Propriétés des probabilités

Activité 2.4 — probabilité d’une réunion

On lance un dé équilibré. \(A\) : « obtenir un nombre pair » ; \(B\) : « obtenir au moins 4 ».

  1. Écris \(A\), \(B\), \(A \cap B\) et \(A \cup B\) en extension, et place les issues dans le diagramme.

\(\Omega\)

\(A\)

\(B\)

2

4, 6

5

1, 3

\(A = \{2, 4, 6\}\), \(B = \{4, 5, 6\}\), \(A \cap B = \{4, 6\}\), \(A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}\).

  1. Compare \(P(A \cup B)\) et \(P(A) + P(B)\). D’où vient la différence ?

\(P(A \cup B) = \frac{4}{6}\) et \(P(A) + P(B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} = \frac{6}{6}\). Les issues 4 et 6 sont comptées deux fois ; par le principe additif (propriété 1.2), \(P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{4}{6}\).

  1. Que vaut \(P(\overline{A})\) ?

\(\overline{A} = \{1, 3, 5\}\) : \(P(\overline{A}) = \frac{3}{6} = 1 - P(A)\).

Propriété 2.1 — propriétés des probabilités

Pour tous événements \(A\) et \(B\) :

  • \(0 \leq P(A) \leq 1\), \(P(\Omega) = 1\), \(P(\emptyset) = 0\) ;
  • \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\) ;
  • \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) ; si \(A\) et \(B\) sont disjoints, \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).

Remarque 2.2

Ces propriétés viennent d’être obtenues en comptant, sous l’hypothèse d’équiprobabilité. Elles valent pour toute probabilité (définition 2.4) : \(P(A \cup B)\) additionne les probabilités des issues de \(A\) et celles de \(B\), et celles de \(A \cap B\) sont alors comptées deux fois. Les fréquences les vérifient aussi, donc les probabilités a posteriori.

« Au moins un ». Pour calculer la probabilité de « au moins un… », on passe souvent par le contraire « aucun… » : \(P(\text{au moins un}) = 1 - P(\text{aucun})\).

Exemple 2.5 — les paris du chevalier de Méré

Le chevalier de Méré pensait que ces deux paris étaient favorables (probabilité de gagner supérieure à \(\frac{1}{2}\)) : obtenir au moins un 6 en lançant 4 fois un dé ; obtenir au moins un double six en lançant 24 fois deux dés. Pascal en discuta avec Fermat.

Premier pari. Une issue est une suite de 4 résultats : on suppose les \(6^{4} = 1296\) suites équiprobables. Contraire « aucun 6 » : \(5^{4} = 625\) suites. \(P(\text{au moins un 6}) = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{671}{1296} \approx 0{,}518\) : le pari est favorable.

Second pari. Une issue est une suite de 24 couples : \(\#\Omega = 36^{24}\). Contraire « aucun double six » : \(35^{24}\) suites. \(P(\text{au moins un double six}) = 1 - \frac{35^{24}}{36^{24}} \approx 0{,}491\) : le pari est défavorable.

premier pari de Méré

second pari de Méré

✎ Exercice 2.9 A2 ★☆☆

On sait que \(P(A) = 0{,}5\), \(P(B) = 0{,}4\) et \(P(A \cap B) = 0{,}1\). Complète le diagramme avec la probabilité de chaque zone, puis calcule \(P(A \cup B)\) et la probabilité que ni \(A\) ni \(B\) ne soit réalisé.

\(\Omega\)

\(A\)

\(B\)

\(0{,}4\)

\(0{,}1\)

\(0{,}3\)

\(0{,}2\)

Zones : \(A\) seulement \(0{,}5 - 0{,}1 = 0{,}4\) ; \(B\) seulement \(0{,}4 - 0{,}1 = 0{,}3\). \(P(A \cup B) = 0{,}5 + 0{,}4 - 0{,}1 = 0{,}8\). « Ni \(A\) ni \(B\) » est le contraire de \(A \cup B\) : \(1 - 0{,}8 = 0{,}2\).

Relis la propriété 2.1.

Que vaut la zone « \(A\) seulement » ?

\(A\) seulement : \(0{,}5 - 0{,}1 = 0{,}4\).

