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À lire d’abord

Cherche au brouillon d’abord. N’hésite pas à résoudre les exercices avec tes voisin.e.s. Ouvre les indices dans l’ordre (référence → question → étape → solution). La solution est le dernier recours.

Socle — exercices routiniers

✎ Exercice S.1 #Socle · O1 · ★★☆

Calculer.

$7 - 3 \cdot 2^2$
$(7 - 3) \cdot 2^2$
$(7 - 3 \cdot 2)^2$
$12 : \sqrt{\left[10 - (4 + 4)\right]^2 + 4 - 4 \cdot (-2)}$

Retourne à la théorie du cours : Expressions et priorités des opérations.

Question à te poser.

Dans quel ordre évalue-t-on une expression ?

Étape.

Évalue d’abord ce qui est entre parenthèses ; ensuite seulement les puissances, puis les multiplications, et enfin les additions et soustractions.

$7 - 3 \cdot 2^2 = 7 - 3 \cdot 4 = 7 - 12 = -5$ .
$(7 - 3) \cdot 2^2 = 4 \cdot 4 = 16$ .
$(7 - 3 \cdot 2)^2 = (7 - 6)^2 = 1^2 = 1$ .
$10 - (4 + 4) = 2$ , donc $\left[10 - (4 + 4)\right]^2 = 4$ ; sous la racine $4 + 4 - 4 \cdot (-2) = 4 + 4 + 8 = 16$ , puis $\sqrt{16} = 4$ et enfin $12 : 4 = 3$ .

Soustraire avant de multiplier en (a) ; en (c), distribuer le carré dans les parenthèses ; en (d), oublier que $-\,4 \cdot (-2) = +8$ ou diviser avant d’avoir évalué la racine (la barre de racine joue le rôle de parenthèses : on évalue tout l’intérieur d’abord).

✎ Exercice S.2 #Socle · O1 · ★★☆

Développer $(x + 5)^2$ .
Développer $(3t - 4)(3t + 4)$ .
Factoriser $4y^2 + 12y$ .

Retourne à la théorie du cours : Distributivité : ce qui peut être propagé.

Question à te poser.

Pour développer, quelle identité remarquable peux-tu utiliser ?

Pour factoriser, quel facteur commun peux-tu mettre en évidence ?

Étape.

En (a), pense à $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ; en (b), à $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ ; en (c), le plus grand facteur commun de $4y^2$ et $12y$ est $4y$ : mets-le en évidence.

$(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25$ .
$(3t - 4)(3t + 4) = 9t^2 - 16$ .
$4y^2 + 12y = 4y(y + 3)$ .

Écrire $(x + 5)^2 = x^2 + 25$ (oubli du double produit $2 \cdot x \cdot 5 = 10x$ ).

✎ Exercice S.3 #Socle · O1 · ★★☆

Calculer puis simplifier, en donnant une fraction irréductible.

$\dfrac{45}{60}$
$\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{8}$
$\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{4}{9}$
$\dfrac{6}{7} : \dfrac{9}{14}$
$\left(\dfrac{5}{4} - \dfrac{6}{3}\right) : \dfrac{1}{2}$

Retourne à la théorie du cours : Fractions équivalentes et simplification, Addition et soustraction de fractions et Produit et quotient de fractions.

Question à te poser.

Quelle est la première chose à faire : simplifier la (ou les) fractions, mettre au même dénominateur, renverser une fraction ?

Étape.

simplifie par un facteur commun ;
prends $24$ comme dénominateur commun ;
multiplie numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux ;
multiplie par l’inverse de la seconde fraction.

$\dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4}$ .
$\dfrac{20}{24} - \dfrac{9}{24} = \dfrac{11}{24}$ .
$\dfrac{3 \cdot 4}{8 \cdot 9} = \dfrac{12}{72} = \dfrac{1}{6}$ .
$\dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{14}{9} = \dfrac{84}{63} = \dfrac{4}{3}$ .
$\dfrac{6}{3} = 2$ , donc $\dfrac{5}{4} - \dfrac{6}{3}=\dfrac{5}{4} - 2 = -\dfrac{3}{4}$ ; puis $-\dfrac{3}{4} : \dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{4} \cdot 2 = -\dfrac{3}{2}$ .

