Arbres de probabilités
Activité 3.2 — des effectifs aux probabilités
On ne distingue plus que la 1re classe (\(C\)) et les autres personnes (\(\overline{C}\)). Voici l’arbre des effectifs.
2 201 personnes
325 en 1re classe
203 survivants
122 décédés
1 876 autres
508 survivants
1 368 décédés
On divise chaque effectif par celui du nœud dont il part : les branches portent des probabilités. Complète l’arbre.
\(C\)
\(\frac{325}{2201}\)
\(S\)
\(\frac{203}{325}\)
\(\overline{S}\)
\(\frac{122}{325}\)
\(\overline{C}\)
\(\frac{1876}{2201}\)
\(S\)
\(\frac{508}{1876}\)
\(\overline{S}\)
\(\frac{1368}{1876}\)
- Que représente la fraction \(\frac{203}{325}\) ?
\(P(S | C)\) : la probabilité de survivre sachant qu’on voyageait en 1re classe.
- Calcule \(\frac{325}{2201} \cdot \frac{203}{325}\). Que retrouve-t-on ?
\(\frac{203}{2201} = P(C \cap S)\) : le produit le long du chemin donne la probabilité de l’intersection.
- Comment obtenir \(P(S)\) à partir de l’arbre ?
En additionnant les chemins qui mènent à \(S\) : \(\frac{203}{2201} + \frac{508}{2201} = \frac{711}{2201}\).
Propriété 3.1 — calculer sur un arbre
\(B\)
\(P(B)\)
\(A\)
\(P(A | B)\)
\(\overline{A}\)
\(P(\overline{A} | B)\)
\(\overline{B}\)
\(P(\overline{B})\)
\(A\)
\(P(A | \overline{B})\)
\(\overline{A}\)
\(P(\overline{A} | \overline{B})\)
- Sur une branche issue d’un nœud \(B\), on écrit une probabilité sachant \(B\). Les branches issues d’un même nœud ont une somme égale à 1.
- La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches : \(P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A | B)\). C’est la définition 3.1, \(P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\), réécrite.
- La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent :
\[ P(A) = P(B) \cdot P(A | B) + P(\overline{B}) \cdot P(A | \overline{B}). \]
✎ Exercice 3.3
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire une boule, on ne la remet pas, puis on en tire une deuxième. Complète l’arbre, puis calcule la probabilité de tirer deux boules rouges et celle que la deuxième boule soit rouge.
\(R_{1}\)
\(\frac{3}{5}\)
\(R_{2}\)
\(\frac{2}{4}\)
\(B_{2}\)
\(\frac{2}{4}\)
\(B_{1}\)
\(\frac{2}{5}\)
\(R_{2}\)
\(\frac{3}{4}\)
\(B_{2}\)
\(\frac{1}{4}\)
On suppose que chaque boule a la même chance d’être tirée. \(P(R_{1} \cap R_{2}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\). \(P(R_{2}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}\).
Relis la propriété « calculer sur un arbre ».
Après avoir tiré une rouge, combien reste-t-il de boules rouges ? de boules en tout ?
Branche \(R_{1} \to R_{2}\) : \(\frac{2}{4}\).
On suppose que chaque boule a la même chance d’être tirée. Branches du deuxième niveau : après \(R_{1}\), \(P(R_{2} | R_{1}) = \frac{2}{4}\) et \(P(B_{2} | R_{1}) = \frac{2}{4}\) ; après \(B_{1}\), \(P(R_{2} | B_{1}) = \frac{3}{4}\) et \(P(B_{2} | B_{1}) = \frac{1}{4}\). \(P(R_{1} \cap R_{2}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\). \(P(R_{2}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{3}{5}\).
- Garder \(\frac{3}{5}\) au deuxième tirage : la boule n’est pas remise.
- Additionner au lieu de multiplier le long d’un chemin.
✎ Exercice 3.4 ⟵ à faire à la maison
Même urne, mais on remet la première boule avant de tirer la deuxième. Construis l’arbre et calcule la probabilité de tirer deux boules de la même couleur.
Avec remise, les branches du deuxième niveau portent \(\frac{3}{5}\) (rouge) et \(\frac{2}{5}\) (bleue) quel que soit le premier tirage. \(P(\text{même couleur}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} + \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{9}{25} + \frac{4}{25} = \frac{13}{25}\).
Relis la propriété « calculer sur un arbre ».
Quels chemins mènent à « même couleur » ?
Avec remise, chaque tirage donne rouge avec la probabilité \(\frac{3}{5}\).
Avec remise, les branches du deuxième niveau portent \(\frac{3}{5}\) (rouge) et \(\frac{2}{5}\) (bleue), quel que soit le premier tirage. Deux chemins mènent à « même couleur » : \(P(\text{même couleur}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} + \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{9}{25} + \frac{4}{25} = \frac{13}{25}\).
- Oublier le chemin « bleue puis bleue ».