Le modèle d’équiprobabilité
Activité 2.3 — prévoir la somme de deux dés
À l’activité 2.1, on a observé les fréquences des sommes de deux dés. On cherche maintenant à les prévoir par un raisonnement.
On distingue les dés : un rouge et un blanc. Complète le tableau des sommes.
| rouge \ blanc | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
- Combien de couples (rouge, blanc) ? Combien donnent 7 ?
\(6 \cdot 6 = 36\) couples, dont 6 donnent 7 : (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1).
- Pourquoi la réponse « 1 chance sur 11 » est-elle fausse ?
Les 36 couples ont la même chance si les dés sont équilibrés, mais pas les 11 sommes : 2 ne s’obtient que d’une façon, 7 de six façons. La probabilité d’obtenir 7 vaut \(\frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).
- Calcule la probabilité de chaque somme et compare-la aux fréquences de la classe (activité 2.1). Sur le site, coche « probabilités calculées » dans le relevé.
On note \(S_{k}\) l’événement « la somme vaut \(k\) ». En lisant les diagonales du tableau : \(P(S_{2}) = P(S_{12}) = \frac{1}{36}\), \(P(S_{3}) = P(S_{11}) = \frac{2}{36}\), \(P(S_{4}) = P(S_{10}) = \frac{3}{36}\), \(P(S_{5}) = P(S_{9}) = \frac{4}{36}\), \(P(S_{6}) = P(S_{8}) = \frac{5}{36}\), \(P(S_{7}) = \frac{6}{36}\). Les fréquences de la classe en sont proches, et d’autant plus que le nombre de lancers est grand.
somme de deux dés
Définition 2.3 — probabilité a priori (règle de Laplace)
Si l’on suppose que toutes les issues d’un univers fini \(\Omega\) ont la même probabilité (hypothèse d’équiprobabilité), la probabilité d’un événement \(A\) vaut
\[ P(A) = \frac{\#A}{\#\Omega} = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre d'issues possibles}}. \]
Remarque 2.1
L’équiprobabilité est une hypothèse de modélisation. On la justifie (symétrie du dé, tirage « au hasard ») et on l’écrit dans la solution : « on suppose que… ». Elle porte sur des issues bien choisies : ici les 36 couples, pas les 11 sommes.
Rédiger une réponse. Une réponse complète suit quatre étapes.
- Issue. Décrire une issue et l’univers : « une issue est la suite des deux résultats ; \(\#\Omega = 36\) ».
- Hypothèse. Écrire le modèle : « on suppose les 36 couples équiprobables ».
- Événement. Nommer l’événement en mots et, si besoin, par une lettre : « \(S_{7}\) : la somme vaut 7 ».
- Calcul. Écrire \(P(S_{7})\), la formule, puis le résultat : \(P(S_{7}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).
Et si les issues ne sont pas équiprobables ? On donne à chaque issue sa probabilité.
Définition 2.4 — probabilité sur un univers fini
Soit \(\Omega = \{\omega_{1}, \omega_{2}, …, \omega_{n}\}\) un univers fini. Définir une probabilité sur \(\Omega\), c’est associer à chaque issue \(\omega_{i}\) un nombre \(p_{i}\), sa probabilité, de sorte que
\[ p_{i} \geq 0 \quad \text{et} \quad p_{1} + p_{2} + \cdots + p_{n} = 1. \]
La probabilité d’un événement \(A\) est alors la somme des probabilités des issues de \(A\). Si toutes les issues ont la même probabilité, chaque \(p_{i}\) vaut \(\frac{1}{n}\) et l’on retrouve la règle de Laplace : \(P(A) = \#A \cdot \frac{1}{n} = \frac{\#A}{\#\Omega}\).
Exemple 2.3 — des issues non équiprobables… qu’on peut rendre équiprobables
Somme de deux dés. Prenons comme univers les onze sommes : \(\Omega = \{2, 3, …, 12\}\). Les issues ne sont pas équiprobables : \(P(\text{somme} = 2) = \frac{1}{36}\), \(P(\text{somme} = 7) = \frac{6}{36}\)… Pour l’événement \(A\) : « la somme vaut au moins 10 », \(P(A) = P(\text{somme} = 10) + P(\text{somme} = 11) + P(\text{somme} = 12) = \frac{3}{36} + \frac{2}{36} + \frac{1}{36} = \frac{6}{36}\). Ces probabilités viennent d’un univers plus grand, celui des 36 couples, où les issues sont équiprobables : chaque somme regroupe plusieurs couples.