Additionner numérateurs et dénominateurs ( $\frac56 - \frac38 \ne \frac{2}{14}$ ).

✎ Exercice S.4 #Socle · O2 · ★★☆

Écrire $\dfrac{2}{5}$ sous forme décimale, puis en pourcentage.
Ranger du plus petit au plus grand : $\dfrac{3}{5}$ , $\ 0{,}55$ , $\ 65\,\%$ .
On augmente $80$ de $25\,\%$ , puis on diminue le résultat de $25\,\%$ . Retombe-t-on sur $80$ ?
Après une baisse de $20\,\%$ , une quantité vaut $96$ . Quelle était sa valeur initiale ?

Retourne à la théorie du cours : Fractions : quel est leur sens ? et Pourcentages.

Question à te poser.

Sous quelle forme commune écrire les nombres de (b) pour pouvoir les comparer ?

En (c) et (d), augmenter ou diminuer d’un pourcentage : est-ce ajouter/retrancher, ou multiplier ?

Étape.

Pour (a) et (b), ramène chaque nombre à un décimal. En (c), multiplie $80$ par $1{,}25$ puis par $0{,}75$ . En (d), écris l’équation $0{,}80 \cdot x = 96$ et isole $x$ .

$\dfrac{2}{5} = 0{,}4 = 40\,\%$ .
$\dfrac{3}{5} = 0{,}60$ et $65\,\% = 0{,}65$ ; d’où $0{,}55 < \dfrac{3}{5} < 65\,\%$ .
$80 \cdot 1{,}25 \cdot 0{,}75 = 75 \ne 80$ : non. La baisse de $25\,\%$ ne compense pas la hausse parce qu’elle porte sur une valeur plus grande ( $100$ ) que celle de départ ( $80$ ) : on retranche $25\,\%$ de $100 = 25$ , alors qu’on n’avait ajouté que $25\,\%$ de $80 = 20$ . Deux variations en pourcentage se composent (on multiplie les facteurs $1{,}25$ et $0{,}75$ ), elles ne s’additionnent pas.
On cherche $x$ tel que $0{,}80 \cdot x = 96$ , d’où $x = 96 : 0{,}80 = 120$ . La valeur initiale est donc $120$ .

Comparer des écritures différentes sans les ramener à une forme commune ; composer des pourcentages par addition ( $+25 - 25 = 0$ ) ; appliquer le pourcentage à la valeur finale au lieu de l’initiale.

✎ Exercice S.5 #Socle · O1 · ★★☆

Écrire sous la forme d’une seule puissance.

$\dfrac{2^5}{2^3}$
$\left(3^2\right)^3$
$4^{-2}$
$\dfrac{b^7 \cdot b^{-3}}{b^2}$ (avec $b \ne 0$ )

Retourne à la théorie du cours : Puissances.

Question à te poser.

Quelle est la structure de l’expression : un quotient, un produit, une puissance de puissance ? À chaque structure correspond une règle : laquelle ?

Étape.

Applique $a^m : a^n = a^{m-n}$ en (a) ; $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$ en (b) ; $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ en (c) ; en (d), regroupe les exposants du haut et retranche celui du bas.

$2^{5-3} = 2^2 = 4$ .
$3^{2 \cdot 3} = 3^6 = 729$ .
$\dfrac{1}{4^2} = \dfrac{1}{16}$ .
$b^{7 - 3 - 2} = b^2$ .

Confondre $a^m a^n$ (on ajoute) et $\left(a^m\right)^n$ (on multiplie).

✎ Exercice S.6 #Socle · O3 · ★★☆

Calculer $\sqrt{(-7)^2}$ et $\sqrt{(2 - 9)^2}$ .
Écrire en notation scientifique : $0{,}00058$ ; puis $(6 \times 10^{4}) \cdot (5 \times 10^{-7})$ .
Estimer l’ordre de grandeur de $\dfrac{3{,}9 \times 10^{5}}{1{,}9 \times 10^{2}}$ .

Retourne à la théorie du cours : Valeur absolue, Notation scientifique et Ordres de grandeur et estimations.

Question à te poser.

Quel est le signe d’une racine carrée ?

