Combinaisons
Activité 1.6 — regrouper puis diviser
On choisit une délégation de 3 élèves parmi A, B, C, D, E.
- Combien de suites de 3 élèves distincts peut-on former ?
\(A_{5}^{3} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\).
- Le schéma range ces 60 suites en paquets : chaque paquet contient les suites formées des mêmes trois élèves. Complète-le.
les 60 suites
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
ABD
ADB
BAD
BDA
DAB
DBA
ABE
AEB
BAE
BEA
EAB
EBA
ACD
ADC
CAD
CDA
DAC
DCA
ACE
AEC
CAE
CEA
EAC
ECA
ADE
AED
DAE
DEA
EAD
EDA
BCD
BDC
CBD
CDB
DBC
DCB
BCE
BEC
CBE
CEB
EBC
ECB
BDE
BED
DBE
DEB
EBD
EDB
CDE
CED
DCE
DEC
ECD
EDC
Combien de suites contient chaque paquet ? Pourquoi ?
Chaque paquet contient \(3! = 6\) suites : les 6 façons d’ordonner trois élèves donnés.
- Déduis-en le nombre de délégations sans les lister.
Une délégation correspond à un paquet. Les 60 suites se regroupent par paquets de 6 : \(\frac{60}{6} = 10\) délégations.
Définition 1.4 — combinaisons
Une combinaison de \(p\) éléments pris parmi \(n\) est un groupe (sans ordre) de \(p\) éléments distincts choisis parmi \(n\). Il y en a
\[ C_{n}^{p} = \frac{A_{n}^{p}}{p!} = \frac{n!}{p! \, (n-p)!}. \]
Seconde forme, lue directement : on range les \(n\) éléments en ligne (\(n!\) façons) ; les \(p\) premiers forment le groupe. Changer l’ordre des \(p\) premiers (\(p!\) façons) ou celui des \(n - p\) derniers (\((n-p)!\) façons) ne change pas le groupe : on divise par \(p! \, (n-p)!\).
Remarque 1.4
Les calculatrices (touche nCr) et beaucoup de manuels notent \(\begin{pmatrix}n \\ p\end{pmatrix}\) au lieu de \(C_{n}^{p}\) (attention : \(n\) en haut, \(p\) en bas).
Propriété 1.5 — symétrie
Pour \(0 \leq p \leq n\) :
\[ C_{n}^{p} = C_{n}^{n-p}. \]
Démonstration 1.2
Choisir le groupe \(G\) des \(p\) élèves qui partent revient à choisir le groupe des \(n - p\) élèves qui restent : c’est la partie de l’ensemble \(E\) des \(n\) élèves hors de \(G\).
\(E\)
\(G\)
\(p\) élèves
\(n - p\)
Chaque groupe de \(p\) correspond à exactement un groupe de \(n - p\), et inversement : il y a donc autant de groupes de \(p\) élèves que de groupes de \(n - p\) élèves.
Exemple 1.3 — Lotto
Au Lotto belge, on coche 6 numéros parmi 45. Combien de grilles différentes ?
Une grille est un groupe de 6 numéros distincts : l’ordre dans lequel on les coche ne compte pas. Il y a \(C_{45}^{6} = \frac{45!}{6! \, 39!} = 8 \, 145 \, 060\) grilles. On retrouve la « chance sur 8 145 060 » de gagner le gros lot citée par la presse (RTBF (13/12/2024). Lotto ou jeux à gratter : ce que les probabilités nous disent vraiment (analyse de F. Vrins, UCLouvain)).
✎ Exercice 1.13
Une classe de 22 élèves choisit 3 délégués. Combien de choix sont possibles si les trois délégués ont le même rôle ? si l’un est délégué, le deuxième suppléant et le troisième secrétaire ?
Même rôle : un choix est un groupe de 3 élèves, \(C_{22}^{3} = 1540\). Rôles différents : un choix est une suite de 3 élèves distincts, \(A_{22}^{3} = 9240\).
Relis la définition des combinaisons et celle des arrangements.
