Transfert — problèmes

Séance 1 · déployer l’outil sur du nouveau

À lire d’abord

Cherche au brouillon d’abord. N’hésite pas à résoudre les exercices avec tes voisin.e.s. Ouvre les indices dans l’ordre (référence → question → étape → solution). La solution est le dernier recours.

Le transfert, c’est le moment où l’outil du socle sert sur un contexte nouveau : de vrais problèmes, pas repris tels quels du cours. Travaille en binôme si tu veux.

✎ Exercice T.1 #Transfert · O2 · ★★★

Dans un écosystème, on admet deux règles :

(R1) « tout organisme photosynthétique¹ est autotrophe² » : $\beta \Rightarrow \alpha$ ;

(R2) « aucun autotrophe n’est un prédateur » : $\alpha \Rightarrow \lnot \gamma$ .

Un organisme photosynthétique peut-il être un prédateur ? Justifier en utilisant les deux règles.
Écrire la contraposée de (R2).
On observe un prédateur. Peut-on dire que ce prédateur est autotrophe? Peut-on dire qu’il est photosynthétique?

Retourne à la théorie du cours : Comprendre l’implication, Réciproque, contraposée, équivalence.

Question à te poser.

Peux-tu enchaîner (R1) puis (R2) : que donne $\beta\Rightarrow \alpha$ suivi de $\alpha\Rightarrow\lnot \gamma$ ? Pour (c), en partant $\gamma$ que peut-on dire en considérant la contraposée de (R2)? Puis en enchaînant avec la contraposée de (R1)?

Étape.

$\gamma\Rightarrow \alpha$ et $\alpha\Rightarrow \lnot \beta$ . Et la contraposée de $\beta\Rightarrow \alpha$ est $\lnot A\Rightarrow\lnot \beta$ .

Non. En effet: $\beta\Rightarrow \alpha$ et $\alpha\Rightarrow\lnot \gamma$ . Donc $\beta\Rightarrow\lnot \gamma$ : un organisme photosynthétique n’est pas un prédateur.
Contraposée de (R2) : $\gamma \Rightarrow \lnot \alpha$ (« si prédateur, alors non autotrophe »).
Puisque $\gamma \Rightarrow \lnot \alpha$ , un prédateur n’est pas autotrophe ; la contraposée de (R1) ( $\lnot \alpha\Rightarrow\lnot \beta$ ), nous dit “si je ne suis pas autotrophe, alors je ne suis pas photosynthétique” : un prédateur ne peut donc pas être photosynthétique. Donc : un prédateur n’est ni autotrophe ni photosynthétique.

Inverser une implication (croire que « autotrophe $\Rightarrow$ photosynthétique »), ou se tromper dans la contraposée en oubliant de nier les deux constituants de l’implication.

✎ Exercice T.2 #Transfert · O1 · ★★☆

Dans le cabinet d’un groupe de médecins, notons $U$ l’ensemble de tous les patients vus aujourd’hui, $F$ l’ensemble des patients fébriles³ et $T$ celui des patients qui toussent. Exprimer par des ensembles

« les patients fébriles qui ne toussent pas » ;
« les patients qui présentent au moins un des deux symptômes (fièvre ou toux) » ;
« les patients sans fièvre ni toux ».

Traduire en français :

l’énoncé $F \cap T = \varnothing$ ;

Retourne à la théorie du cours : Ensembles : regrouper des objets et Opérations sur les ensembles.

Question à te poser.

« sans toux » = quelle opération ? « au moins un » = union ou intersection ? « ni… ni… » = complément de quoi ?

$F \setminus T$ .
$F \cup T$ .
$U\setminus(F \cup T)\ \big(= (U\setminus F) \cap (U\setminus T)\big)$
« Aucun patient n’a à la fois de la fièvre et de la toux ».

Confondre $\cup$ (« au moins un ») et $\cap$ (« les deux ») ; et écrire « ni $F$ ni $T$ » comme $(U\setminus F)\cup(U\setminus T)$ au lieu de $U\setminus(F \cup T)=(U\setminus F)\cap(U\setminus T)$ .

✎ Exercice T.3 #Transfert · O2 · ★★★

Pour une bactérie $b$ et un antibiotique $a$ , $\alpha(a,b)$ signifie « $a$ est efficace contre $b$ ». On considère
$(\star)\qquad \forall\, b,\ \exists\, a,\ \alpha(a,b).$

Traduire $(\star)$ en français.
Traduire $\exists\, a,\ \forall\, b,\ \alpha(a,b)$ .
Quelle est la différence entre ces deux énoncés
- d’un point de vue symbolique, dans leur écriture mathématique?
- d’un point de vue du français, en ce qui concerne les bactéries et les antibiotiques?
Quel énoncé est le plus exigeant concernant les antibiotiques? Justifier la réponse.
Écrire la négation de $(\star)$ , puis la traduire en français.

Retourne à la théorie du cours : Quantificateurs, Nier une proposition quantifiée.

Question à te poser.

Pour (c) :

dans les deux écritures, dans quel ordre apparaissent $\forall b$ et $\exists a$ ?
dans les traductions en français, pour quel énoncé l’antibiotique dépend de la bactérie ?

Pour (d) : lequel des deux énoncés demande le plus d’efficacité à un antibiotique?

Pour (e) : que deviennent $\forall b$ , puis $\exists a$ , puis $\alpha$ , quand on nie ?

« Pour toute bactérie, il existe un antibiotique efficace contre elle » (l’antibiotique peut dépendre de la bactérie).
« Il existe un antibiotique efficace contre toutes les bactéries » (un antibiotique universel).
- Les deux énoncés utilisent les mêmes quantificateurs mais dans un ordre différent: dans $(\star)$ on commence par un quantificateur universel sur $b$ puis un quantificateur existentiel sur $a$ , tandis que pour l’autre énoncé, on commence par le quantificateur existentiel sur $a$ puis le quantificateur universel sur $b$ .
- Dans la traduction en français: $(\star)$ demande à ce que chaque bactérie dispose d’un antibiotique tandis que l’autre formule demande un seul et même antibiotique pour toutes les bactéries.
L’énoncé $\exists\, a,\ \forall\, b,\ \alpha(a,b)$ est le plus exigeant concernant les antibiotiques: il demande à ce qu’un seul antibiotique convienne pour toutes les bactéries. À l’inverse, $(\star)$ autorise à priori des antibiotiques différents pour selon les bactéries.
$\lnot(\star)\Leftrightarrow\exists\, b,\ \forall\, a,\ \lnot\alpha(a,b)$ : « il existe une bactérie contre laquelle aucun antibiotique n’est efficace ».

Ne pas changer les quantificateurs en niant; croire que $\forall\, b\,\exists\, a, \alpha(a,b)$ est la même chose que $\exists\, a\,\forall\, b, \alpha(a,b)$ .

Fini? Enchaîne avec les exercices supplémentaires.

Qui est relatif à la photosynthèse, le processus biologique par lequel les organismes vivants verts (plantes, algues et certaines bactéries) convertissent l’énergie lumineuse en énergie chimique.↩︎
Organisme capable de produire de la matière organique à partir de matière inorganique.↩︎
Qui a de la fièvre.↩︎