Exercices supplémentaires

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Ces exercices restent dans les objectifs de la séance : à faire une fois le socle et le transfert bouclés, en séance ou à la maison.

Renforcement — le socle, un cran plus loin

Mise en garde✎ Exercice R.1 #Renforcement · O1 · ★★☆

Pour chaque égalité, dis si elle est vraie ou fausse, et nomme la propriété (ou son absence) en jeu.

  1. (20−8)−5=20−(8−5)(20 - 8) - 5 = 20 - (8 - 5)
  2. 10−4=4−1010 - 4 = 4 - 10
  3. 3⋅(6+4)=3⋅6+3⋅43 \cdot (6 + 4) = 3 \cdot 6 + 3 \cdot 4
  4. (30+12):6=30:6+12:6(30 + 12) : 6 = 30 : 6 + 12 : 6
  5. 48:(8:2)=(48:8):248 : (8 : 2) = (48 : 8) : 2
  6. 60:(4+6)=60:4+60:660 : (4 + 6) = 60 : 4 + 60 : 6

Retourne à la théorie du cours : Associativité, Commutativité et Distributivité. La soustraction et la division ne sont ni associatives ni commutatives ; la division est distributive à droite seulement.

  1. Faux : à gauche (20−8)−5=7(20 - 8) - 5 = 7, à droite 20−(8−5)=1720 - (8 - 5) = 17. Déplacer les parenthèses change le résultat : la soustraction n’est pas associative.
  2. Faux : 10−4=610 - 4 = 6 tandis que 4−10=−64 - 10 = -6. L’ordre des termes compte : la soustraction n’est pas commutative.
  3. Vrai : 3⋅(6+4)=3⋅10=303 \cdot (6 + 4) = 3 \cdot 10 = 30 et 3⋅6+3⋅4=18+12=303 \cdot 6 + 3 \cdot 4 = 18 + 12 = 30. C’est la distributivité de la multiplication sur l’addition.
  4. Vrai : (30+12):6=42:6=7(30 + 12) : 6 = 42 : 6 = 7 et 30:6+12:6=5+2=730 : 6 + 12 : 6 = 5 + 2 = 7. La division est distributive à droite, c’est-à-dire quand la somme est au numérateur.
  5. Faux : 48:(8:2)=48:4=1248 : (8 : 2) = 48 : 4 = 12 mais (48:8):2=6:2=3(48 : 8) : 2 = 6 : 2 = 3. La division n’est pas associative.
  6. Faux : 60:(4+6)=60:10=660 : (4 + 6) = 60 : 10 = 6 mais 60:4+60:6=15+10=2560 : 4 + 60 : 6 = 15 + 10 = 25. La division n’est pas distributive à gauche (somme au dénominateur) : c’est le piège classique.

Croire que la division « se distribue » sur une somme au dénominateur : 60:(4+6)≠60:4+60:660 : (4 + 6) \ne 60 : 4 + 60 : 6.

Mise en garde✎ Exercice R.2 #Renforcement · O1 · ★★☆
  1. Développer (2x−3)2(2x - 3)^2.
  2. Développer (5+2b)(5−2b)(5 + 2b)(5 - 2b).
  3. Factoriser 7a2−287a^2 - 28.
  4. Factoriser 6x2+15x6x^2 + 15x.

Retourne à la théorie du cours : Distributivité et identités remarquables. Pour factoriser, cherche d’abord un facteur commun, puis reconnais une éventuelle différence de carrés.

  1. 4x2−12x+94x^2 - 12x + 9.
  2. 25−4b225 - 4b^2.
  3. 7(a2−4)=7(a−2)(a+2)7(a^2 - 4) = 7(a - 2)(a + 2).
  4. 3x(2x+5)3x(2x + 5).

En (a), oublier le double produit 2⋅2x⋅3=12x2 \cdot 2x \cdot 3 = 12x ; en (c), s’arrêter à 7(a2−4)7(a^2 - 4) sans reconnaître la différence de carrés.

Mise en garde✎ Exercice R.3 #Renforcement · O1 · ★★☆

Réduis au même dénominateur, puis simplifie si possible.

