Socle — exercices routiniers

Séance 1 · à faire à ton rythme

À lire d’abord

Cherche au brouillon d’abord. N’hésite pas à résoudre les exercices avec tes voisin.e.s. Ouvre les indices dans l’ordre (référence → question → étape → solution). La solution est le dernier recours.

Les exercices du socle sont des exercices routiniers pour installer les automatismes. Résous-les à ton rythme. Si tu n’arrives pas au bout du socle lors de la séance, ce n’est pas grave: tu peux le poursuivre à domicile avec les coups de pouce et la solution finale.

✎ Exercice S.1 #Socle · O3 · ★☆☆

Pour chaque lettre indiquée, dire son rôle dans l’expression entre guillements : inconnue, variable ou paramètre.

$x$ dans « résoudre $2x = 10$ »
$x$ dans « la fonction $f(x) = x^2$ »
$m$ dans « la droite $y = m x + 1$ »

Retourne à la théorie du cours : Égalité et symboles : lire avant de calculer.

Question à te poser.

Pour chaque lettre : cherche-t-on sa valeur (inconnue) ? Décrit-elle tous les cas ou l’entrée d’une fonction (variable) ? Fixe-t-elle un objet particulier tandis qu’une autre lettre varie (paramètre) ?

Inconnue: on cherche la (ou les) valeur(s) de $x$ qui satisfont l’équation, ici $x = 5$ .
Variable: la lettre $x$ représente la variable indépendante de la fonction $f$ et parcourt $\mathbb{R}$ .
Paramètre: dans l’expression, $m$ représente un nombre fixé, en l’occurence la pente de la droite d’équation $y=mx+1$ .

Dans $y = m x + 1$ , confondre $x$ (variable) et $m$ (paramètre).

✎ Exercice S.2 #Socle · O3 · ★☆☆

Pour chaque énoncé, dire de quoi il s’agit: un prédicat ou une proposition?

« $5$ est pair. »
« $x \ge 0$ . »
« Additionne $2$ et $3$ . »

Retourne à la théorie du cours : Qu’est-ce qu’une affirmation mathématique ?

Question à te poser.

Pour chaque énoncé : puis-je dire, tel quel, s’il est vrai ou faux ? Si oui → proposition (même s’il est faux). Si « ça dépend de la valeur d’une lettre » → prédicat. Si ce n’est ni une proposition ni un prédicat → ni l’un ni l’autre.

Proposition (fausse).
Prédicat (dépend de $x$ ).
Ni l’un ni l’autre (une consigne : on ne peut pas la dire vraie ou fausse).

Croire qu’un énoncé faux n’est « pas une proposition ».

✎ Exercice S.3 #Socle · O1 · ★★☆

Relier chaque phrase (a–d) à sa traduction (1–4).

Français	Traduction
(a) « −7 est un entier »	(1) $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z}$
(b) « −7 est un entier mais pas naturel »	(2) $-7 \in \mathbb{Z}$
(c) « tout nombre naturel est un entier »	(3) $\forall\, n\in\mathbb{N},\ n\ge 0$
(d) « il n’existe pas d’entier naturel strictement négatif »	(4) $-7 \in \mathbb{Z}\setminus\mathbb{N}$

Retourne à la théorie du cours : Ensembles : regrouper des objets, Formaliser l’inclusion, Ensembles de nombres et Opérations sur les ensembles.

Question à te poser.

Chaque phrase parle-t-elle de l’appartenance d’un élément à un ensemble ( $\in$ ) ou d’une inclusion entre ensembles ( $\subseteq$ ) ? À quelle opération correspond « mais pas… » ? Et « il n’existe pas de… négatif », est-ce un $\forall\,$ déguisé ?

a–2, b–4, c–1, d–3. ( $-7\in\mathbb{Z}$ ; « entier mais pas naturel » = $\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N}$ ; « tout nombre naturel est entier » = $\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}$ ; « aucun naturel n’est $<0$ » = $\forall\, n\in\mathbb{N},\ n\ge 0$ .)

