Dénombrer pour calculer
Exemple 2.6 — Lotto
Au Lotto, on coche une grille de 6 numéros parmi 45 ; 6 numéros sont tirés. Calculons la probabilité a) de cocher les 6 bons numéros ; b) d’en cocher exactement 3.
Une issue est le groupe des 6 numéros tirés : \(\#\Omega = C_{45}^{6} = 8 \, 145 \, 060\) tirages, que l’on suppose équiprobables.
Un seul tirage est favorable : \(P(\text{6 bons numéros}) = \frac{1}{8 \, 145 \, 060}\).
On choisit 3 numéros parmi les 6 cochés et 3 parmi les 39 non cochés : \(C_{6}^{3} \cdot C_{39}^{3} = 20 \cdot 9139 = 182 \, 780\) tirages favorables. \(P(\text{exactement 3 bons numéros}) = \frac{182 \, 780}{8 \, 145 \, 060} \approx 0{,}0224\), environ une chance sur 45.
nombre de bons numéros d’une grille
Exemple 2.7 — anniversaires
Dans une classe de 25 élèves, quelle est la probabilité qu’au moins deux élèves aient le même anniversaire ? On suppose les 365 jours équiprobables et on ignore le 29 février.
Une issue est la suite des 25 anniversaires : \(\#\Omega = 365^{25}\). Contraire « tous différents » : \(A_{365}^{25}\) suites. \(P(\text{au moins deux anniversaires communs}) = 1 - \frac{A_{365}^{25}}{365^{25}} \approx 0{,}569\). C’est plus d’une chance sur deux.
classe de 25 élèves
✎ Exercice 2.14
Au Lotto (6 numéros tirés parmi 45), quelle est la probabilité que le numéro 7 soit tiré ?
On suppose les \(C_{45}^{6}\) tirages équiprobables. Tirages contenant le 7 : on choisit les 5 autres numéros parmi 44, \(C_{44}^{5}\). \(P(\text{le 7 est tiré}) = \frac{C_{44}^{5}}{C_{45}^{6}} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}\).
Relis l’exemple 2.6.
Parmi les tirages, lesquels contiennent le 7 ? Que reste-t-il à choisir ?
Tirages contenant le 7 : \(C_{44}^{5}\).
Une issue est le groupe des 6 numéros tirés ; on suppose les \(C_{45}^{6}\) tirages équiprobables. Les tirages contenant le 7 s’obtiennent en choisissant les 5 autres numéros parmi 44 : \(C_{44}^{5}\). Donc \(P(\text{le 7 est tiré}) = \frac{C_{44}^{5}}{C_{45}^{6}} = \frac{\frac{44!}{5! \cdot 39!}}{\frac{45!}{6! \cdot 39!}} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}\).
- Répondre \(\frac{1}{45}\) : six numéros sont tirés, pas un seul.
✎ Exercice 2.15 ⟵ à faire à la maison
Reprends le problème des anniversaires pour une classe de 20 élèves.
On suppose les 365 jours équiprobables. \(P(\text{au moins deux anniversaires communs}) = 1 - \frac{A_{365}^{20}}{365^{20}} \approx 0{,}411\).
Relis l’exemple 2.7.
Quel est le contraire de « au moins deux ont le même anniversaire » ?
Tous différents : \(A_{365}^{20}\) suites sur \(365^{20}\).
On suppose les 365 jours équiprobables. Une issue est la suite des 20 anniversaires : \(\#\Omega = 365^{20}\). Contraire « tous différents » : \(A_{365}^{20}\) suites. \(P(\text{au moins deux anniversaires communs}) = 1 - \frac{A_{365}^{20}}{365^{20}} \approx 0{,}411\).
- Calculer \(\frac{20}{365}\) : c’est sans rapport avec la question posée.
✎ Exercice 2.16
Défi. Un comité de 5 personnes est tiré au sort parmi 8 filles et 6 garçons. Quelle est la probabilité qu’il compte exactement 3 filles ?