Zones : \(A\) seulement \(0{,}5 - 0{,}1 = 0{,}4\) ; \(A \cap B\) : \(0{,}1\) ; \(B\) seulement \(0{,}4 - 0{,}1 = 0{,}3\) ; hors de \(A\) et \(B\) : \(1 - (0{,}4 + 0{,}1 + 0{,}3) = 0{,}2\). \(P(A \cup B) = 0{,}5 + 0{,}4 - 0{,}1 = 0{,}8\). « Ni \(A\) ni \(B\) » est le contraire de \(A \cup B\) : sa probabilité vaut \(1 - 0{,}8 = 0{,}2\).

  • Écrire \(0{,}5\) dans la zone « \(A\) seulement » : cette zone ne contient pas \(A \cap B\).

✎ Exercice 2.10 A2 ★★☆

On choisit au hasard un nombre entier de 1 à 30. \(A\) : « le nombre est multiple de 2 » ; \(B\) : « le nombre est multiple de 3 ».

  1. Écris dans le diagramme le nombre d’issues de chaque zone, puis complète le tableau.

\(\Omega\)

\(A\)

\(B\)

10

5

5

10

\(B\) \(\overline{B}\) Total
\(A\) 5 10 15
\(\overline{A}\) 5 10 15
Total 10 20 30

  1. Quelle case du tableau correspond à chaque zone du diagramme ?

  2. Calcule \(P(A \cap \overline{B})\), \(P(\overline{A} \cap \overline{B})\) et \(P(A \cup B)\).

  1. Multiples de 2 : 15 ; de 3 : 10 ; des deux (multiples de 6) : 5. Zones : \(A\) seulement \(15 - 5 = 10\), \(B\) seulement \(10 - 5 = 5\), ni l’un ni l’autre \(30 - 10 - 5 - 5 = 10\). b) \(A \cap B\) : zone commune ; \(A \cap \overline{B}\) : \(A\) seulement ; \(\overline{A} \cap B\) : \(B\) seulement ; \(\overline{A} \cap \overline{B}\) : hors des deux cercles. Les totaux des lignes et des colonnes donnent \(\#A\), \(\#\overline{A}\), \(\#B\) et \(\#\overline{B}\). c) Issues équiprobables : \(P(A \cap \overline{B}) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}\) ; \(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}\) ; \(P(A \cup B) = \frac{10 + 5 + 5}{30} = \frac{2}{3}\).

Quels nombres sont à la fois multiples de 2 et de 3 ?

Commence par la zone commune : les multiples de 6.

Multiples de 2 : 15 ; de 3 : 10 ; des deux (multiples de 6) : 5. Zones : \(A\) seulement : \(15 - 5 = 10\) ; \(B\) seulement : \(10 - 5 = 5\) ; ni l’un ni l’autre : \(30 - 20 = 10\). Tableau : ligne \(A\) : 5, 10 (total 15) ; ligne \(\overline{A}\) : 5, 10 (total 15) ; totaux des colonnes : 10 et 20 ; total 30. Chaque case intérieure du tableau correspond à une zone du diagramme. Issues équiprobables : \(P(A \cap \overline{B}) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}\) ; \(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}\) ; \(P(A \cup B) = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}\).

  • Écrire 15 dans la zone « \(A\) seulement » : les multiples de 6 sont déjà dans la zone commune.
  • Oublier la zone extérieure (ni multiple de 2 ni multiple de 3).

✎ Exercice 2.11 C5 ★★☆

Un dé est truqué : la probabilité d’obtenir 6 vaut \(\frac{1}{3}\) et les cinq autres faces ont la même probabilité. Calcule la probabilité a) d’obtenir 1 ; b) d’obtenir un nombre pair ; c) d’obtenir un nombre impair. Peut-on utiliser la règle de Laplace ?

Les six issues ne sont pas équiprobables : la règle de Laplace ne s’applique pas. On utilise \(P(\Omega) = 1\). a) Les faces 1 à 5 se partagent \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) : \(P(\text{obtenir 1}) = \frac{\frac{2}{3}}{5} = \frac{2}{15}\). b) \(P(\{2, 4, 6\}) = \frac{2}{15} + \frac{2}{15} + \frac{1}{3} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}\). c) C’est le contraire de b) : \(1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}\) (contrôle : \(3 \cdot \frac{2}{15} = \frac{2}{5}\)).