Par quelle puissance de $10$ faut-il multiplier pour amener le facteur entre $1$ et $10$ ? Comment se combinent les puissances de $10$ dans un produit ou un quotient ?

Étape.

En (a), $\sqrt{x^2} = |x|$ . En (b), compte les déplacements de la virgule pour l’exposant de $10$ , et vérifie que le facteur est dans $[1, 10[$ . En (c), arrondis chaque nombre à un chiffre, puis soustrais les exposants de $10$ .

$\sqrt{(-7)^2} = |-7| = 7$ ; $\sqrt{(2 - 9)^2} = |2 - 9| = |-7| = 7$ .
$0{,}00058 = 5{,}8 \times 10^{-4}$ ; $(6 \times 10^{4}) \cdot (5 \times 10^{-7}) = 30 \times 10^{-3} = 3 \times 10^{-2}$ .
$\dfrac{3{,}9 \times 10^{5}}{1{,}9 \times 10^{2}} \approx \dfrac{4 \times 10^{5}}{2 \times 10^{2}} = 2 \times 10^{3}$ .

Écrire $\sqrt{x^2} = x$ (faux si $x < 0$ ) ; laisser $30 \times 10^{-3}$ (le facteur doit être dans $[1, 10[$ ) ; se tromper en soustrayant les exposants de $10$ .

✎ Exercice S.7 #Socle · O4 · ★☆☆

Convertir en radians : $60°$ , $90°$ , $120°$ , $270°$ .
Convertir en degrés : $\dfrac{\pi}{6}$ , $\dfrac{3\pi}{4}$ , $\dfrac{3\pi}{2}$ , $2\pi$ .

Retourne à la théorie du cours : Cercle trigonométrique.

Question à te poser.

À combien de radians correspond un angle plat de $180°$ ?

Étape.

$180°$ correspond à $\pi$ rad. On applique ensuite une règle de troi.

$\dfrac{\pi}{3}$ , $\ \dfrac{\pi}{2}$ , $\ \dfrac{2\pi}{3}$ , $\ \dfrac{3\pi}{2}$ .
$30°$ , $\ 135°$ , $\ 270°$ , $\ 360°$ .

✎ Exercice S.8 #Socle · O4 · ★★☆

Donner $\cos\theta$ et $\sin\theta$ pour $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ , $\dfrac{\pi}{4}$ , $\dfrac{\pi}{3}$ .
Un point du cercle trigonométrique a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2},\ -\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ . Quel angle $\theta \in [0,\ 2\pi[$ ?
Même question pour $(0,\ -1)$ .

Retourne à la théorie du cours : Cercle trigonométrique et Angles et valeurs remarquables.

Question à te poser.

Sur le cercle, laquelle des deux coordonnées est le cosinus, laquelle est le sinus ?

Étape.

Le point du cercle d’angle $\theta$ est $(\cos\theta,\ \sin\theta)$ . Compare chaque couple donné à la table des valeurs remarquables, et repère le quadrant.

dans l’ordre de l’énoncé: $\cos: \dfrac{\sqrt3}{2},\ \dfrac{\sqrt2}{2},\ \dfrac{1}{2}$ ; $\sin : \dfrac{1}{2},\ \dfrac{\sqrt2}{2},\ \dfrac{\sqrt3}{2}$ .
$\theta=\dfrac{5\pi}{3}$ .
$\theta = \dfrac{3\pi}{2}$ : le point $(0,\ -1)$ est tout en bas du cercle, d’abscisse nulle ( $\cos\theta = 0$ ) et d’ordonnée $-1$ ( $\sin\theta = -1$ ), soit trois quarts de tour depuis $(1, 0)$ .

Confondre $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{3}$ en intervertissant $\cos$ (abscisse) et $\sin$ (ordonnée).

✎ Exercice S.9 #Socle · O4 · ★★☆

Pour chacun des quatre quadrants, donner les signes de $\cos\theta$ et de $\sin\theta$ .
À partir des valeurs remarquables et des symétries, donner $\cos$ et $\sin$ de $135°$ et de $-\dfrac{\pi}{6}$ .

Retourne à la théorie du cours : Signes et Symétries.

Question à te poser.