  1. 3x+2−6x−2\dfrac{3}{x + 2} - \dfrac{6}{x - 2}
  2. 3x+2:6x−2\dfrac{3}{x + 2} : \dfrac{6}{x - 2}

Retourne à la théorie du cours : Addition et soustraction de fractions et Produit et quotient de fractions. Diviser, c’est multiplier par l’inverse.

  1. 3(x−2)−6(x+2)(x+2)(x−2)=−3x−18x2−4\dfrac{3(x - 2) - 6(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \dfrac{-3x - 18}{x^2 - 4}.
  2. 3x+2⋅x−26=x−22(x+2)\dfrac{3}{x + 2} \cdot \dfrac{x - 2}{6} = \dfrac{x - 2}{2(x + 2)}.

Additionner numérateurs et dénominateurs entre eux ; « simplifier en diagonale » dans la soustraction (a) — ce n’est permis que dans un produit.

Mise en garde✎ Exercice R.4 #Renforcement · O1 · ★★☆

Calcule, ou écris comme une seule puissance (avec x≠0x \ne 0).

  1. 163/416^{3/4}
  2. 125−2/3125^{-2/3}
  3. (x4)2⋅x−3x2\dfrac{\left(x^4\right)^2 \cdot x^{-3}}{x^2}

Retourne à la théorie du cours : Puissances et Racines et exposants rationnels. Rappelle-toi xp/q=xpqx^{p/q} = \sqrt[q]{x^{\,p}} et a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^n}.

  1. 163/4=(164)3=23=816^{3/4} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8.
  2. 125−2/3=1(1253)2=152=125125^{-2/3} = \dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{125}\right)^2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}.
  3. x8⋅x−3x2=x8−3−2=x3\dfrac{x^{8} \cdot x^{-3}}{x^2} = x^{8 - 3 - 2} = x^3.

Confondre (x4)2\left(x^4\right)^2 (on multiplie : x8x^8) et x4⋅x2x^4 \cdot x^2 (on ajoute : x6x^6).

Mise en garde✎ Exercice R.5 #Renforcement · O3 · ★★★
  1. Montre qu’on ne peut pas avoir x2=x\sqrt{x^2} = x pour tout xx, en testant x=−3x = -3.
  2. Énonce la règle correcte, puis calcule (5−9)2\sqrt{(5 - 9)^2}.

Retourne à la théorie du cours : Valeur absolue. Une racine carrée est toujours positive.

  1. Pour x=−3x = -3 : d’un côté (−3)2=9=3\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 ; de l’autre, l’hypothèse donnerait −3-3. On aurait 3=−33 = -3, ce qui est absurde. L’égalité x2=x\sqrt{x^2} = x est donc fausse dès que x<0x < 0.
  2. La règle correcte est x2=|x|\sqrt{x^2} = |x|. Donc (5−9)2=|5−9|=|−4|=4\sqrt{(5 - 9)^2} = |5 - 9| = |-4| = 4.

Écrire x2=x\sqrt{x^2} = x sans valeur absolue : c’est faux pour tout x<0x < 0.

Mise en garde✎ Exercice R.6 #Renforcement · O2 · ★★☆
  1. Écris 58\dfrac{5}{8} en décimal et en pourcentage ; écris 0,450{,}45 en fraction irréductible et en pourcentage.
  2. Prendre 25\dfrac{2}{5} de 3535 mL : combien de mL ?
  3. Après une hausse de 25%25\,\%, une population de bactéries atteint 500500. Quel était l’effectif initial ?

Retourne à la théorie du cours : Fractions : quel est leur sens ? et Pourcentages. Pour retrouver la valeur initiale, résous (1+p100)⋅x=y\left(1 + \tfrac{p}{100}\right) \cdot x = y.

  1. 58=0,625=62,5%\dfrac{5}{8} = 0{,}625 = 62{,}5\,\% ; 0,45=920=45%0{,}45 = \dfrac{9}{20} = 45\,\%.
  2. 25⋅35=14\dfrac{2}{5} \cdot 35 = 14 mL.
  3. 1,25⋅x=5001{,}25 \cdot x = 500, d’où x=500:1,25=400x = 500 : 1{,}25 = 400.

Retirer 25%25\,\% de la valeur finale (500−0,25⋅500=375500 - 0{,}25 \cdot 500 = 375) au lieu de l’initiale.