Confondre $\in$ (un élément : $-7\in\mathbb{Z}$ ) et $\subseteq$ (deux ensembles : $\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}$ ) ; oublier que « mais pas naturel » retire $\mathbb{N}$ ( $\setminus\mathbb{N}$ ).

✎ Exercice S.4 #Socle · O2 · ★★☆

Pour chaque ligne, dire si l’affirmation est vraie ou fausse :

$3 \in [3,\,7[$
$7 \in [3,\,7[$
$\sqrt2 \in\ ]1,\,2]$
$-2 \in\ ]{-}\infty,\,-2]$
$0 \in\ ]0,\,+\infty[$

Ensuite, écrire l’intervalle des réels $x$ tels que $-1 \le x < 4$ .

Retourne à la théorie du cours : Intervalles réels et Ensembles : regrouper des objets.

Question à te poser.

La borne de l’intervalle est-elle dans l’intervalle (crochet fermé) ou non (ouvert) ? Le nombre est-il strictement entre les bornes, ou égal à une borne — et cette borne est-elle incluse dans l’intervalle ?

Vrai — $3$ inclus (fermé à gauche).
Faux — $7$ exclu (ouvert à droite).
Vrai — $\sqrt2 \approx 1{,}41 \in\ ]1,2]$ .
Vrai — $-2$ inclus (fermé à droite).
Faux — $0$ exclu (ouvert).

L’intervalle des réels $x$ tels que $-1 \le x < 4$ s’écrit: $[-1,\,4[$ .

Confondre crochet fermé (inclus) et ouvert (exclu) ; croire qu’une borne infinie peut être « incluse ».

✎ Exercice S.5 #Socle · O2 · ★☆☆

Construire la table de vérité, pour toutes les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ , des colonnes $\lnot\alpha$ , $\alpha\land\beta$ , $\alpha\lor\beta$ , $\alpha\Rightarrow\beta$ . Vérifier ensuite que $\lnot(\alpha\land\beta) \Leftrightarrow \lnot\alpha \lor \lnot\beta$ .

Retourne à la théorie du cours : Outil : table de vérité.

Question à te poser.

Il y a cinq lignes et huit colonnes dans le tableau. Pour $\alpha\Rightarrow\beta$ , repère d’abord l’unique ligne qui la rend fausse ; toutes les autres doivent être vraies.

$\alpha$	$\beta$	$\lnot\alpha$	$\alpha\land\beta$	$\alpha\lor\beta$	$\alpha\Rightarrow\beta$	$\lnot(\alpha\land\beta)$	$\lnot\alpha\lor\lnot\beta$
V	V	F	V	V	V	F	F
V	F	F	F	V	F	V	V
F	V	V	F	V	V	V	V
F	F	V	F	F	V	V	V

Les deux dernières colonnes coïncident ligne à ligne : la loi de De Morgan est vérifiée. ✓

Croire que $\alpha\Rightarrow\beta$ est fausse quand $\alpha$ est fausse. Une implication à prémisse fausse est automatiquement vraie.

✎ Exercice S.6 #Socle · O2 · ★★☆

Soit $\gamma$ l’implication : « si $n$ est multiple de $4$ , alors $n$ est pair ».¹

Écrire la réciproque et la contraposée de $\gamma$ .
Dire lesquelles des trois sont vraies. Justifier, par un contre-exemple si nécessaire.

Retourne à la théorie du cours : Comprendre l’implication et Réciproque, contraposée, équivalence.

Question à te poser.

Comment construit-on la réciproque d’une implication? Comment construit-on la contraposée d’une implication?

Pour tester la validité des implication: que faut-il chercher pour que l’implication doit fausse?

Étape.

Pose $\alpha$ : « multiple de $4$ » et $\beta$ : « pair ». Pour construire la réciproque de $\gamma$ on échange $\alpha$ et $\beta$ . Pour construire la contraposée de $\gamma$ , on nie $\alpha$ et $\beta$ puis on les échange.

Validité de la réciproque: prendre $n=6$ .

Implication : vraie.

Réciproque « si $n$ pair alors $n$ multiple de $4$ » : fausse avec $n=6$ , on a bien un $n$ pair qui n’est pas un multiple de $4$ .