Une issue est un groupe de 5 personnes parmi 14 : \(C_{14}^{5} = 2002\) groupes, supposés équiprobables. Groupes de 3 filles et 2 garçons : \(C_{8}^{3} \cdot C_{6}^{2} = 56 \cdot 15 = 840\) (exercice 1.15). \(P(\text{exactement 3 filles}) = \frac{840}{2002} \approx 0{,}420\).
Relis l’exercice 1.15 et la règle de Laplace.
Combien de comités possibles en tout ? Combien comptent 3 filles ?
En tout : \(C_{14}^{5} = 2002\) comités.
Une issue est un groupe de 5 personnes parmi 14 : \(C_{14}^{5} = 2002\) groupes, supposés équiprobables. Groupes de 3 filles et 2 garçons : \(C_{8}^{3} \cdot C_{6}^{2} = 56 \cdot 15 = 840\). \(P(\text{exactement 3 filles}) = \frac{840}{2002} \approx 0{,}420\).
- Prendre \(\frac{8}{14}\) (proportion de filles) : ce n’est pas la probabilité d’avoir exactement 3 filles.
✎ Exercice 2.17
Jouer 1-2-3-4-5-6 au Lotto, est-ce moins probable que de jouer une autre grille ?
Non. Si le tirage se fait au hasard, les \(C_{45}^{6}\) tirages sont équiprobables : chaque grille a la même probabilité, \(\frac{1}{8 \, 145 \, 060}\).
Relis l’exemple 2.6.
Si le tirage se fait au hasard, une grille a-t-elle plus de chances qu’une autre ?
Chaque tirage est une issue de l’univers, supposée équiprobable.
Non. Si le tirage se fait au hasard, les \(C_{45}^{6} = 8 \, 145 \, 060\) tirages sont équiprobables : la grille 1-2-3-4-5-6 a la même probabilité que toute autre, \(\frac{1}{8 \, 145 \, 060}\).
- Confondre « une grille régulière » et « l’ensemble des grilles qui paraissent aléatoires », qui est bien plus grand.
✎ Exercice 2.18
Trouve l’erreur. Chaque réponse ci-dessous est fausse. Explique l’erreur, puis corrige.
« On lance deux dés équilibrés. Il y a 11 sommes possibles, donc \(P(\text{somme} = 3) = \frac{1}{11}\). »
« On tire une carte d’un jeu de 52 cartes. \(A\) : « tirer une carte rouge » ; \(B\) : « tirer une figure (valet, dame ou roi) ». \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{26}{52} + \frac{12}{52} = \frac{38}{52}\). »
- Les 11 sommes ne sont pas équiprobables. On suppose les 36 couples équiprobables ; 3 s’obtient avec (1, 2) et (2, 1) : \(P(\text{somme} = 3) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}\). b) \(A\) et \(B\) ne sont pas disjoints : les 6 figures rouges sont comptées deux fois. \(P(A \cup B) = \frac{26}{52} + \frac{12}{52} - \frac{6}{52} = \frac{32}{52} = \frac{8}{13}\).
Relis la remarque 2.1 et les propriétés des probabilités.
- Les 11 sommes ont-elles la même chance ? b) Une carte peut-elle être rouge et une figure ?
- Compte les figures rouges : valet, dame et roi de cœur et de carreau.
- Les 11 sommes ne sont pas équiprobables. On suppose les 36 couples équiprobables ; 3 s’obtient avec (1, 2) et (2, 1) : \(P(\text{somme} = 3) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}\). b) \(A\) et \(B\) ne sont pas disjoints : les 6 figures rouges sont comptées deux fois. \(P(A \cup B) = \frac{26}{52} + \frac{12}{52} - \frac{6}{52} = \frac{32}{52} = \frac{8}{13}\).
- Retirer 12 ou 26 au lieu des 6 cartes communes.