercices.
Sers-t’en pour retrouver un énoncé ou vérifier que tu peux le redire sans regarder, puis retourne au cours (lien « dans le cours » sous chaque encadré) et aux exercices.
Chapitre 1 — Compter sur de petits ensembles
Additionner, multiplier
Propriété 1.1 — principe multiplicatif
Si un résultat se construit en \(k\) étapes successives, avec
- \(n_{1}\) choix possibles à la première étape,
- \(n_{2}\) choix possibles à la deuxième étape, quel que soit le choix fait à la première,
- …, \(n_{k}\) choix possibles à la \(k\)-ième étape, quels que soient les choix précédents,
et si deux suites de choix différentes donnent deux résultats différents, alors le nombre de résultats vaut
\[ n_{1} \cdot n_{2} \cdot \cdots \cdot n_{k}. \]
Propriété 1.2 — principe additif
Pour deux ensembles finis \(A\) et \(B\) :
\[ \#(A \cup B) = \#A + \#B - \#(A \cap B). \]
Si \(A\) et \(B\) n’ont aucun élément commun (\(A \cap B = \emptyset\)), alors \(\#(A \cup B) = \#A + \#B\) : on additionne les cas.
Propriété 1.3 — compter par le complémentaire
Si \(A\) est une partie d’un ensemble fini \(E\), le nombre d’éléments de \(E\) qui ne sont pas dans \(A\) vaut \(\#E - \#A\).
\(E\)
\(A\)
C’est utile pour compter les résultats qui contiennent « au moins un » élément d’un certain type : on compte tout, puis on retire ceux qui n’en contiennent « aucun ».
Arrangements et permutations
Définition 1.1 — arrangements
Un arrangement de \(p\) éléments pris parmi \(n\) est une suite de \(p\) éléments choisis parmi \(n\) éléments donnés (l’ordre compte).
- Avec répétition (un élément peut revenir) : il y en a \(n^{p}\).
- Sans répétition (éléments distincts, \(p \leq n\)) : il y en a
\[ A_{n}^{p} = \underbrace{n (n-1) (n-2) \cdots (n-p+1)}_{p \text{facteurs}}. \]
Au premier choix, aucun élément n’est pris : \(n\) choix. Au \(k\)-ième choix, \(k - 1\) éléments sont déjà pris : il reste \(n - k + 1\) choix. Le dernier facteur (au \(p\)-ième choix) est donc \(n - p + 1\) : pour le bureau, \(18 \cdot 17 \cdot 16\) et \(16 = 18 - 3 + 1\).
Définition 1.2 — factorielle
Pour tout naturel \(n \geq 1\), \(n! = n (n-1) \cdots 2 \cdot 1\) (lire « factorielle \(n\) »). On pose \(0! = 1\).
Propriété 1.4
Pour \(0 \leq p \leq n\) :
\[ A_{n}^{p} = \frac{n!}{(n-p)!}. \]
Définition 1.3 — permutations
Une permutation de \(n\) éléments est une façon de les ranger tous dans un ordre : c’est un arrangement sans répétition de \(n\) éléments pris parmi \(n\). Il y en a \(A_{n}^{n} = n!\).
Combinaisons
Définition 1.4 — combinaisons
Une combinaison de \(p\) éléments pris parmi \(n\) est un groupe (sans ordre) de \(p\) éléments distincts choisis parmi \(n\). Il y en a
\[ C_{n}^{p} = \frac{A_{n}^{p}}{p!} = \frac{n!}{p! \, (n-p)!}. \]
Seconde forme, lue directement : on range les \(n\) éléments en ligne (\(n!\) façons) ; les \(p\) premiers forment le groupe. Changer l’ordre des \(p\) premiers (\(p!\) façons) ou celui des \(n - p\) derniers (\((n-p)!\) façons) ne change pas le groupe : on divise par \(p! \, (n-p)!\).
Propriété 1.5 — symétrie
Pour \(0 \leq p \leq n\) :
\[ C_{n}^{p} = C_{n}^{n-p}. \]
Permutations avec répétition : les anagrammes
Définition 1.5 — permutations avec répétition
Une permutation avec répétition de \(n\) objets est une façon de les ranger tous en ligne lorsque certains d’entre eux sont identiques (on ne distingue pas deux objets identiques) : par exemple, un anagramme de ANNA.