Dans quel quadrant $\cos$ (resp. $\sin$ ) est-il positif ? De quel angle remarquable $135°$ est-il le supplémentaire ? Et $-\dfrac{\pi}{6}$ , de quel angle est-il l’opposé ?

Étape.

Pour $135° = 180° - 45°$ , applique $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ et $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ . Pour $-\dfrac{\pi}{6}$ , applique $\cos(-\theta) = \cos\theta$ et $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ .

Sur le cercle, $\cos\theta$ est l’abscisse du point (positive à droite de l’axe vertical, négative à gauche) et $\sin\theta$ son ordonnée (positive au-dessus de l’axe horizontal, négative en dessous). D’où : I : $(\cos > 0,\ \sin > 0)$ ; II : $(\cos < 0,\ \sin > 0)$ ; III : $(\cos < 0,\ \sin < 0)$ ; IV : $(\cos > 0,\ \sin < 0)$ .
$\cos(135°) = -\dfrac{\sqrt2}{2}$ , $\sin(135°) = \dfrac{\sqrt2}{2}$ ; $\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt3}{2}$ , $\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}$ .

Se tromper de signe selon le quadrant ; confondre la symétrie des angles opposés et celle des supplémentaires.

✎ Exercice S.10 #Socle · O4 · ★★☆

Dans un triangle rectangle en $B$ avec $|AB| = 5$ , $|BC| = 12$ et $|AC| = 13$ , calculer $\sin(\widehat{BAC})$ , $\cos(\widehat{BAC})$ et $\tan(\widehat{BAC})$ .
Exprimer $\tan\theta$ en fonction de $\sin\theta$ et $\cos\theta$ ; pour quels $\theta$ n’est-elle pas définie ?
Si $\cos\theta = \dfrac{8}{17}$ et $\theta \in \left[0,\ \tfrac{\pi}{2}\right]$ , calculer $\sin\theta$ .

Retourne à la théorie du cours : Cercle trigonométrique, Tangente et Périodicité et identité fondamentale.

Question à te poser.

Dans un triangle rectangle, quel rapport de côtés donne le sinus ? le cosinus ? Comment obtient-on la tangente à partir des deux ? Quelle relation lie $\sin^2\theta$ et $\cos^2\theta$ ?

Étape.

$\sin = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ , $\cos = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ , $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ . En (c), tire $\sin\theta$ de $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ et fixe son signe par le quadrant.

$\sin(\widehat{BAC}) = \dfrac{|BC|}{|AC|} = \dfrac{12}{13}$ ; $\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{|AB|}{|AC|} = \dfrac{5}{13}$ ; $\tan(\widehat{BAC}) = \dfrac{12}{5}$ .
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ ; elle n’est pas définie là où $\cos\theta = 0$ , c’est-à-dire pour $\theta = \tfrac{\pi}{2} + k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ), car on diviserait alors par zéro.
On a que $\sin^2(\theta)=1-\left(\dfrac{8}{17}\right)^2=1-\dfrac{64}{289}=\dfrac{225}{289}$ . Comme $\theta$ est dans le premier quadrant, son sinus est positif. Donc $\sin\theta = \sqrt{\tfrac{225}{289}} = \dfrac{15}{17}$ .

Inverser côté opposé et côté adjacent ; oublier le signe donné par le quadrant en (c).

Transfert — problèmes

✎ Exercice T.1 #Transfert · O3 · ★★☆

On dispose d’une solution mère à $25$ mg/mL. On veut préparer $200$ mL d’une solution à $4$ mg/mL.

Quel volume de solution mère faut-il prélever ?
Un·e étudiant·e trouve $320$ mL. Quel contrôle rapide montre, sans refaire le calcul, que c’est faux ?

Retourne à la théorie du cours : Retour à la dilution, Unités et dimensions et Ordres de grandeur et estimations.

Question à te poser.

Dans la solution mère combien de mg y a-t-il par mL? La solution fille étant moins concentrée, le volume prélevé est-il plus grand ou plus petit que $200$ mL ?

Étape.

Applique une règle de trois à partir de $1\text{mL}\longrightarrow 25\text{mg}$ . Ou bien applique la formule $C_1V_1=C_2V_2$ .