Mise en garde✎ Exercice R.7 #Renforcement · O3 · ★★☆
  1. Calcule, en notation scientifique : (4×107)⋅(2,5×10−3)(4 \times 10^{7}) \cdot (2{,}5 \times 10^{-3}).
  2. Estime (sans calculatrice) 5,1×1062,05×102\dfrac{5{,}1 \times 10^{6}}{2{,}05 \times 10^{2}}.
  3. Une longueur est mesurée au dixième de millimètre près. Est-il justifié d’annoncer le résultat final d’un calcul au nanomètre près ? Explique.

Retourne à la théorie du cours : Notation scientifique, Ordres de grandeur et estimations et Chiffres significatifs. La précision d’un résultat ne peut excéder celle des données.

  1. 4⋅2,5×107−3=10×104=1×1054 \cdot 2{,}5 \times 10^{7 - 3} = 10 \times 10^{4} = 1 \times 10^{5}.
  2. ≈5×1062×102=2,5×104\approx \dfrac{5 \times 10^{6}}{2 \times 10^{2}} = 2{,}5 \times 10^{4}.
  3. Non : un résultat calculé ne peut pas être plus précis que les données qui l’alimentent (règle des chiffres significatifs). Le dixième de millimètre (10−410^{-4} m) est un million de fois plus grossier que le nanomètre (10−910^{-9} m) ; annoncer le résultat « au nanomètre près » afficherait des décimales que la mesure ne garantit pas — c’est une fausse précision.

Laisser 10×10410 \times 10^{4} (le aa doit être dans [1,10[[1, 10[) ; confondre précision affichée et exactitude réelle.

Mise en garde✎ Exercice R.8 #Renforcement · O4 · ★★☆
  1. Ramène-toi à un angle du premier quandrant : cos⁡(420°)\cos(420°) et sin⁡(7π3)\sin\!\left(\dfrac{7\pi}{3}\right).
  2. On sait que cos⁡θ=35\cos\theta = \dfrac{3}{5} et que θ∈[0,π2]\theta \in \left[0,\ \tfrac{\pi}{2}\right]. Calcule sin⁡θ\sin\theta, puis tan⁡θ\tan\theta.

Retourne à la théorie du cours : Périodicité et identité fondamentale et Tangente. Périodicité : on peut retrancher un tour (2π2\pi ou 360°360°). Identité : sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1.

  1. cos⁡(420°)=cos⁡(420°−360°)=cos⁡(60°)=12\cos(420°) = \cos(420° - 360°) = \cos(60°) = \dfrac{1}{2} ; sin⁡(7π3)=sin⁡(7π3−2π)=sin⁡π3=32\sin\!\left(\dfrac{7\pi}{3}\right) = \sin\!\left(\dfrac{7\pi}{3} - 2\pi\right) = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}.
  2. sin⁡θ=1−925=1625=45\sin\theta = \sqrt{1 - \tfrac{9}{25}} = \sqrt{\tfrac{16}{25}} = \dfrac{4}{5} (positif au quadrant I) ; tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=4/53/5=43\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{4/5}{3/5} = \dfrac{4}{3}.

Oublier de ramener l’angle dans un tour avant de lire la valeur ; prendre sin⁡θ\sin\theta négatif au quadrant I.

Mise en garde✎ Exercice R.9 #Renforcement · O4 · ★★☆
  1. Donne tan⁡θ\tan\theta pour θ=0,π6,π4,π3\theta = 0,\ \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{\pi}{3}.
  2. Pourquoi tan⁡(π2)\tan\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) n’existe-t-elle pas ?

Retourne à la théorie du cours : Tangente. Rappelle-toi tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}.

  1. tan⁡0=0\tan 0 = 0 ; tan⁡π6=13=33\tan\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{\sqrt3}{3} ; tan⁡π4=1\tan\dfrac{\pi}{4} = 1 ; tan⁡π3=3\tan\dfrac{\pi}{3} = \sqrt3.
  2. cos⁡π2=0\cos\dfrac{\pi}{2} = 0, donc tan⁡π2=sin⁡(π/2)cos⁡(π/2)=10\tan\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\sin(\pi/2)}{\cos(\pi/2)} = \dfrac{1}{0} serait une division par zéro : tan⁡π2\tan\dfrac{\pi}{2} n’existe pas.

