Indépendance

Activité 3.4 — une information change-t-elle la probabilité ?

  1. Au Titanic, compare \(P(S)\) et \(P(S | C)\). Savoir qu’une personne voyageait en 1re classe change-t-il la probabilité qu’elle ait survécu ?

\(P(S) \approx 0{,}323\) et \(P(S | C) \approx 0{,}625\) : oui, fortement.

  1. On lance un dé rouge et un dé blanc. \(A\) : « le rouge donne 6 » ; \(B\) : « le blanc donne 6 ». Compare \(P(A)\) et \(P(A | B)\).

On suppose les 36 couples équiprobables. \(P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\) ; \(P(A | B) = \frac{\#(A \cap B)}{\#B} = \frac{1}{6}\). Savoir que \(B\) est réalisé ne change rien.

  1. Dans ce dernier cas, compare \(P(A \cap B)\) et \(P(A) \cdot P(B)\).

\(P(A \cap B) = \frac{1}{36} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = P(A) \cdot P(B)\).

Définition 3.2 — événements indépendants

Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants si \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\). Sinon, ils sont dépendants.

Propriété 3.2

Si \(P(B) \neq 0\) : \(A\) et \(B\) sont indépendants \(\Longleftrightarrow\) \(P(A | B) = P(A)\).

Démonstration 3.1

\(P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) vaut \(P(A)\) si et seulement si \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\).

Remarque 3.3

Indépendants ne veut pas dire disjoints. Avec un dé, « obtenir 1 » et « obtenir 6 » sont disjoints : \(P(\{1\} \cap \{6\}) = 0\), alors que \(P(\{1\}) \cdot P(\{6\}) = \frac{1}{36}\). Ils sont donc dépendants : savoir qu’on a obtenu 6 rend « obtenir 1 » impossible.

\(\Omega\)

\(\{1\}\)

\(\{6\}\)

Remarque 3.4

L’erreur du joueur. À la roulette, après cinq « rouge » consécutifs, « noir » n’est pas plus probable : les tirages successifs sont indépendants.

Exemple 3.1 — retour au chevalier de Méré

Les 4 lancers d’un dé sont indépendants : \(P(\text{aucun 6}) = (\frac{5}{6})^{4} = \frac{625}{1296}\). On retrouve le résultat obtenu en comptant (exemple 2.5).

✎ Exercice 3.7 A4 ★☆☆

On lance un dé rouge et un dé blanc. \(A\) : « la somme vaut 7 » ; \(B\) : « le rouge donne 6 » ; \(D\) : « la somme vaut 12 ». \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? \(D\) et \(B\) ?

On suppose les 36 couples équiprobables. \(P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\), \(P(B) = \frac{1}{6}\), \(A \cap B = \{(6, 1)\}\) : \(P(A \cap B) = \frac{1}{36} = P(A) \cdot P(B)\), donc \(A\) et \(B\) sont indépendants. \(P(D) = \frac{1}{36}\), \(D \cap B = \{(6, 6)\}\) : \(P(D \cap B) = \frac{1}{36} \neq \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{6}\), donc \(D\) et \(B\) sont dépendants.

Que valent \(P(A)\), \(P(B)\) et \(P(A \cap B)\) ?

\(A \cap B = \{(6, 1)\}\) : \(P(A \cap B) = \frac{1}{36}\).

On suppose les 36 couples équiprobables. \(P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\), \(P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\), \(A \cap B = \{(6, 1)\}\), donc \(P(A \cap B) = \frac{1}{36} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = P(A) \cdot P(B)\) : \(A\) et \(B\) sont indépendants. \(P(D) = \frac{1}{36}\), \(D \cap B = \{(6, 6)\}\), donc \(P(D \cap B) = \frac{1}{36}\) alors que \(P(D) \cdot P(B) = \frac{1}{216}\) : \(D\) et \(B\) sont dépendants.

  • Juger l’indépendance « à l’intuition » : on vérifie l’égalité de la définition.

✎ Exercice 3.8 A4 ★★☆

Au Titanic, les événements \(S\) et \(C\) sont-ils indépendants ?