On veut avoiru une solution de $200\text{mL}$ avec $1\text{mL}\longrightarrow 4\text{mg}$ . Donc dans cette solution aura $800\text{mg}$ de soluté. Ainsi, puisque $800=25\cdot 32$ , on aura besoin de prélever $32\text{mL}$ de la solution mère.
On ne peut pas prélever $320$ mL pour obtenir seulement $200$ mL : le volume prélevé doit être inférieur au volume final. L’ordre de grandeur (et la contrainte volumique) tranche immédiatement.

Prélever plus que le volume final ; mélanger les unités de concentration et de volume.

✎ Exercice T.2 #Transfert · O2 · ★★☆

Le prix d’un consommable de laboratoire est de $5$ €/L. Il augmente de $10\,\%$ un mois, puis baisse de $10\,\%$ le mois suivant.

Quel est le prix final ? Est-on revenu à $5$ €/L ?
De quel pourcentage global le prix a-t-il varié entre le début et la fin ?

Retourne à la théorie du cours : Pourcentages.

Question à te poser.

Deux variations successives en pourcentage, est-ce que ça s’ajoute ou est-ce que ça se multiplie ?

Étape.

Traduis chaque variation en un facteur : $+10\,\% \to \times 1{,}1$ et $-10\,\% \to \times 0{,}9$ , puis multiplie-les.

$5 \cdot 1{,}1 \cdot 0{,}9 = 4{,}95$ €/L : non, on ne revient pas à $5$ €/L. La baisse de $10\,\%$ porte sur le prix déjà augmenté ( $5{,}50$ €/L), donc elle retire plus ( $0{,}55$ €) que la hausse n’avait ajouté ( $0{,}50$ €).
$1{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}99$ : le prix a baissé de $1\,\%$ au total. Deux variations successives se multiplient (facteurs $1{,}1$ puis $0{,}9$ ), et $0{,}99 = 1 - 0{,}01$ traduit bien un $-1\,\%$ global.

Croire que $+10\,\%$ puis $-10\,\%$ s’annulent ( $+10 - 10 = 0$ ).

✎ Exercice T.3 #Transfert · O3 · ★★☆

Une posologie¹ est de $5$ mg par kilogramme de masse corporelle et par jour, répartie en $2$ prises égales.

Pour un patient de $70$ kg, quelle est la masse de principe actif par prise ?
Un·e étudiant·e propose $17{,}5$ g par prise. Quel contrôle révèle aussitôt l’erreur ?

Retourne à la théorie du cours : Unités et dimensions et Comment détecter une erreur ?

Question à te poser.

Quelles unités faut-il combiner pour obtenir une masse par jour ? Que reste-t-il à faire pour passer à une masse par prise ?

Étape.

Multiplie la posologie ( $\text{mg}/\text{kg}/\text{jour}$ ) par la masse (kg) pour obtenir des mg par jour, puis divise par le nombre de prises.

$5 \cdot 70 = 350$ mg par jour, soit $350 : 2 = 175$ mg par prise.
$17{,}5$ g $= 17\,500$ mg : c’est cent fois trop. L’ordre de grandeur et l’unité (g au lieu de mg) trahissent l’erreur immédiatement.

Oublier de diviser par le nombre de prises ; mélanger g et mg.

✎ Exercice T.4 #Transfert · O4 · ★★☆

Une rampe rectiligne fait un angle de $30°$ avec le sol horizontal et mesure $8$ m de long.

Quelle hauteur cette rampe permet-elle de franchir ?
Quelle est son emprise au sol (c’est à dire distance horizontale) ?

Retourne à la théorie du cours : Cercle trigonométrique.

Question à te poser.

Dans le triangle rectangle formé, la rampe est-elle l’hypoténuse, le côté adjacent ou le côté opposé ? La hauteur correspond-elle au côté opposé ou adjacent à l’angle de $30°$ ?

Étape.

La rampe est l’hypoténuse : hauteur $= 8 \sin(30°)$ (côté opposé), emprise $= 8 \cos(30°)$ (côté adjacent).

Hauteur $= 8 \sin(30°) = 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 4$ m.
Emprise $= 8 \cos(30°) = 8 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt3 \approx 6{,}9$ m.