Écrire tan⁡π3=13\tan\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{\sqrt3} (c’est tan⁡π6\tan\dfrac{\pi}{6}) : tan\tan croît de 00 à π2\dfrac{\pi}{2}.

Mise en garde✎ Exercice R.10 #Renforcement · O4 · ★★★

On sait que cos⁡θ=−12\cos\theta = -\dfrac{1}{2} et que θ∈[π2,π]\theta \in \left[\dfrac{\pi}{2},\ \pi\right].

  1. Calcule sin⁡θ\sin\theta.
  2. Donne la valeur exacte de θ\theta.
  3. Déduis-en cos⁡(−θ)\cos(-\theta) et sin⁡(π−θ)\sin(\pi - \theta).

Retourne à la théorie du cours : Identité fondamentale, Signes et Symétries. Le quadrant fixe le signe de sin⁡θ\sin\theta.

  1. sin⁡2θ=1−14=34\sin^2\theta = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}, donc sin⁡θ=±32\sin\theta = \pm\dfrac{\sqrt3}{2}. Au quadrant II, sin⁡θ>0\sin\theta > 0 : sin⁡θ=32\sin\theta = \dfrac{\sqrt3}{2}.
  2. L’angle du quadrant II dont le cosinus vaut −12-\dfrac{1}{2} est θ=2π3\theta = \dfrac{2\pi}{3} (=120°= 120°).
  3. cos⁡(−θ)=cos⁡θ=−12\cos(-\theta) = \cos\theta = -\dfrac{1}{2} (angles opposés) ; sin⁡(π−θ)=sin⁡θ=32\sin(\pi - \theta) = \sin\theta = \dfrac{\sqrt3}{2} (angles supplémentaires).

Garder sin⁡θ<0\sin\theta < 0 en oubliant que le sinus est positif au quadrant II.

Mise en garde✎ Exercice R.11 #Renforcement · O1 · ★★☆
  1. Calculer, dans ℝ\mathbb{R} : 16\sqrt{16}, −83\sqrt[3]{-8}, −4\sqrt{-4}.
  2. Écrire 82/38^{2/3} comme une racine, puis calculer.
  3. Calculer 81−1/481^{-1/4}.

Retourne à la théorie du cours : Racines et exposants rationnels.

Une racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie dans ℝ\mathbb{R}.

xp/q=xpqx^{p/q} = \sqrt[q]{x^{\,p}}.

  1. 16=4\sqrt{16} = 4 ; −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2 (un indice impair accepte un radicande négatif, car (−2)3=−8(-2)^3 = -8) ; −4\sqrt{-4} est non défini dans ℝ\mathbb{R} : aucun réel élevé au carré ne donne un nombre négatif (un carré est toujours ≥0\ge 0).
  2. 82/3=823=(83)2=22=48^{2/3} = \sqrt[3]{8^2} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4.
  3. 81−1/4=1814=1381^{-1/4} = \dfrac{1}{\sqrt[4]{81}} = \dfrac{1}{3}.

Vouloir calculer −4\sqrt{-4} dans ℝ\mathbb{R} ; écrire x2=x\sqrt{x^2} = x sans valeur absolue : x2=|x|\sqrt{x^2} = |x|.

Mise en garde✎ Exercice R.12 #Renforcement · O4 · ★★☆

Un déplacement de longueur 1212 fait un angle de 60°60° avec l’horizontale.

  1. Exprimer ses composantes horizontale et verticale à l’aide de cos\cos et sin\sin.
  2. Les calculer.

Retourne à la théorie du cours : Pourquoi s’intéresser aux angles ? et Cercle trigonométrique.

Sur le triangle rectangle formé par la projection : la composante horizontale est le côté adjacent à l’angle, la verticale le côté opposé. Donc horizontale =12cos⁡(60°)= 12\cos(60°), verticale =12sin⁡(60°)= 12\sin(60°).

  1. Horizontale =12cos⁡(60°)= 12\cos(60°) ; verticale =12sin⁡(60°)= 12\sin(60°).
  2. 12⋅12=612 \cdot \dfrac{1}{2} = 6 ; 12⋅32=63≈10,412 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 6\sqrt3 \approx 10{,}4.

Inverser cos\cos (horizontale) et sin\sin (verticale) ; confondre l’angle avec l’horizontale et avec la verticale.