Univers et événements
Définition 2.2 — expérience aléatoire, issue, événement
- Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude.
- Chaque résultat possible est une issue (ou épreuve).
- L’ensemble de toutes les issues est l’univers, noté \(\Omega\). Le programme dit aussi catégorie d’épreuves.
- Un événement est une partie de \(\Omega\). Il est réalisé si l’issue obtenue lui appartient.
Exemple 2.2 — un dé
On lance un dé et on note le nombre obtenu : \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). L’événement \(A\) « obtenir un nombre pair » est \(A = \{2, 4, 6\}\) ; l’événement \(B\) « obtenir au moins 5 » est \(B = \{5, 6\}\).
| En mots | Notation | Avec le dé |
|---|---|---|
| événement élémentaire | \(\{\omega\}\) | \(\{3\}\) |
| événement certain | \(\Omega\) | « obtenir au plus 6 » |
| événement impossible | \(\emptyset\) | « obtenir 7 » |
| contraire de \(A\) (non \(A\)) | \(\overline{A}\) | \(\{1, 3, 5\}\) |
| \(A\) et \(B\) | \(A \cap B\) | \(\{6\}\) |
| \(A\) ou \(B\) (au moins l’un des deux) | \(A \cup B\) | \(\{2, 4, 5, 6\}\) |
| \(A\) mais pas \(B\) | \(A \setminus B\) | \(\{2, 4\}\) |
| \(A\) et \(B\) disjoints (incompatibles) | \(A \cap B = \emptyset\) | \(\{1\}\) et \(B\) |
Activité 2.2 — représenter des événements
Dans chaque diagramme, hachure la zone qui représente l’événement indiqué, puis traduis-le en mots pour le dé de l’exemple 2.2.
- \(A \cup B\)
\(\Omega\)
\(A\)
\(B\)
- \(A \cap B\)
\(\Omega\)
\(A\)
\(B\)
- \(A \setminus B\)
\(\Omega\)
\(A\)
\(B\)
- \(\overline{A}\)
\(\Omega\)
\(A\)
\(B\)
- « obtenir un nombre pair ou au moins 5 » : \(\{2, 4, 5, 6\}\). b) « obtenir un nombre pair et au moins 5 » : \(\{6\}\). c) « obtenir un nombre pair, mais pas au moins 5 » : \(\{2, 4\}\). d) « obtenir un nombre impair » : \(\{1, 3, 5\}\).
✎ Exercice 2.4
On tire une carte d’un jeu de 52 cartes. Donne le nombre d’issues. Cite deux événements disjoints, un événement et son contraire, un événement certain et un événement impossible.
\(\#\Omega = 52\). Par exemple : « tirer un cœur » et « tirer un pique » sont disjoints ; « tirer une carte rouge » a pour contraire « tirer une carte noire » ; « tirer une carte » est certain ; « tirer le 11 de trèfle » est impossible.
Relis la définition 2.2 et le tableau de l’exemple 2.2.
Deux événements disjoints peuvent-ils être réalisés en même temps ?
« Tirer un cœur » et « tirer un pique » : une carte ne peut pas être les deux.
L’univers contient les 52 cartes : \(\#\Omega = 52\). Par exemple :
- « tirer un cœur » et « tirer un pique » sont disjoints ;
- « tirer une carte rouge » a pour contraire « tirer une carte noire » ;
- « tirer une carte du jeu » est certain ; « tirer le 11 de trèfle » est impossible.
- Donner « tirer un cœur » et « tirer un roi » comme disjoints : le roi de cœur est dans les deux.
- Donner « tirer un cœur » comme contraire de « tirer un pique » : un carreau n’est ni l’un ni l’autre.
✎ Exercice 2.5
On choisit un élève au hasard dans l’école. \(F\) : « l’élève fait du football » ; \(M\) : « l’élève fait de la musique ». Écris en mots les événements \(F \cap M\), \(F \cup M\), \(M \setminus F\) et \(\overline{F \cup M}\), puis hachure \(M \setminus F\).
\(\Omega\)
\(F\)
\(M\)
\(F \cap M\) : « l’élève fait du football et de la musique ». \(F \cup M\) : « l’élève fait du football ou de la musique (au moins l’un des deux) ». \(M \setminus F\) : « l’élève fait de la musique, mais pas de football ». \(\overline{F \cup M}\) : « l’élève ne fait ni football ni musique ».
Relis le tableau de l’exemple 2.2 et l’activité 2.2.
Que signifie « et » ? « ou » ? « mais pas » ?
\(M \setminus F\) : dans \(M\), en dehors de \(F\).
- \(F \cap M\) : « l’élève fait du football et de la musique ».
- \(F \cup M\) : « l’élève fait du football ou de la musique (au moins l’un des deux) ».
- \(M \setminus F\) : « l’élève fait de la musique, mais pas de football ».
- \(\overline{F \cup M}\) : « l’élève ne fait ni football ni musique ».
On hachure la partie de \(M\) qui n’est pas dans \(F\).
- Lire « ou » comme « l’un ou l’autre, mais pas les deux » : \(F \cup M\) contient \(F \cap M\).
✎ Exercice 2.6 ⟵ à faire à la maison
On lance un dé. \(A\) : « obtenir un nombre pair » ; \(B\) : « obtenir au moins 3 » ; \(C\) : « obtenir 6 ». Écris en extension \(A \cap B\), \(B \setminus A\), \(\overline{B}\) et \(A \cap \overline{C}\). Représente \(A\), \(B\), \(C\) dans un diagramme où chaque issue est placée dans sa zone.
\(\Omega\)
\(A\)
\(B\)
\(C\)
2
4
3, 5
6
1
\(A \cap B = \{4, 6\}\) ; \(B \setminus A = \{3, 5\}\) ; \(\overline{B} = \{1, 2\}\) ; \(A \cap \overline{C} = \{2, 4\}\). Dans le diagramme : 6 est dans les trois ensembles, 4 dans \(A\) et \(B\), 2 dans \(A\) seulement, 3 et 5 dans \(B\) seulement, 1 hors des trois.
Relis le tableau de l’exemple 2.2.
Où se place chaque issue de 1 à 6 : dans quels ensembles ?
\(A = \{2, 4, 6\}\), \(B = \{3, 4, 5, 6\}\), \(C = \{6\}\).
\(A = \{2, 4, 6\}\), \(B = \{3, 4, 5, 6\}\), \(C = \{6\}\). \(A \cap B = \{4, 6\}\) ; \(B \setminus A = \{3, 5\}\) ; \(\overline{B} = \{1, 2\}\) ; \(A \cap \overline{C} = \{2, 4\}\). Diagramme : 6 dans les trois ensembles, 4 dans \(A\) et \(B\) seulement, 2 dans \(A\) seulement, 3 et 5 dans \(B\) seulement, 1 hors des trois.
- Écrire \(B = \{4, 5, 6\}\) : « au moins 3 » contient 3.