Inverser $\sin$ (hauteur) et $\cos$ (emprise) ; ne pas identifier correctement l’hypothénuse dans cette configuration.

Exercices supplémentaires

Ces exercices restent dans les objectifs de la séance : à faire une fois le socle et le transfert bouclés, en séance ou à la maison.

Renforcement — le socle, un cran plus loin

✎ Exercice R.1 #Renforcement · O1 · ★★☆

Pour chaque égalité, dis si elle est vraie ou fausse, et nomme la propriété (ou son absence) en jeu.

$(20 - 8) - 5 = 20 - (8 - 5)$
$10 - 4 = 4 - 10$
$3 \cdot (6 + 4) = 3 \cdot 6 + 3 \cdot 4$
$(30 + 12) : 6 = 30 : 6 + 12 : 6$
$48 : (8 : 2) = (48 : 8) : 2$
$60 : (4 + 6) = 60 : 4 + 60 : 6$

Retourne à la théorie du cours : Associativité, Commutativité et Distributivité. La soustraction et la division ne sont ni associatives ni commutatives ; la division est distributive à droite seulement.

Faux : à gauche $(20 - 8) - 5 = 7$ , à droite $20 - (8 - 5) = 17$ . Déplacer les parenthèses change le résultat : la soustraction n’est pas associative.
Faux : $10 - 4 = 6$ tandis que $4 - 10 = -6$ . L’ordre des termes compte : la soustraction n’est pas commutative.
Vrai : $3 \cdot (6 + 4) = 3 \cdot 10 = 30$ et $3 \cdot 6 + 3 \cdot 4 = 18 + 12 = 30$ . C’est la distributivité de la multiplication sur l’addition.
Vrai : $(30 + 12) : 6 = 42 : 6 = 7$ et $30 : 6 + 12 : 6 = 5 + 2 = 7$ . La division est distributive à droite, c’est-à-dire quand la somme est au numérateur.
Faux : $48 : (8 : 2) = 48 : 4 = 12$ mais $(48 : 8) : 2 = 6 : 2 = 3$ . La division n’est pas associative.
Faux : $60 : (4 + 6) = 60 : 10 = 6$ mais $60 : 4 + 60 : 6 = 15 + 10 = 25$ . La division n’est pas distributive à gauche (somme au dénominateur) : c’est le piège classique.

Croire que la division « se distribue » sur une somme au dénominateur : $60 : (4 + 6) \ne 60 : 4 + 60 : 6$ .

✎ Exercice R.2 #Renforcement · O1 · ★★☆

Développer $(2x - 3)^2$ .
Développer $(5 + 2b)(5 - 2b)$ .
Factoriser $7a^2 - 28$ .
Factoriser $6x^2 + 15x$ .

Retourne à la théorie du cours : Distributivité et identités remarquables. Pour factoriser, cherche d’abord un facteur commun, puis reconnais une éventuelle différence de carrés.

$4x^2 - 12x + 9$ .
$25 - 4b^2$ .
$7(a^2 - 4) = 7(a - 2)(a + 2)$ .
$3x(2x + 5)$ .

En (a), oublier le double produit $2 \cdot 2x \cdot 3 = 12x$ ; en (c), s’arrêter à $7(a^2 - 4)$ sans reconnaître la différence de carrés.

✎ Exercice R.3 #Renforcement · O1 · ★★☆

Réduis au même dénominateur, puis simplifie si possible.

$\dfrac{3}{x + 2} - \dfrac{6}{x - 2}$
$\dfrac{3}{x + 2} : \dfrac{6}{x - 2}$

Retourne à la théorie du cours : Addition et soustraction de fractions et Produit et quotient de fractions. Diviser, c’est multiplier par l’inverse.

$\dfrac{3(x - 2) - 6(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \dfrac{-3x - 18}{x^2 - 4}$ .
$\dfrac{3}{x + 2} \cdot \dfrac{x - 2}{6} = \dfrac{x - 2}{2(x + 2)}$ .

Additionner numérateurs et dénominateurs entre eux ; « simplifier en diagonale » dans la soustraction (a) — ce n’est permis que dans un produit.

✎ Exercice R.4 #Renforcement · O1 · ★★☆

Calcule, ou écris comme une seule puissance (avec $x \ne 0$ ).