\(P(S \cap C) = \frac{203}{2201} \approx 0{,}092\) et \(P(S) \cdot P(C) = \frac{711}{2201} \cdot \frac{325}{2201} \approx 0{,}048\). Ces deux nombres sont différents : \(S\) et \(C\) sont dépendants.

Compare \(P(S \cap C)\) et \(P(S) \cdot P(C)\), ou \(P(S | C)\) et \(P(S)\).

\(P(S \cap C) = \frac{203}{2201}\).

\(P(S \cap C) = \frac{203}{2201} \approx 0{,}092\) et \(P(S) \cdot P(C) = \frac{711}{2201} \cdot \frac{325}{2201} \approx 0{,}048\). Ces deux nombres sont différents : \(S\) et \(C\) sont dépendants. (Autre justification : \(P(S | C) \approx 0{,}625 \neq P(S) \approx 0{,}323\).)

  • Calculer \(P(S) \cdot P(C)\) avec les effectifs (711 · 325) au lieu des probabilités.

✎ Exercice 3.9 A6 ★★☆

En 2021, 60 282 garçons et 57 632 filles sont nés en Belgique (Statbel, Chiffres clés 2022. Aperçu statistique de la Belgique, p. 9 (naissances en 2021)).

  1. Estime la probabilité qu’un nouveau-né soit une fille.

  2. On reprend la famille de trois enfants de l’exercice 2.8, en supposant les naissances indépendantes, mais avec la probabilité estimée en a). Calcule la probabilité d’avoir exactement deux garçons et compare-la à \(\frac{3}{8}\).

  3. Calcule la probabilité que la famille ait au moins un enfant de chaque sexe.

  1. \(P(F) \approx 57 \, \frac{632}{117} \, 914 \approx 0{,}489\), donc \(P(G) \approx 0{,}511\) (probabilité a posteriori). b) Trois chemins de l’arbre contiennent deux garçons (GGF, GFG, FGG), chacun de probabilité \(0{,}511^{2} \cdot 0{,}489\) : \(P(\text{exactement deux garçons}) \approx 3 \cdot 0{,}511^{2} \cdot 0{,}489 \approx 0{,}383\), un peu plus que \(\frac{3}{8} = 0{,}375\), car les garçons sont un peu plus fréquents. c) Contraire : « trois filles ou trois garçons » : \(P(\text{au moins un enfant de chaque sexe}) \approx 1 - 0{,}489^{3} - 0{,}511^{3} \approx 0{,}750\).

Combien d’enfants sont nés en tout ? Quels chemins de l’arbre donnent deux garçons ?

\(P(F) \approx 57 \, \frac{632}{117} \, 914\).

  1. \(60 \, 282 + 57 \, 632 = 117 \, 914\) naissances : \(P(F) \approx 57 \, \frac{632}{117} \, 914 \approx 0{,}489\) et \(P(G) \approx 0{,}511\). b) Naissances indépendantes : trois chemins (GGF, GFG, FGG), chacun de probabilité \(0{,}511^{2} \cdot 0{,}489\), donc \(P(\text{exactement deux garçons}) \approx 0{,}383\) ; c’est un peu plus que \(\frac{3}{8} = 0{,}375\), car les garçons sont un peu plus fréquents. c) Contraire : « trois filles ou trois garçons » : \(P(\text{au moins un enfant de chaque sexe}) \approx 1 - 0{,}489^{3} - 0{,}511^{3} \approx 0{,}750\).
  • Diviser le nombre de filles par le nombre de garçons au lieu du nombre total de naissances.
    1. Oublier qu’il y a trois chemins avec deux garçons.

✎ Exercice 3.10 ⟵ à faire à la maison A4 ★★☆

On tire une carte d’un jeu de 52 cartes. \(C\) : « tirer un cœur » ; \(R\) : « tirer un roi ». \(C\) et \(R\) sont-ils indépendants ? Sont-ils disjoints ?

On suppose les 52 cartes équiprobables. \(P(C \cap R) = \frac{1}{52}\) et \(P(C) \cdot P(R) = \frac{13}{52} \cdot \frac{4}{52} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{13} = \frac{1}{52}\) : \(C\) et \(R\) sont indépendants. Ils ne sont pas disjoints : le roi de cœur est dans les deux.

