Additionner, multiplier
Activité 1.3 — un arbre pour compter
On reprend la question d) de l’activité 1.2 : l’ordre de passage des quatre élèves. Voici le début de l’arbre des ordres qui commencent par A.
A
B
C
D
D
C
C
B
D
D
B
D
B
C
C
B
B (idem)
C (idem)
D (idem)
- Combien de branches partent de la racine ? de chaque nœud du deuxième niveau ? du troisième ?
4 branches, puis 3 depuis chaque nœud du deuxième niveau, puis 2, puis 1.
- Pourquoi le nombre d’ordres est-il un produit ?
À chaque étape, le nombre de choix est le même pour toutes les branches : 4, puis 3, puis 2, puis 1. L’arbre a donc \(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\) feuilles, et chaque feuille est un ordre différent.
Propriété 1.1 — principe multiplicatif
Si un résultat se construit en \(k\) étapes successives, avec
- \(n_{1}\) choix possibles à la première étape,
- \(n_{2}\) choix possibles à la deuxième étape, quel que soit le choix fait à la première,
- …, \(n_{k}\) choix possibles à la \(k\)-ième étape, quels que soient les choix précédents,
et si deux suites de choix différentes donnent deux résultats différents, alors le nombre de résultats vaut
\[ n_{1} \cdot n_{2} \cdot \cdots \cdot n_{k}. \]
Exemple 1.1 — plaques belges
Les plaques d’immatriculation belges de la série 1 (mises en circulation à partir de 2010) ont le format 1-ABC-123 : trois lettres, puis un nombre de 001 à 999. La presse annonçait « plus de 17,5 millions de combinaisons possibles » (RTBF (21/12/2020). Les nouvelles plaques d’immatriculation débutant par 2 seront sur les routes fin janvier). Vérifions.
Une plaque est une suite de trois lettres (l’ordre compte, une lettre peut revenir) suivie d’un nombre de 001 à 999. Chaque étape offre toujours le même nombre de choix : 26, 26, 26, puis 999. Par le principe multiplicatif, il y a \(26 \cdot 26 \cdot 26 \cdot 999 = 17 \, 558 \, 424\) plaques : un peu plus de 17,5 millions.
Remarque 1.2
Les choix peuvent changer d’une branche à l’autre ; c’est leur nombre qui doit rester le même. Nombres de trois chiffres distincts : 9 choix pour les centaines (pas 0), puis 9 pour les dizaines (0 redevient possible, mais pas le chiffre des centaines), puis 8 pour les unités : \(9 \cdot 9 \cdot 8 = 648\).
La dernière condition du principe compte aussi. Pour former un binôme, « 4 choix pour le premier élève, puis 3 pour le second » donne \(4 \cdot 3 = 12\) ; mais choisir A puis B et choisir B puis A donnent le même binôme {A, B}. Deux suites de choix différentes donnent ici le même résultat : chaque binôme est compté deux fois, et il y en a \(\frac{12}{2} = 6\) (activité 1.2).
Quand les résultats se répartissent en plusieurs cas, on compte chaque cas, puis on rassemble. Un diagramme montre si les cas se recouvrent.
Activité 1.4 — compter une réunion
Parmi les nombres entiers de 1 à 100, on note \(A\) l’ensemble des multiples de 2 et \(B\) l’ensemble des multiples de 3.
- Calcule \(\#A\), \(\#B\) et le nombre de multiples de 6. Que représentent ces derniers dans le diagramme ?
\(\#A = 50\) ; \(\#B = 33\) (\(3 \cdot 33 = 99\)) ; multiples de 6 : 16 (\(6 \cdot 16 = 96\)). Ce sont les nombres qui sont à la fois dans \(A\) et dans \(B\) : l’intersection \(A \cap B\).
- Complète le diagramme avec le nombre d’éléments de chaque zone.
\(1, 2, …, 100\)
\(A\)
\(B\)
34
16
17
33
- Combien de nombres de 1 à 100 sont multiples de 2 ou de 3 ? Pourquoi \(50 + 33\) est-il faux ?
\(34 + 16 + 17 = 67\). Dans \(50 + 33 = 83\), les 16 multiples de 6 sont comptés deux fois : une fois dans \(A\), une fois dans \(B\). Donc \(\#(A \cup B) = 50 + 33 - 16 = 67\).
Propriété 1.2 — principe additif
Pour deux ensembles finis \(A\) et \(B\) :
\[ \#(A \cup B) = \#A + \#B - \#(A \cap B). \]
Si \(A\) et \(B\) n’ont aucun élément commun (\(A \cap B = \emptyset\)), alors \(\#(A \cup B) = \#A + \#B\) : on additionne les cas.
Propriété 1.3 — compter par le complémentaire
Si \(A\) est une partie d’un ensemble fini \(E\), le nombre d’éléments de \(E\) qui ne sont pas dans \(A\) vaut \(\#E - \#A\).
\(E\)
\(A\)
C’est utile pour compter les résultats qui contiennent « au moins un » élément d’un certain type : on compte tout, puis on retire ceux qui n’en contiennent « aucun ».
Exemple 1.2 — au moins un zéro
Combien de codes PIN à 4 chiffres (de 0000 à 9999) contiennent au moins un 0 ?
Un code est une suite de 4 chiffres, avec répétition : il y en a \(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10 \, 000\). Les codes sans aucun 0 ont 9 choix à chaque position : \(9^{4} = 6561\). Il y a donc \(10 \, 000 - 6561 = 3439\) codes contenant au moins un 0.