Propriété 1.6
Le nombre de permutations avec répétition de \(n\) objets, dont \(k_{1}\) sont identiques entre eux, \(k_{2}\) identiques entre eux, …, \(k_{r}\) identiques entre eux, vaut
\[ \frac{n!}{k_{1} ! \, k_{2} ! \cdots k_{r} !}. \]
Avec deux sortes d’objets seulement, on retrouve les combinaisons : choisir 3 délégués parmi 5 élèves A, B, C, D, E revient à écrire O (« oui ») ou N (« non ») sous chaque nom, par exemple ONOON pour {A, C, D}. Il y a autant de délégations que d’anagrammes de OOONN : \(\frac{5!}{3! \cdot 2!} = C_{5}^{3} = 10\).
Chapitre 2 — Modéliser le hasard
Fréquences et probabilité
Définition 2.1 — probabilité a posteriori
La probabilité d’un résultat est un nombre entre 0 et 1 qui mesure ses chances de se produire : c’est un nombre du modèle, pas une observation. Quand on répète un grand nombre de fois l’expérience dans les mêmes conditions, la fréquence relative du résultat varie de moins en moins : elle fournit une estimation de sa probabilité, appelée probabilité a posteriori. Plus le nombre de répétitions est grand, plus l’estimation est en général fiable ; elle n’est jamais certaine.
Univers et événements
Définition 2.2 — expérience aléatoire, issue, événement
- Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude.
- Chaque résultat possible est une issue (ou épreuve).
- L’ensemble de toutes les issues est l’univers, noté \(\Omega\). Le programme dit aussi catégorie d’épreuves.
- Un événement est une partie de \(\Omega\). Il est réalisé si l’issue obtenue lui appartient.
Le modèle d’équiprobabilité
Définition 2.3 — probabilité a priori (règle de Laplace)
Si l’on suppose que toutes les issues d’un univers fini \(\Omega\) ont la même probabilité (hypothèse d’équiprobabilité), la probabilité d’un événement \(A\) vaut
\[ P(A) = \frac{\#A}{\#\Omega} = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre d'issues possibles}}. \]
Définition 2.4 — probabilité sur un univers fini
Soit \(\Omega = \{\omega_{1}, \omega_{2}, …, \omega_{n}\}\) un univers fini. Définir une probabilité sur \(\Omega\), c’est associer à chaque issue \(\omega_{i}\) un nombre \(p_{i}\), sa probabilité, de sorte que
\[ p_{i} \geq 0 \quad \text{et} \quad p_{1} + p_{2} + \cdots + p_{n} = 1. \]
La probabilité d’un événement \(A\) est alors la somme des probabilités des issues de \(A\). Si toutes les issues ont la même probabilité, chaque \(p_{i}\) vaut \(\frac{1}{n}\) et l’on retrouve la règle de Laplace : \(P(A) = \#A \cdot \frac{1}{n} = \frac{\#A}{\#\Omega}\).
Propriétés des probabilités
Propriété 2.1 — propriétés des probabilités
Pour tous événements \(A\) et \(B\) :
- \(0 \leq P(A) \leq 1\), \(P(\Omega) = 1\), \(P(\emptyset) = 0\) ;
- \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\) ;
- \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) ; si \(A\) et \(B\) sont disjoints, \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
Chapitre 3 — Probabilité conditionnelle et indépendance
Probabilité conditionnelle
Définition 3.1 — probabilité conditionnelle
Soit \(B\) un événement tel que \(P(B) \neq 0\). La probabilité de \(A\) sachant \(B\) est
\[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}. \]
Sous l’hypothèse d’équiprobabilité, \(P(A | B) = \frac{\#(A \cap B)}{\#B}\) : on remplace l’univers \(\Omega\) par \(B\).
\(\Omega\)
\(A\)
\(B\)
Sachant \(B\), seules comptent les issues de \(B\) (zone hachurée) ; parmi elles, celles de \(A\) sont dans \(A \cap B\).
Arbres de probabilités
Propriété 3.1 — calculer sur un arbre
\(B\)
\(P(B)\)
\(A\)
\(P(A | B)\)
\(\overline{A}\)
\(P(\overline{A} | B)\)
\(\overline{B}\)
\(P(\overline{B})\)
\(A\)
\(P(A | \overline{B})\)
\(\overline{A}\)
\(P(\overline{A} | \overline{B})\)
- Sur une branche issue d’un nœud \(B\), on écrit une probabilité sachant \(B\). Les branches issues d’un même nœud ont une somme égale à 1.
- La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches : \(P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A | B)\). C’est la définition 3.1, \(P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\), réécrite.
- La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent :
\[ P(A) = P(B) \cdot P(A | B) + P(\overline{B}) \cdot P(A | \overline{B}). \]
Indépendance
Définition 3.2 — événements indépendants
Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants si \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\). Sinon, ils sont dépendants.
Propriété 3.2
Si \(P(B) \neq 0\) : \(A\) et \(B\) sont indépendants \(\Longleftrightarrow\) \(P(A | B) = P(A)\).