Contraposée « si $n$ impair alors $n$ non multiple de $4$ » : vraie car elle est équivalente à $\gamma$ .

Confondre réciproque et contraposée, et croire que la contraposée pourrait avoir une valeur de vérité différente de l’implication.

✎ Exercice S.7 #Socle · O2 · ★★☆

Pour les trois premières propositions : dire si elle est vraie ou fausse, puis écrire sa négation.

$\forall\, x\in\mathbb{R},\ x^2\ge 0$ .
$\exists\, n\in\mathbb{N},\ n+2 = 5$ .
$\forall\, x\in\mathbb{R},\ x^2 > 0$ .
On note $\alpha(v,t)$ « le test $t$ détecte le variant $v$ ». Écrire la négation de $\ \forall\, v,\ \exists\, t,\ \alpha(v,t)\$ puis la traduire en français.

Retourne à la théorie du cours : Formaliser l’inclusion, Nier une proposition quantifiée.

Question à te poser.

Pour nier : échanger $\forall\,$ et $\exists\,$ , puis nier le prédicat. Négation de « $\ge$ » : « $<$ » ; de « $=$ » : « $\ne$ » ; de « $>$ » : « $\le$ ». Pour (d) : que deviennent $\forall\, v$ , puis $\exists\, t$ , puis $\alpha$ ?

$\forall\, x\in\mathbb{R},\ x^2\ge 0$ . est vraie. Sa négation : $\exists\, x\in\mathbb{R},\ x^2<0$ est fausse.
$\exists\, n\in\mathbb{N},\ n+2 = 5$ est vraie (on peut le vérifier en considérant $n=3$ ). Sa négation : $\forall\, n\in\mathbb{N},\ n+2\ne 5$ est fausse.
$\forall\, x\in\mathbb{R},\ x^2 > 0$ est fausse (on peut contredire la proposition en considérant $x=0$ ). Sa négation : $\exists\, x\in\mathbb{R},\ x^2\le 0$ est vraie ( $x=0$ ).
$\lnot\big(\forall\, v,\ \exists\, t,\ \alpha(v,t)\big) \Leftrightarrow \exists\, v,\ \forall\, t,\ \lnot\alpha(v,t)$ : « il existe un variant qu’aucun test ne détecte ».

Nier en gardant le même quantificateur ; ou, en imbriqué (d), n’échanger qu’un seul quantificateur au lieu des deux (le second aussi doit basculer $\exists\,\to\forall\,$ ).

✎ Exercice S.8 #Socle · O3 · ★★☆

Pour chaque argument proposé, dire si c’est un exemple, un contre-exemple ou une preuve. Dans chaque cas, dire si l’argument établit l’affirmation, la réfute, ou ne conclut rien.

Affirmation A : « Tout nombre premier est impair. »

« C’est vrai, car $3$ est premier et impair. »
« C’est faux : $2$ est premier et pair. »

Affirmation B : « La somme de deux entiers pairs est paire. »

« $4+6=10$ est pair, donc c’est vrai. »
« Si $a=2k$ et $b=2k'$ , alors $a+b=2(k+k')$ , qui est pair. »

Retourne à la théorie du cours : Exemples, preuves, contre-exemples.

Question à te poser.

L’argument traite-t-il un cas (exemple / contre-exemple) ou tous les cas (preuve) ? Ce cas confirme-t-il ou contredit-il l’affirmation ? S’il contredit, alors il s’agit d’un contre-exemple.

Exemple — ne permet pas de conclure sur la validité de l’affirmation (un cas favorable ne prouve pas un « tout »).
Contre-exemple de A : on peut donc en déduire que l’affirmation est fausse.
Exemple — ne conclut rien (ne couvre pas tous les cas).
Preuve — établit B (l’argument vaut pour tous les entiers pairs).

Croire qu’un exemple (a, c) prouve une affirmation générale ; ne pas voir qu’un seul contre-exemple suffit à réfuter.

Terminé avant la fin ? Passe au Transfert.

Le symbole $\gamma$ est une lettre grecque, la troisième dans l’ordre alphabétique et se prononce “gamma”.↩︎