$16^{3/4}$
$125^{-2/3}$
$\dfrac{\left(x^4\right)^2 \cdot x^{-3}}{x^2}$

Retourne à la théorie du cours : Puissances et Racines et exposants rationnels. Rappelle-toi $x^{p/q} = \sqrt[q]{x^{\,p}}$ et $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ .

$16^{3/4} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8$ .
$125^{-2/3} = \dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{125}\right)^2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}$ .
$\dfrac{x^{8} \cdot x^{-3}}{x^2} = x^{8 - 3 - 2} = x^3$ .

Confondre $\left(x^4\right)^2$ (on multiplie : $x^8$ ) et $x^4 \cdot x^2$ (on ajoute : $x^6$ ).

✎ Exercice R.5 #Renforcement · O3 · ★★★

Montre qu’on ne peut pas avoir $\sqrt{x^2} = x$ pour tout $x$ , en testant $x = -3$ .
Énonce la règle correcte, puis calcule $\sqrt{(5 - 9)^2}$ .

Retourne à la théorie du cours : Valeur absolue. Une racine carrée est toujours positive.

Pour $x = -3$ : d’un côté $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$ ; de l’autre, l’hypothèse donnerait $-3$ . On aurait $3 = -3$ , ce qui est absurde. L’égalité $\sqrt{x^2} = x$ est donc fausse dès que $x < 0$ .
La règle correcte est $\sqrt{x^2} = |x|$ . Donc $\sqrt{(5 - 9)^2} = |5 - 9| = |-4| = 4$ .

Écrire $\sqrt{x^2} = x$ sans valeur absolue : c’est faux pour tout $x < 0$ .

✎ Exercice R.6 #Renforcement · O2 · ★★☆

Écris $\dfrac{5}{8}$ en décimal et en pourcentage ; écris $0{,}45$ en fraction irréductible et en pourcentage.
Prendre $\dfrac{2}{5}$ de $35$ mL : combien de mL ?
Après une hausse de $25\,\%$ , une population de bactéries atteint $500$ . Quel était l’effectif initial ?

Retourne à la théorie du cours : Fractions : quel est leur sens ? et Pourcentages. Pour retrouver la valeur initiale, résous $\left(1 + \tfrac{p}{100}\right) \cdot x = y$ .

$\dfrac{5}{8} = 0{,}625 = 62{,}5\,\%$ ; $0{,}45 = \dfrac{9}{20} = 45\,\%$ .
$\dfrac{2}{5} \cdot 35 = 14$ mL.
$1{,}25 \cdot x = 500$ , d’où $x = 500 : 1{,}25 = 400$ .

Retirer $25\,\%$ de la valeur finale ( $500 - 0{,}25 \cdot 500 = 375$ ) au lieu de l’initiale.

✎ Exercice R.7 #Renforcement · O3 · ★★☆

Calcule, en notation scientifique : $(4 \times 10^{7}) \cdot (2{,}5 \times 10^{-3})$ .
Estime (sans calculatrice) $\dfrac{5{,}1 \times 10^{6}}{2{,}05 \times 10^{2}}$ .
Une longueur est mesurée au dixième de millimètre près. Est-il justifié d’annoncer le résultat final d’un calcul au nanomètre près ? Explique.

Retourne à la théorie du cours : Notation scientifique, Ordres de grandeur et estimations et Chiffres significatifs. La précision d’un résultat ne peut excéder celle des données.

$4 \cdot 2{,}5 \times 10^{7 - 3} = 10 \times 10^{4} = 1 \times 10^{5}$ .
$\approx \dfrac{5 \times 10^{6}}{2 \times 10^{2}} = 2{,}5 \times 10^{4}$ .
Non : un résultat calculé ne peut pas être plus précis que les données qui l’alimentent (règle des chiffres significatifs). Le dixième de millimètre ( $10^{-4}$ m) est un million de fois plus grossier que le nanomètre ( $10^{-9}$ m) ; annoncer le résultat « au nanomètre près » afficherait des décimales que la mesure ne garantit pas — c’est une fausse précision.

Laisser $10 \times 10^{4}$ (le $a$ doit être dans $[1, 10[$ ) ; confondre précision affichée et exactitude réelle.

