Le langage des ensembles
Compter, puis calculer des probabilités, c’est parler d’ensembles : l’ensemble des résultats possibles, ceux qui ont une propriété, ceux qui en ont deux à la fois… Ce langage et ses symboles servent dans tout le cours.
Activité 1.1 — deux ensembles de nombres
On considère l’ensemble \(E\) des nombres entiers de 1 à 12, l’ensemble \(A\) des diviseurs de 12 et l’ensemble \(B\) des nombres pairs de \(E\).
- Écris la liste des éléments de \(A\) et celle des éléments de \(B\), entre accolades.
\(A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}\) ; \(B = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}\).
- Place les douze nombres de \(E\) dans le diagramme.
\(E\)
\(A\)
\(B\)
1, 3
2, 4, 6, 12
8, 10
5, 7, 9, 11
- Dans chaque cas, écris la liste des nombres de \(E\) concernés et colorie la zone correspondante du diagramme : 1) dans \(A\) et dans \(B\) ; 2) dans \(A\) ou dans \(B\) (au moins dans l’un des deux) ; 3) dans \(A\) mais pas dans \(B\) ; 4) pas dans \(A\) ; 5) à la fois impairs et dans \(B\).
- \(\{2, 4, 6, 12\}\), la zone commune ; 2) \(\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12\}\), les deux cercles ; 3) \(\{1, 3\}\) ; 4) \(\{5, 7, 8, 9, 10, 11\}\), tout ce qui est hors du cercle \(A\) ; 5) aucun nombre : la liste est vide.
- Combien d’éléments compte chacun des ensembles a) et c) ? Le nombre d’éléments de « dans \(A\) ou dans \(B\) » est-il la somme des nombres d’éléments de \(A\) et de \(B\) ?
\(A\) : 6 ; \(B\) : 6 ; 1) 4 ; 2) 8 ; 3) 2 ; 4) 6 ; 5) 0. Non : \(6 + 6 = 12\), mais 2, 4, 6 et 12 seraient comptés deux fois ; \(6 + 6 - 4 = 8\).
Notations. Pour des ensembles \(A\) et \(B\) contenus dans un ensemble \(E\) :
| Notation | Se lit | Signifie (exemple de l’activité 1.1) |
|---|---|---|
| \(\{1, 3\}\) | « l’ensemble des éléments 1 et 3 » | ensemble écrit en extension, entre accolades |
| \(3 \in A\) | « 3 appartient à \(A\) » | 3 est un élément de \(A\) ; \(5 \notin A\) |
| \(A \cap B\) | « \(A\) inter \(B\) » | éléments communs à \(A\) et à \(B\) : \(\{2, 4, 6, 12\}\) |
| \(A \cup B\) | « \(A\) union \(B\) » | éléments de \(A\) ou de \(B\) (au moins de l’un) : 8 éléments |
| \(A \setminus B\) | « \(A\) privé de \(B\) » | éléments de \(A\) qui ne sont pas dans \(B\) : \(\{1, 3\}\) |
| \(\overline{A}\) | « complémentaire de \(A\) » | éléments de \(E\) qui ne sont pas dans \(A\) |
| \(\emptyset\) | « ensemble vide » | ensemble sans élément |
| \(\{2, 4\} \subset A\) | « \(\{2, 4\}\) est inclus dans \(A\) » | tout élément de \(\{2, 4\}\) est dans \(A\) |
| \(\#A\) | « cardinal de \(A\) » | nombre d’éléments de \(A\) : \(\#A = 6\) |
✎ Exercice 1.1 ⟵ à faire à la maison
Dans l’ensemble \(E\) des entiers de 1 à 20, on note \(A\) l’ensemble des multiples de 4 et \(B\) l’ensemble des diviseurs de 20. Écris en extension \(A\), \(B\), \(A \cap B\), \(A \cup B\) et \(A \setminus B\), puis calcule \(\#(A \cup B)\) et \(\#\overline{B}\). Vrai ou faux : \(5 \in A\) ; \(\{4, 20\} \subset B\) ?
\(A = \{4, 8, 12, 16, 20\}\) ; \(B = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}\) ; \(A \cap B = \{4, 20\}\) ; \(A \cup B = \{1, 2, 4, 5, 8, 10, 12, 16, 20\}\) ; \(A \setminus B = \{8, 12, 16\}\). \(\#(A \cup B) = 9\) ; \(\#\overline{B} = 20 - 6 = 14\). \(5 \in A\) : faux ; \(\{4, 20\} \subset B\) : vrai.
Relis l’activité 1.1 et le cadre « Notations ».
Quels nombres sont à la fois multiples de 4 et diviseurs de 20 ?
Écris d’abord \(A = \{4, 8, 12, 16, 20\}\), puis cherche les diviseurs de 20 un par un.
\(A = \{4, 8, 12, 16, 20\}\) ; \(B = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}\). \(A \cap B = \{4, 20\}\) ; \(A \cup B = \{1, 2, 4, 5, 8, 10, 12, 16, 20\}\) ; \(A \setminus B = \{8, 12, 16\}\). \(\#(A \cup B) = 9\) (\(5 + 6 - 2\)) ; \(\#\overline{B} = 20 - 6 = 14\). \(5 \in A\) est faux (5 n’est pas multiple de 4) ; \(\{4, 20\} \subset B\) est vrai.
- Écrire deux fois 4 et 20 dans \(A \cup B\) : un ensemble ne contient chaque élément qu’une fois.
- Oublier 1 et 20 parmi les diviseurs de 20.