Relis la définition 3.2 et la remarque 3.3.

Que vaut \(P(C \cap R)\) ? Et \(P(C) \cdot P(R)\) ?

\(P(C) \cdot P(R) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{13}\).

On suppose les 52 cartes équiprobables. \(P(C \cap R) = \frac{1}{52}\) (roi de cœur) et \(P(C) \cdot P(R) = \frac{13}{52} \cdot \frac{4}{52} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{13} = \frac{1}{52}\) : \(C\) et \(R\) sont indépendants. Ils ne sont pas disjoints : le roi de cœur appartient aux deux.

  • Croire que des événements qui ont un élément commun sont forcément dépendants.

✎ Exercice 3.11 T1 ★★★

Défi. On reprend l’urne de l’exercice 3.3 (3 rouges, 2 bleues, deux tirages sans remise). Les événements \(R_{1}\) : « la première boule est rouge » et \(R_{2}\) : « la deuxième boule est rouge » sont-ils indépendants ? Et avec remise ?

Sans remise : \(P(R_{2}) = \frac{3}{5}\) (exercice 3.3) et \(P(R_{2} | R_{1}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \neq \frac{3}{5}\) : dépendants. Avec remise : \(P(R_{2} | R_{1}) = \frac{3}{5} = P(R_{2})\) : indépendants.

Relis la propriété 3.2 et l’exercice 3.3.

Savoir que la première boule est rouge change-t-il la probabilité que la deuxième le soit ?

Sans remise : \(P(R_{2} | R_{1}) = \frac{2}{4}\) et \(P(R_{2}) = \frac{3}{5}\).

Sans remise : \(P(R_{2}) = \frac{3}{5}\) (exercice 3.3) et \(P(R_{2} | R_{1}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). Comme \(\frac{1}{2} \neq \frac{3}{5}\), \(R_{1}\) et \(R_{2}\) sont dépendants. Avec remise : \(P(R_{2} | R_{1}) = \frac{3}{5} = P(R_{2})\), donc \(R_{1}\) et \(R_{2}\) sont indépendants.

  • Calculer \(P(R_{2})\) sans remise comme \(\frac{2}{4}\) : la première boule peut aussi être bleue.

✎ Exercice 3.12 T2 ★★☆

Trouve l’erreur. Chaque affirmation ci-dessous est fausse. Explique l’erreur.

  1. « Un test est positif chez 90 % des malades. Donc une personne dont le test est positif est malade avec la probabilité \(0{,}9\). »

  2. « \(A\) et \(B\) sont disjoints, donc ils sont indépendants. »

  1. Le texte donne \(P(T | M) = 0{,}9\) ; la question porte sur \(P(M | T)\), qui dépend aussi de la proportion de malades et des positifs chez les non-malades (activité 3.3) : elle peut être bien plus petite. b) Si \(A\) et \(B\) sont disjoints et de probabilités non nulles, \(P(A \cap B) = 0\) alors que \(P(A) \cdot P(B) > 0\) : ils sont dépendants. Savoir que \(B\) est réalisé rend \(A\) impossible.
  1. Quelle est la condition dans « positif chez 90 % des malades » ? Et dans la conclusion ?
  1. Que vaut \(P(A \cap B)\) si \(A\) et \(B\) sont disjoints ?
  1. Le texte donne \(P(T | M) = 0{,}9\), la conclusion porte sur \(P(M | T)\) : on a inversé la condition. \(P(M | T)\) dépend aussi de la proportion de malades et des positifs chez les non-malades ; elle peut être bien plus petite (activité 3.3). b) Disjoints : \(P(A \cap B) = 0\). Si \(P(A) > 0\) et \(P(B) > 0\), alors \(P(A) \cdot P(B) > 0 \neq P(A \cap B)\) : \(A\) et \(B\) sont dépendants.
  • Confondre « disjoints » (pas d’issue commune) et « indépendants » (une information ne change pas la probabilité).

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