✎ Exercice 1.4
Pour s’habiller, Mehdi choisit un pull parmi 3 et un pantalon parmi 2. Construis l’arbre des tenues possibles et donne leur nombre.
L’arbre a 3 branches (les pulls), puis 2 branches depuis chaque pull (les pantalons) : \(3 \cdot 2 = 6\) tenues.
Relis l’activité 1.3 et le principe multiplicatif.
Combien de branches partent de la racine ? de chaque pull ?
Première étape : 3 branches (les pulls). Chaque pull porte ensuite 2 branches.
Une tenue est un couple (pull, pantalon). L’arbre a 3 branches au premier niveau et 2 branches depuis chaque pull ; le nombre de pantalons ne dépend pas du pull choisi. Par le principe multiplicatif, il y a \(3 \cdot 2 = 6\) tenues.
- Additionner \(3 + 2\) : on choisit un pull et un pantalon, pas l’un ou l’autre.
✎ Exercice 1.5
Parmi les nombres entiers de 1 à 60, combien sont multiples de 4 ou de 6 ? Représente la situation par un diagramme de Venn complété.
\(1, 2, …, 60\)
\(Q\)
\(S\)
10
5
5
40
Multiples de 4 : \(\#Q = 15\). Multiples de 6 : \(\#S = 10\). Multiples des deux, c’est-à-dire de 12 : 5. Donc \(\#(Q \cup S) = 15 + 10 - 5 = 20\).
Relis l’activité 1.4 et le principe additif.
Quels nombres sont à la fois multiples de 4 et de 6 ?
Les multiples communs de 4 et de 6 sont les multiples de 12 : 12, 24, 36, 48, 60.
\(Q\) : multiples de 4 ; \(\#Q = 15\) (\(4 \cdot 15 = 60\)). \(S\) : multiples de 6 ; \(\#S = 10\). Les multiples de 4 et de 6 sont les multiples de 12 : \(\#(Q \cap S) = 5\). Par le principe additif, \(\#(Q \cup S) = 15 + 10 - 5 = 20\). Dans le diagramme : \(Q\) seulement 10, \(Q \cap S\) 5, \(S\) seulement 5, hors des deux 40.
- Répondre \(15 + 10 = 25\) : les multiples de 12 sont comptés deux fois.
- Prendre les multiples de 24 (\(4 \cdot 6\)) comme multiples communs : 12 est déjà multiple de 4 et de 6.
✎ Exercice 1.6 ⟵ à faire à la maison
Un cadenas a trois roues portant chacune les chiffres de 0 à 9. Combien de codes possèdent au moins un 7 ?
Codes : \(10^{3} = 1000\). Codes sans 7 : \(9^{3} = 729\). Codes avec au moins un 7 : \(1000 - 729 = 271\).
Relis la propriété « compter par le complémentaire » et l’exemple 1.2.
Est-il plus simple de compter les codes avec au moins un 7, ou ceux sans aucun 7 ?
Codes sans aucun 7 : chaque roue a 9 chiffres possibles.
Un code est une suite de 3 chiffres, avec répétition : \(10^{3} = 1000\) codes. Codes sans aucun 7 : \(9^{3} = 729\). Par le complémentaire, \(1000 - 729 = 271\) codes contiennent au moins un 7.
- Calculer \(3 \cdot 10 \cdot 10\) en plaçant « un 7 » sur chaque roue : les codes à deux ou trois 7 sont comptés plusieurs fois.
✎ Exercice 1.7
Défi. Combien existe-t-il de nombres pairs de trois chiffres distincts ? Indication : distingue deux cas selon le chiffre des unités et représente-les dans un diagramme.
nombres pairs à chiffres distincts
\(Z\)
\(Q\)
72
256
(\(Z\) : chiffre des unités 0 ; \(Q\) : chiffre des unités 2, 4, 6 ou 8.)
On commence par les unités, qui imposent la parité. Unités 0 : 9 choix pour les centaines, 8 pour les dizaines : \(9 \cdot 8 = 72\). Unités 2, 4, 6 ou 8 (4 choix) : 8 choix pour les centaines (ni 0, ni le chiffre des unités), puis 8 pour les dizaines : \(4 \cdot 8 \cdot 8 = 256\). Les deux cas n’ont aucun nombre commun : \(72 + 256 = 328\).
Relis la remarque 1.2 (nombres à chiffres distincts) et le principe additif.
Par quel chiffre vaut-il mieux commencer : les centaines ou les unités ?
Si les unités valent 0, il reste 9 choix pour les centaines et 8 pour les dizaines.
On commence par les unités, qui imposent la parité, et on distingue deux cas sans nombre commun.
- Unités 0 : 9 choix pour les centaines (1 à 9), puis 8 pour les dizaines : \(9 \cdot 8 = 72\).
- Unités 2, 4, 6 ou 8 (4 choix) : 8 choix pour les centaines (ni 0, ni le chiffre des unités), puis 8 pour les dizaines : \(4 \cdot 8 \cdot 8 = 256\).
Il y a \(72 + 256 = 328\) nombres pairs de trois chiffres distincts.
- Calculer \(9 \cdot 9 \cdot 5\) : le nombre de choix pour les unités dépend alors des chiffres déjà utilisés (0, pair ou non).
- Oublier que 0 est interdit aux centaines, mais permis aux unités.