Dé truqué. Un dé donne 6 avec la probabilité \(\frac{1}{3}\) et chacune des autres faces avec la probabilité \(\frac{2}{15}\) : \(\frac{1}{3} + 5 \cdot \frac{2}{15} = 1\). C’est le même modèle qu’un dé équilibré à 15 faces, dont 5 portent le nombre 6 et 2 portent chacun des nombres 1 à 5 : les 15 faces sont équiprobables et \(P(\text{obtenir 6}) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\).
Quand les probabilités des issues sont des fractions, on peut toujours se ramener ainsi à des issues équiprobables, quitte à agrandir l’univers (on réduit les fractions au même dénominateur). Quand on ne connaît les probabilités que par des fréquences observées (la proportion de garçons à la naissance, par exemple), on utilise directement la définition 2.4 avec ces probabilités estimées.
Exemple 2.4 — le problème du duc de Toscane
Avec trois dés, 9 et 10 s’obtiennent chacun de six façons si l’on ne tient pas compte de l’ordre. Pour 9 : 1+2+6, 1+3+5, 1+4+4, 2+2+5, 2+3+4, 3+3+3 ; pour 10 : 1+3+6, 1+4+5, 2+2+6, 2+3+5, 2+4+4, 3+3+4. Pourtant, les joueurs constataient que 10 sort plus souvent. Galilée l’a expliqué.
Avec des dés distingués, on suppose les \(6^{3} = 216\) suites équiprobables. Une somme sans ordre correspond à 6, 3 ou 1 suites selon que les trois nombres sont tous différents, deux égaux ou tous égaux.
- Pour 9 : \(6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25\) suites, donc \(P(\text{somme} = 9) = \frac{25}{216} \approx 0{,}116\).
- Pour 10 : \(6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27\) suites, donc \(P(\text{somme} = 10) = \frac{27}{216} = 0{,}125\).
10 est donc un peu plus probable que 9.
somme de trois dés
✎ Exercice 2.7
On lance deux dés équilibrés. Calcule la probabilité d’obtenir a) une somme d’au moins 10 ; b) un double ; c) au moins un 6.
On suppose les 36 couples équiprobables. a) (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6) : \(P(\text{somme} \geq 10) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\). b) 6 doubles : \(P(\text{double}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\). c) Aucun 6 : \(5 \cdot 5 = 25\) couples, donc au moins un 6 : \(36 - 25 = 11\) couples, \(P(\text{au moins un 6}) = \frac{11}{36}\).
Relis l’activité 2.3 et la règle de Laplace.
Quelles sont les issues équiprobables : les sommes ou les couples ?
- Compte d’abord les couples qui ne contiennent aucun 6 : \(5 \cdot 5\).
On distingue les dés et on suppose les 36 couples équiprobables. a) Somme d’au moins 10 : (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6), donc \(P(\text{somme} \geq 10) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\). b) Doubles : (1, 1), …, (6, 6), donc \(P(\text{double}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\). c) Aucun 6 : \(5 \cdot 5 = 25\) couples. \(P(\text{au moins un 6}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}\).
- Répondre \(\frac{2}{6}\) ou \(\frac{12}{36}\) : le couple (6, 6) est compté deux fois.
✎ Exercice 2.8 ⟵ à faire à la maison
Une famille a trois enfants. On suppose qu’à chaque naissance, fille et garçon ont la même probabilité, indépendamment des autres naissances. Quelle est la probabilité d’avoir exactement deux garçons ? Pourquoi la réponse \(\frac{1}{4}\) (« 3, 2, 1 ou 0 garçon ») est-elle fausse ?
Issues équiprobables : les 8 suites GGG, GGF, GFG, FGG, GFF, FGF, FFG, FFF. Deux garçons : GGF, GFG, FGG, donc \(P(\text{exactement deux garçons}) = \frac{3}{8}\). Les quatre compositions ne sont pas équiprobables : elles correspondent à 1, 3, 3 et 1 suites.
Relis la remarque 2.1 : l’équiprobabilité porte sur des issues bien choisies.
Les issues « 0, 1, 2 ou 3 garçons » ont-elles la même probabilité ?
Écris les 8 suites possibles (GGG, GGF…).
On suppose les 8 suites GGG, GGF, GFG, FGG, GFF, FGF, FFG, FFF équiprobables. Exactement deux garçons : GGF, GFG, FGG, donc \(P(\text{exactement deux garçons}) = \frac{3}{8}\). La réponse \(\frac{1}{4}\) suppose équiprobables les quatre compositions « 3, 2, 1, 0 garçon » ; or elles correspondent à 1, 3, 3 et 1 suites.
- Appliquer la règle de Laplace à des issues qui ne sont pas équiprobables.