Dans chaque cas, le choix (Alice, Bilal, Chloé) diffère-t-il du choix (Bilal, Alice, Chloé) ?
Même rôle : l’ordre ne compte pas, c’est un groupe.
Même rôle : un choix est un groupe de 3 élèves distincts, \(C_{22}^{3} = \frac{22 \cdot 21 \cdot 20}{3!} = 1540\). Rôles différents : un choix est une suite de 3 élèves distincts, \(A_{22}^{3} = 22 \cdot 21 \cdot 20 = 9240\). On retrouve \(9240 = 1540 \cdot 3!\) : chaque groupe donne \(3! = 6\) suites.
- Donner la même réponse aux deux questions.
✎ Exercice 1.14 ⟵ à faire à la maison
Lors d’une réunion, 25 personnes se serrent toutes la main, une fois par paire. Combien de poignées de main sont échangées ?
Une poignée de main correspond à un groupe de 2 personnes (A serre la main de B = B serre la main de A) : \(C_{25}^{2} = \frac{25 \cdot 24}{2} = 300\).
Relis la définition des combinaisons.
La poignée de main entre A et B est-elle différente de celle entre B et A ?
Une poignée de main correspond à un groupe de 2 personnes.
Une poignée de main correspond à un groupe de 2 personnes parmi 25 (A serre la main de B = B serre la main de A). Il y en a \(C_{25}^{2} = \frac{25 \cdot 24}{2} = 300\).
- Répondre \(25 \cdot 24 = 600\) : chaque poignée de main est comptée deux fois.
- Répondre \(25 \cdot 25\) : une personne ne se serre pas la main.
✎ Exercice 1.15
Un comité de 5 personnes est formé de 3 filles choisies parmi 8 et de 2 garçons choisis parmi 6. Combien de comités sont possibles ?
Choisir les filles : \(C_{8}^{3} = 56\) groupes. Choisir les garçons : \(C_{6}^{2} = 15\) groupes. Tout groupe de filles peut être associé à tout groupe de garçons : \(56 \cdot 15 = 840\) comités.
Relis la définition des combinaisons et le principe multiplicatif.
Peut-on choisir d’abord les filles, puis les garçons ?
Filles : \(C_{8}^{3} = 56\) groupes.
On choisit les 3 filles parmi 8 : \(C_{8}^{3} = 56\) groupes ; puis les 2 garçons parmi 6 : \(C_{6}^{2} = 15\) groupes. Le nombre de groupes de garçons ne dépend pas des filles choisies ; par le principe multiplicatif, il y a \(56 \cdot 15 = 840\) comités.
- Additionner \(56 + 15\) : un comité contient des filles et des garçons.
- Calculer \(C_{14}^{5}\) : on compte alors aussi les comités qui n’ont pas 3 filles.
✎ Exercice 1.16
Défi. On répartit 6 élèves en deux équipes de 3. Combien de répartitions si les équipes s’appellent « rouge » et « bleue » ? si elles ne portent pas de nom ?
Avec noms : choisir l’équipe rouge suffit (la bleue est formée des autres), \(C_{6}^{3} = 20\). Sans nom : chaque répartition est comptée deux fois dans les 20 (rouge et bleue échangées) : \(\frac{20}{2} = 10\).
Relis l’activité 1.6 : regrouper puis diviser.
Quand on connaît l’équipe rouge, connaît-on l’équipe bleue ?
Sans nom, la répartition « {A, B, C} et {D, E, F} » apparaît deux fois dans les 20 répartitions avec noms.
Avec noms : choisir l’équipe rouge suffit, l’équipe bleue est formée des 3 autres. Il y a \(C_{6}^{3} = 20\) répartitions. Sans nom : chaque répartition correspond à 2 répartitions avec noms (on échange rouge et bleu). Il y a \(\frac{20}{2} = 10\) répartitions.
- Calculer \(C_{6}^{3} \cdot C_{3}^{3}\) puis oublier de diviser par 2 dans le cas sans nom.