Exercices supplémentaires

Décrire, lister, multiplier

✎ Exercice S1.1 A5 ★☆☆

Un code de casier est formé de 2 lettres (de A à Z) suivies de 3 chiffres (de 0 à 9). Combien de codes différents existe-t-il ?

Un code est une suite de 2 lettres et 3 chiffres, avec répétition : \(26^{2} \cdot 10^{3} = 676 \, 000\) codes.

Combien de choix pour chaque position ? Ce nombre dépend-il des positions précédentes ?

Lettres : \(26 \cdot 26\) ; chiffres : \(10 \cdot 10 \cdot 10\).

Un code est une suite de 2 lettres puis 3 chiffres, avec répétition. Par le principe multiplicatif : \(26^{2} \cdot 10^{3} = 676 \, 000\) codes.

  • Utiliser \(A_{26}^{2}\) : rien n’interdit deux lettres identiques.

✎ Exercice S1.2 C1 ★☆☆

Dix élèves participent à un concours. Pour chaque situation, dis si l’ordre compte, si la répétition est possible, et donne le nombre de résultats.

  1. On distribue 4 prix différents à 4 élèves distincts. b) On récompense 4 élèves par un même prix. c) On lance 4 fois un dé et on note les résultats dans l’ordre.
  1. Ordre, sans répétition : \(A_{10}^{4} = 5040\). b) Sans ordre, sans répétition : \(C_{10}^{4} = 210\). c) Ordre, répétition : \(6^{4} = 1296\).

Dans chaque cas, un résultat est-il une suite ou un groupe ? Un élément peut-il revenir ?

  1. Les prix sont différents : l’ordre d’attribution compte.
  1. Suite de 4 élèves distincts : \(A_{10}^{4} = 5040\). b) Groupe de 4 élèves : \(C_{10}^{4} = 210\). c) Suite de 4 résultats, avec répétition : \(6^{4} = 1296\).
    1. Utiliser \(A_{10}^{4}\) : avec un même prix, l’ordre des lauréats ne compte pas.

✎ Exercice S1.3 A5 ★★☆

Parmi les nombres entiers de 1 à 1 000, combien ne sont divisibles ni par 5 ni par 7 ? Représente la situation par un diagramme de Venn complété.

\(1, 2, …, 1000\)

\(F\)

\(S\)

172

28

114

686

\(F\) : multiples de 5, \(\#F = 200\). \(S\) : multiples de 7, \(\#S = 142\) (\(7 \cdot 142 = 994\)). Multiples de 35 : 28 (\(35 \cdot 28 = 980\)). \(\#(F \cup S) = 200 + 142 - 28 = 314\). Ni l’un ni l’autre : \(1000 - 314 = 686\).

« Ni par 5 ni par 7 » est le contraire de quel événement ?

Multiples de 5 et de 7 : les multiples de 35 ; \(35 \cdot 28 = 980\).

\(F\) : multiples de 5, \(\#F = 200\). \(S\) : multiples de 7, \(\#S = 142\) (\(7 \cdot 142 = 994\)). Multiples de 5 et de 7, donc de 35 : \(\#(F \cap S) = 28\). \(\#(F \cup S) = 200 + 142 - 28 = 314\). Les nombres divisibles ni par 5 ni par 7 sont hors de \(F \cup S\) : \(1000 - 314 = 686\).

  • Calculer \(1000 - 200 - 142\) : les multiples de 35 sont alors retirés deux fois.

Formules

✎ Exercice S1.4 A5 ★★☆

Un mot de passe est formé de 4 lettres minuscules (26 lettres). Combien de mots de passe contiennent au moins une lettre répétée ?

Tous les mots de passe : \(26^{4} = 456 \, 976\). Lettres toutes différentes : \(A_{26}^{4} = 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 = 358 \, 800\). Au moins une lettre répétée : \(456 \, 976 - 358 \, 800 = 98 \, 176\).

Quel est le contraire de « au moins une lettre répétée » ?

Contraire : les 4 lettres sont toutes différentes, \(A_{26}^{4}\) mots.

Tous les mots de passe : suites de 4 lettres avec répétition, \(26^{4} = 456 \, 976\). Lettres toutes différentes : \(A_{26}^{4} = 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 = 358 \, 800\). Au moins une lettre répétée : \(456 \, 976 - 358 \, 800 = 98 \, 176\).

  • Compter directement « une lettre répétée » : on oublie les mots à trois ou quatre lettres identiques, ou on en compte certains deux fois.

✎ Exercice S1.5 T1 ★★★

Défi. On tire 5 cartes d’un jeu de 52 cartes (l’ordre ne compte pas). Combien de mains contiennent exactement 2 as ?

On choisit 2 as parmi 4 : \(C_{4}^{2} = 6\) ; puis 3 cartes parmi les 48 qui ne sont pas des as : \(C_{48}^{3} = 17 \, 296\). Mains : \(6 \cdot 17 \, 296 = 103 \, 776\).

Une main se construit-elle en choisissant d’abord les as, puis les autres cartes ?