Relis les propriétés des probabilités : que vaut \(P(\Omega)\) ?

Les six faces sont-elles équiprobables ? Que se partagent les faces 1 à 5 ?

\(P(\text{obtenir 1}) + \cdots + P(\text{obtenir 5}) = 1 - \frac{1}{3}\).

Les six issues ne sont pas équiprobables : la règle de Laplace ne s’applique pas. Comme \(P(\Omega) = 1\), les faces 1 à 5 se partagent \(\frac{2}{3}\) : \(P(\text{obtenir 1}) = \frac{\frac{2}{3}}{5} = \frac{2}{15}\). \(P(\text{pair}) = P(\text{obtenir 2}) + P(\text{obtenir 4}) + P(\text{obtenir 6}) = \frac{2}{15} + \frac{2}{15} + \frac{5}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}\). \(P(\text{impair}) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}\).

  • Répondre \(P(\text{obtenir 1}) = \frac{1}{6}\) ou \(P(\text{pair}) = \frac{1}{2}\) : le dé n’est pas équilibré.
  • Diviser \(\frac{1}{3}\) par 5 au lieu de \(\frac{2}{3}\).

✎ Exercice 2.12 ⟵ à faire à la maison C5 ★☆☆

On tire une carte d’un jeu de 52 cartes. \(C\) : « tirer un cœur » ; \(R\) : « tirer un roi ». \(C\) et \(R\) sont-ils disjoints ? Calcule \(P(C \cup R)\) et \(P(\overline{C})\).

On suppose les 52 cartes équiprobables. \(C \cap R\) = {roi de cœur} : \(C\) et \(R\) ne sont pas disjoints. \(P(C \cup R) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}\). \(P(\overline{C}) = 1 - \frac{13}{52} = \frac{3}{4}\).

Relis la propriété 2.1.

Existe-t-il une carte qui est à la fois un cœur et un roi ?

\(P(C) = \frac{13}{52}\), \(P(R) = \frac{4}{52}\), \(P(C \cap R) = \frac{1}{52}\).

On suppose les 52 cartes équiprobables. \(C \cap R\) = {roi de cœur} : \(C\) et \(R\) ne sont pas disjoints. \(P(C \cup R) = P(C) + P(R) - P(C \cap R) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}\). \(P(\overline{C}) = 1 - \frac{13}{52} = \frac{39}{52} = \frac{3}{4}\).

  • Calculer \(P(C \cup R) = \frac{17}{52}\) : le roi de cœur est compté deux fois.

✎ Exercice 2.13 ⟵ à faire à la maison C5 ★★☆

Charlotte, Farid et Joseph sont les seuls participants à une course ; il y a un seul gagnant. Charlotte et Farid ont la même probabilité de gagner, et cette probabilité est le double de celle de Joseph. Quelle est la probabilité que Joseph gagne ? Qu’un garçon gagne ?

Notons \(p\) la probabilité que Joseph gagne : Charlotte et Farid gagnent chacun avec la probabilité \(2p\). Les trois événements sont disjoints et leur réunion est certaine : \(p + 2p + 2p = 1\), donc \(p = \frac{1}{5}\). Un garçon gagne (Farid ou Joseph) : \(\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}\).

Relis les propriétés des probabilités (événements disjoints, \(P(\Omega) = 1\)).

Si on appelle \(p\) la probabilité que Joseph gagne, que valent les deux autres ?

\(p + 2p + 2p = 1\).

Soit \(p\) la probabilité que Joseph gagne ; Charlotte et Farid gagnent chacun avec la probabilité \(2p\). Il y a un seul gagnant : les trois événements sont disjoints et leur réunion est certaine, donc \(5p = 1\) et \(p = \frac{1}{5}\). Un garçon gagne (Farid ou Joseph) : \(\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}\).

  • Répondre \(\frac{1}{3}\) : les trois coureurs n’ont pas la même probabilité de gagner.
  • Oublier que Charlotte n’est pas un garçon.

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