Probabilité conditionnelle
Activité 3.1 — le Titanic
Le tableau donne le nombre de personnes à bord du Titanic selon la classe et la survie (Dawson, R. J. M. (1995). The “unusual episode” data revisited. Journal of Statistics Education, 3(3). Données de l’enquête officielle britannique de 1912).
| Survivants | Décédés | Total | |
|---|---|---|---|
| 1re classe | 203 | 122 | 325 |
| 2e classe | 118 | 167 | 285 |
| 3e classe | 178 | 528 | 706 |
| Équipage | 212 | 673 | 885 |
| Total | 711 | 1 490 | 2 201 |
On choisit au hasard une personne parmi les 2 201. On note \(S\) : « elle a survécu » et \(C\) : « elle voyageait en 1re classe ».
- Calcule \(P(S)\).
\(P(S) = \frac{711}{2201} \approx 0{,}323\).
- Parmi les passagers de 1re classe, quelle proportion a survécu ?
\(\frac{203}{325} \approx 0{,}625\).
- Parmi les survivants, quelle proportion voyageait en 1re classe ?
\(\frac{203}{711} \approx 0{,}286\).
- Les réponses b) et c) ont le même numérateur. Qu’est-ce qui change ?
La population de référence : les 325 passagers de 1re classe en b), les 711 survivants en c).
- Écris la réponse b) comme quotient de deux probabilités calculées sur les 2 201 personnes.
\(\frac{203}{325} = \frac{203 / 2201}{325 / 2201} = \frac{P(S \cap C)}{P(C)}\).
Définition 3.1 — probabilité conditionnelle
Soit \(B\) un événement tel que \(P(B) \neq 0\). La probabilité de \(A\) sachant \(B\) est
\[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}. \]
Sous l’hypothèse d’équiprobabilité, \(P(A | B) = \frac{\#(A \cap B)}{\#B}\) : on remplace l’univers \(\Omega\) par \(B\).
\(\Omega\)
\(A\)
\(B\)
Sachant \(B\), seules comptent les issues de \(B\) (zone hachurée) ; parmi elles, celles de \(A\) sont dans \(A \cap B\).
Lire une probabilité conditionnelle. « Parmi les \(B\), quelle proportion de \(A\) ? » se note \(P(A | B)\). On écrit toujours l’événement en mots avant le symbole. Beaucoup de manuels notent aussi \(P_{B} (A)\).
Remarque 3.1
En général, \(P(A | B) \neq P(B | A)\). Au Titanic, \(P(S | C) \approx 0{,}625\) alors que \(P(C | S) \approx 0{,}286\).
✎ Exercice 3.1
Au Titanic, on note \(E\) : « faire partie de l’équipage ». Écris en mots, puis calcule \(P(S | E)\) et \(P(E | S)\).
\(P(S | E)\) : parmi les membres d’équipage, proportion de survivants, \(\frac{212}{885} \approx 0{,}240\). \(P(E | S)\) : parmi les survivants, proportion de membres d’équipage, \(\frac{212}{711} \approx 0{,}298\).
Relis l’activité 3.1 et le cadre « Lire une probabilité conditionnelle ».
Pour chaque probabilité : parmi qui calcule-t-on la proportion ?
\(P(S | E)\) : parmi les 885 membres d’équipage.
\(P(S | E)\) est la probabilité qu’une personne ait survécu sachant qu’elle faisait partie de l’équipage : parmi les 885 membres d’équipage, 212 ont survécu, \(P(S | E) = \frac{212}{885} \approx 0{,}240\). \(P(E | S)\) est la probabilité qu’une personne fasse partie de l’équipage sachant qu’elle a survécu : parmi les 711 survivants, 212 étaient membres d’équipage, \(P(E | S) = \frac{212}{711} \approx 0{,}298\).
- Diviser par 2 201 : c’est \(P(S \cap E)\), pas une probabilité conditionnelle.
✎ Exercice 3.2 ⟵ à faire à la maison
Au Titanic, on note \(D\) : « voyager en 2e classe ». Calcule \(P(D)\), \(P(S | D)\) et \(P(D | S)\). Quelle probabilité répond à la question « un survivant choisi au hasard voyageait-il probablement en 2e classe ? » ?
\(P(D) = \frac{285}{2201} \approx 0{,}129\) ; \(P(S | D) = \frac{118}{285} \approx 0{,}414\) ; \(P(D | S) = \frac{118}{711} \approx 0{,}166\). La question porte sur les survivants : c’est \(P(D | S)\) ; un survivant voyageait rarement en 2e classe.
Relis la définition 3.1 et la remarque 3.1.
La question porte-t-elle sur les passagers de 2e classe ou sur les survivants ?
\(P(D | S)\) : parmi les 711 survivants.
\(P(D) = \frac{285}{2201} \approx 0{,}129\) ; \(P(S | D) = \frac{118}{285} \approx 0{,}414\) ; \(P(D | S) = \frac{118}{711} \approx 0{,}166\). La question porte sur un survivant : c’est \(P(D | S)\). Un survivant choisi au hasard voyageait en 2e classe avec une probabilité d’environ \(0{,}166\) : ce n’est pas probable.
- Répondre avec \(P(S | D)\) : on inverse la condition.