Lister avant de compter
Activité 1.2 — quatre questions, un seul groupe
Un groupe de quatre élèves : Alice, Bilal, Chloé et Dries, notés A, B, C, D. Pour chaque question, écris d’abord deux résultats possibles, puis la liste complète des résultats, organisée de façon à être sûr de n’en oublier aucun.
- Élire un délégué et un suppléant.
AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC : 12 résultats (AB : Alice déléguée, Bilal suppléant).
- Former un binôme.
{A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D}, {C, D} : 6 résultats.
- Tirer au sort, lundi puis mardi, l’élève qui efface le tableau (le même élève peut être tiré deux fois).
AA, AB, AC, AD, BA, BB, BC, BD, CA, CB, CC, CD, DA, DB, DC, DD : 16 résultats.
- Fixer l’ordre de passage des quatre élèves au tableau.
ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, puis 6 ordres commençant par B, 6 par C et 6 par D : 24 résultats.
- Pourquoi la liste a) est-elle deux fois plus longue que la liste b) ? Complète le schéma : chaque case regroupe les résultats de a) qui donnent le même binôme.
les 12 résultats de a)
AB
BA
AC
CA
AD
DA
BC
CB
BD
DB
CD
DC
Chaque binôme de b), par exemple {A, B}, donne deux résultats de a) : AB et BA. Dans a), l’ordre compte ; dans b), non. Les 12 résultats se regroupent en 6 paquets de 2 : \(12 = 6 \cdot 2\).
- Quels résultats de c) ne sont pas dans a) ? Complète le diagramme.
\(\Omega\)
12
4
AA, BB, CC et DD : en c), un même élève peut revenir ; en a), non. La liste a) est contenue dans la liste c) : \(16 = 12 + 4\).
Compter en quatre temps.
- Décrire. Écrire deux ou trois résultats possibles. Un résultat est-il une suite (l’ordre compte : AB ≠ BA) ou un groupe (l’ordre ne compte pas : {A, B} = {B, A}) ?
- Questionner. Un élément peut-il revenir (répétition) ?
- Compter. Liste organisée, arbre ou diagramme si l’ensemble est petit ; principe multiplicatif ou formule sinon.
- Contrôler. Sur un cas plus petit, lister les résultats et vérifier que le calcul donne le même nombre.
Remarque 1.1
On note une suite entre parenthèses, \((A, B)\), ou simplement AB : l’ordre compte. Un groupe est un ensemble, noté entre accolades, \(\{A, B\}\) : l’ordre ne compte pas, \(\{A, B\} = \{B, A\}\).
✎ Exercice 1.2
Écris tous les codes formés d’une lettre parmi X, Y, Z suivie d’un chiffre parmi 1, 2. Combien y en a-t-il ?
X1, X2, Y1, Y2, Z1, Z2 : 6 codes.
Relis l’activité 1.2 et le cadre « Compter en quatre temps ».
Comment organiser la liste pour être sûr de n’oublier aucun code ?
Écris d’abord tous les codes qui commencent par X : X1, X2.
On organise la liste par lettre : X1, X2, Y1, Y2, Z1, Z2. Il y a 6 codes.
- Écrire aussi les codes « chiffre puis lettre » (1X…) : l’énoncé impose la lettre en premier.
✎ Exercice 1.3 ⟵ à faire à la maison
On lance une pièce trois fois de suite et on note la suite des faces obtenues (P pour pile, F pour face). Écris la liste organisée de tous les résultats. Combien de résultats contiennent exactement deux « pile » ?
PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF : 8 résultats. Exactement deux « pile » : PPF, PFP, FPP, soit 3 résultats.
Relis l’activité 1.2 : une liste organisée par premier élément.
Combien de résultats commencent par P ? par F ?
Commence par PPP, PPF, PFP, PFF : ce sont les résultats qui commencent par P.
Un résultat est une suite de trois faces. Liste organisée par première face : PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF : 8 résultats. Exactement deux « pile » : PPF, PFP, FPP, soit 3 résultats.
- Oublier que PPF, PFP et FPP sont trois résultats différents : l’ordre des lancers compte.
- Compter PPP parmi les résultats à deux « pile » : il en contient trois.