As : \(C_{4}^{2} = 6\) groupes.

On choisit 2 as parmi les 4 : \(C_{4}^{2} = 6\) ; puis 3 cartes parmi les 48 qui ne sont pas des as : \(C_{48}^{3} = 17 \, 296\). Par le principe multiplicatif, il y a \(6 \cdot 17 \, 296 = 103 \, 776\) mains.

  • Choisir les 3 autres cartes parmi 50 : on obtient alors des mains à 3 ou 4 as.

Entraînement complémentaire

✎ Exercice S1.6 A5 ★☆☆

Simplifie, puis calcule sans calculatrice : \(\frac{12!}{10!}\) ; \(\frac{6!}{3! \cdot 3!}\) ; \(\frac{100!}{98! \cdot 2!}\) ; \(\frac{(n+2)!}{n!}\).

\(\frac{12!}{10!} = 12 \cdot 11 = 132\) ; \(\frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2} = 20\) ; \(\frac{100!}{98! \cdot 2!} = \frac{100 \cdot 99}{2} = 4950\) ; \(\frac{(n+2)!}{n!} = (n+2)(n+1)\).

Quelle factorielle « contient » l’autre ?

\(12! = 12 \cdot 11 \cdot 10!\).

\(\frac{12!}{10!} = 12 \cdot 11 = 132\) ; \(\frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20\) ; \(\frac{100!}{98! \cdot 2!} = \frac{100 \cdot 99}{2} = 4950\) ; \(\frac{(n+2)!}{n!} = (n+2)(n+1)\).

  • Calculer \(100!\) à la calculatrice : le nombre est trop grand ; il faut simplifier d’abord.

✎ Exercice S1.7 A5 ★☆☆

Combien d’anagrammes des mots a) KAYAK ; b) ELEVE (sans tenir compte des accents) ; c) CASQUETTES ?

  1. K et A deux fois : \(\frac{5!}{2! \cdot 2!} = 30\). b) E trois fois : \(\frac{5!}{3!} = 20\). c) 10 lettres, S, E et T deux fois : \(\frac{10!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = 453 \, 600\).

Quelles lettres apparaissent plusieurs fois, et combien de fois ?

KAYAK : 5 lettres, K deux fois, A deux fois.

  1. \(\frac{5!}{2! \cdot 2!} = 30\). b) ELEVE : E trois fois, \(\frac{5!}{3!} = 20\). c) CASQUETTES : 10 lettres, S, E et T deux fois : \(\frac{10!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = 453 \, 600\).
  • Oublier une lettre répétée (dans CASQUETTES : S, E et T).

✎ Exercice S1.8 A5 ★★☆

  1. Sept enfants s’assoient sur une rangée de 7 chaises, mais 3 d’entre eux refusent la première place. Combien de placements sont possibles ?

  2. Six personnes montent dans une voiture à 6 places ; seules 2 d’entre elles savent conduire. Combien de placements sont possibles ?

  1. On commence par la place la plus contrainte : 4 enfants peuvent occuper la première chaise, puis on range les 6 autres : \(4 \cdot 6! = 2880\). b) 2 choix pour le siège du conducteur, puis \(5!\) pour les autres : \(2 \cdot 5! = 240\).

Quelle place faut-il remplir en premier ?

  1. Combien d’enfants acceptent la première chaise ?
  1. 4 enfants peuvent occuper la première chaise ; les 6 autres se rangent ensuite sur les 6 chaises restantes : \(4 \cdot 6! = 2880\) placements. b) 2 choix pour le siège du conducteur, puis \(5!\) placements des autres : \(2 \cdot 5! = 240\).
  • Calculer \(7! - 3\) : ce sont des placements qui sont interdits, pas des enfants.
  • Commencer par une place sans contrainte : le nombre de choix pour la place contrainte dépend alors des choix précédents.

✎ Exercice S1.9 A5 ★★☆

On range sur une étagère 6 livres de français, 3 livres de mathématiques et 4 livres de sciences, tous différents. Combien de rangements sont possibles a) sans contrainte ? b) si les livres d’une même discipline restent côte à côte ?

  1. Permutation de 13 livres : \(13! = 6 \, 227 \, 020 \, 800\). b) On range les 3 blocs (\(3!\)), puis les livres dans chaque bloc (\(6!\), \(3!\), \(4!\)) : \(3! \cdot 6! \cdot 3! \cdot 4! = 622 \, 080\).
  1. Si chaque discipline forme un bloc, combien de blocs faut-il ranger ?
  1. On range les 3 blocs, puis les livres à l’intérieur de chaque bloc.
  1. \(13! = 6 \, 227 \, 020 \, 800\) rangements. b) Ordre des blocs : \(3!\) ; dans les blocs : \(6!\), \(3!\) et \(4!\). \(3! \cdot 6! \cdot 3! \cdot 4! = 622 \, 080\) rangements.
    1. Oublier l’ordre des blocs (\(3!\)).
  • Additionner \(6! + 3! + 4!\) au lieu de multiplier.