Choisir une méthode

Situations de référence. On décrit un résultat, puis on se pose deux questions.

L’ordre compte (suite) L’ordre ne compte pas (groupe)
Répétition possible \(n^{p}\) hors programme
Sans répétition \(A_{n}^{p}\) ; si \(p = n\) : \(n!\) \(C_{n}^{p}\)

Permutations avec répétition (objets identiques à ranger, anagrammes) : \(\frac{n!}{k_{1} ! \cdots k_{r} !}\). Plusieurs cas sans élément commun : on additionne. « Au moins un » : tout moins « aucun ».

Remarque 1.5

Erreurs fréquentes, à vérifier avant de rendre une réponse :

  • erreur d’ordre : utiliser \(A_{n}^{p}\) pour des groupes, ou \(C_{n}^{p}\) pour des suites ;
  • erreur de répétition : oublier qu’un élément peut revenir, ou l’autoriser à tort ;
  • erreur d’objets : confondre ce que l’on choisit (les élèves ? les places ? les boîtes ?) ;
  • liste non organisée : oublis ou doublons ; organiser par premier élément.

✎ Exercice 1.21 C1 ★☆☆

Pour chaque situation, dis si l’ordre compte, si la répétition est possible, et donne la formule qui compte les résultats.

  1. Les trois premiers d’une course de 12 coureurs, dans l’ordre. b) Quatre livres à emporter en vacances parmi dix. c) Le code d’un cadenas à trois roues de chiffres (de 0 à 9). d) L’ordre de cinq livres sur une étagère. e) L’ordre de 3 boules rouges et 2 boules blanches (identiques par couleur) alignées.
  1. Ordre, sans répétition : \(A_{12}^{3} = 1320\). b) Sans ordre, sans répétition : \(C_{10}^{4} = 210\). c) Ordre, répétition : \(10^{3} = 1000\). d) Permutation : \(5! = 120\). e) Permutation avec répétition : \(\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10\).

Pour chaque situation, écris deux résultats : sont-ils différents si on les écrit dans l’autre ordre ?

  1. Le podium (A, B, C) diffère de (B, A, C) : l’ordre compte.
  1. L’ordre compte, sans répétition : \(A_{12}^{3} = 1320\). b) L’ordre ne compte pas, sans répétition : \(C_{10}^{4} = 210\). c) L’ordre compte, avec répétition : \(10^{3} = 1000\). d) On range les 5 livres : permutation, \(5! = 120\). e) On range 5 boules dont 3 identiques et 2 identiques : permutation avec répétition, \(\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10\).
    1. Oublier qu’un chiffre peut revenir (code 007).
    1. Répondre \(5! = 120\) : échanger deux boules de même couleur ne change pas l’alignement.

✎ Exercice 1.22 C1 ★★☆

Sans calculer, associe à chaque situation la formule qui convient : \(5^{3}\), \(A_{5}^{3}\), \(C_{5}^{3}\), \(C_{6}^{3}\).

  1. Ranger 3 lettres différentes dans 5 boîtes, au plus une lettre par boîte. b) Choisir 3 élèves parmi 6 pour former l’équipe « rouge » ; les autres forment l’équipe « bleue ». c) Poster 3 lettres différentes, chacune dans l’une de 5 boîtes aux lettres (une boîte peut en recevoir plusieurs). d) Colorier en noir 3 cases d’une rangée de 5 cases.
  1. \(A_{5}^{3} = 60\) : on choisit, dans l’ordre des lettres, une boîte distincte pour chacune. b) \(C_{6}^{3} = 20\) : un groupe de 3 élèves. c) \(5^{3} = 125\) : chaque lettre a 5 choix, une boîte peut revenir. d) \(C_{5}^{3} = 10\) : un groupe de 3 cases.

Dans chaque situation, qu’est-ce qu’on choisit : des boîtes, des élèves, des cases ? Pour chaque lettre ?

  1. Pour chaque lettre, on choisit une boîte, et deux lettres n’ont pas la même boîte.
  1. \(A_{5}^{3} = 60\) : on attribue aux 3 lettres, dans l’ordre, 3 boîtes distinctes. b) \(C_{6}^{3} = 20\) : l’équipe rouge est un groupe de 3 élèves. c) \(5^{3} = 125\) : chaque lettre a 5 boîtes possibles, une boîte peut revenir. d) \(C_{5}^{3} = 10\) : on choisit un groupe de 3 cases.
  • Confondre a) et c) : la différence est la répétition (une boîte peut-elle recevoir deux lettres ?).

✎ Exercice 1.23 ⟵ à faire à la maison T1 ★★☆

Six élèves, dont Alice et Bilal, se placent en ligne pour une photo. Combien de placements sont possibles ? Dans combien d’entre eux Alice et Bilal sont-ils côte à côte ?

Placements : \(6! = 720\). Côte à côte : on considère le bloc « Alice et Bilal » comme un seul objet ; on range 5 objets, \(5! = 120\) façons, puis on ordonne Alice et Bilal dans le bloc, 2 façons : \(120 \cdot 2 = 240\).

Si Alice et Bilal sont collés, combien d’« objets » faut-il ranger ?

Le bloc « Alice et Bilal » et les 4 autres élèves : 5 objets.

Placements : on range 6 élèves, \(6! = 720\). Alice et Bilal côte à côte : on forme un bloc avec eux deux ; on range 5 objets (le bloc et les 4 autres élèves), \(5! = 120\) façons ; dans le bloc, Alice et Bilal s’ordonnent de 2 façons. Il y a \(120 \cdot 2 = 240\) placements.

  • Oublier le facteur 2 : « Alice puis Bilal » et « Bilal puis Alice » sont deux placements.

✎ Exercice 1.24 C1 ★★☆

Trouve l’erreur. Chaque réponse ci-dessous est fausse. Explique l’erreur, puis corrige.

  1. « Pour choisir 3 délégués ayant le même rôle parmi 10 élèves, il y a \(A_{10}^{3} = 720\) choix. »

  2. « Il y a \(10^{4} = 10 \, 000\) codes de 4 chiffres tous différents. »

  1. Erreur d’ordre : les délégués ont le même rôle, un choix est un groupe. \(A_{10}^{3}\) compte chaque groupe \(3! = 6\) fois : il y a \(C_{10}^{3} = \frac{720}{6} = 120\) choix. b) Erreur de répétition : \(10^{4}\) autorise les chiffres répétés. Chiffres tous différents : \(A_{10}^{4} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040\) codes.

Relis le cadre « Situations de référence » et la remarque sur les erreurs fréquentes.

Pour chaque phrase : un résultat est-il une suite ou un groupe ? Un élément peut-il revenir ?

  1. Échanger deux délégués de même rôle donne-t-il un autre choix ?
  1. Erreur d’ordre : les délégués ont le même rôle, un choix est un groupe de 3 élèves. \(A_{10}^{3}\) compte chaque groupe \(3! = 6\) fois : \(C_{10}^{3} = \frac{720}{6} = 120\) choix. b) Erreur de répétition : \(10^{4}\) compte aussi les codes avec un chiffre répété. Chiffres tous différents : \(A_{10}^{4} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040\) codes.
  • Se contenter de dire « c’est faux » : il faut nommer l’erreur (ordre, répétition) et corriger.

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