✎ Exercice R.8 #Renforcement · O4 · ★★☆

Ramène-toi à un angle du premier quandrant : $\cos(420°)$ et $\sin\!\left(\dfrac{7\pi}{3}\right)$ .
On sait que $\cos\theta = \dfrac{3}{5}$ et que $\theta \in \left[0,\ \tfrac{\pi}{2}\right]$ . Calcule $\sin\theta$ , puis $\tan\theta$ .

Retourne à la théorie du cours : Périodicité et identité fondamentale et Tangente. Périodicité : on peut retrancher un tour ( $2\pi$ ou $360°$ ). Identité : $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ .

$\cos(420°) = \cos(420° - 360°) = \cos(60°) = \dfrac{1}{2}$ ; $\sin\!\left(\dfrac{7\pi}{3}\right) = \sin\!\left(\dfrac{7\pi}{3} - 2\pi\right) = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}$ .
$\sin\theta = \sqrt{1 - \tfrac{9}{25}} = \sqrt{\tfrac{16}{25}} = \dfrac{4}{5}$ (positif au quadrant I) ; $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{4/5}{3/5} = \dfrac{4}{3}$ .

Oublier de ramener l’angle dans un tour avant de lire la valeur ; prendre $\sin\theta$ négatif au quadrant I.

✎ Exercice R.9 #Renforcement · O4 · ★★☆

Donne $\tan\theta$ pour $\theta = 0,\ \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{\pi}{3}$ .
Pourquoi $\tan\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ n’existe-t-elle pas ?

Retourne à la théorie du cours : Tangente. Rappelle-toi $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ .

$\tan 0 = 0$ ; $\tan\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{\sqrt3}{3}$ ; $\tan\dfrac{\pi}{4} = 1$ ; $\tan\dfrac{\pi}{3} = \sqrt3$ .
$\cos\dfrac{\pi}{2} = 0$ , donc $\tan\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\sin(\pi/2)}{\cos(\pi/2)} = \dfrac{1}{0}$ serait une division par zéro : $\tan\dfrac{\pi}{2}$ n’existe pas.

Écrire $\tan\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{\sqrt3}$ (c’est $\tan\dfrac{\pi}{6}$ ) : $\tan$ croît de $0$ à $\dfrac{\pi}{2}$ .

✎ Exercice R.10 #Renforcement · O4 · ★★★

On sait que $\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$ et que $\theta \in \left[\dfrac{\pi}{2},\ \pi\right]$ .

Calcule $\sin\theta$ .
Donne la valeur exacte de $\theta$ .
Déduis-en $\cos(-\theta)$ et $\sin(\pi - \theta)$ .

Retourne à la théorie du cours : Identité fondamentale, Signes et Symétries. Le quadrant fixe le signe de $\sin\theta$ .

$\sin^2\theta = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ , donc $\sin\theta = \pm\dfrac{\sqrt3}{2}$ . Au quadrant II, $\sin\theta > 0$ : $\sin\theta = \dfrac{\sqrt3}{2}$ .
L’angle du quadrant II dont le cosinus vaut $-\dfrac{1}{2}$ est $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ ( $= 120°$ ).
$\cos(-\theta) = \cos\theta = -\dfrac{1}{2}$ (angles opposés) ; $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta = \dfrac{\sqrt3}{2}$ (angles supplémentaires).

Garder $\sin\theta < 0$ en oubliant que le sinus est positif au quadrant II.

✎ Exercice R.11 #Renforcement · O1 · ★★☆

Calculer, dans $\mathbb{R}$ : $\sqrt{16}$ , $\sqrt[3]{-8}$ , $\sqrt{-4}$ .
Écrire $8^{2/3}$ comme une racine, puis calculer.
Calculer $81^{-1/4}$ .

Retourne à la théorie du cours : Racines et exposants rationnels.

Une racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie dans $\mathbb{R}$ .

$x^{p/q} = \sqrt[q]{x^{\,p}}$ .

$\sqrt{16} = 4$ ; $\sqrt[3]{-8} = -2$ (un indice impair accepte un radicande négatif, car $(-2)^3 = -8$ ) ; $\sqrt{-4}$ est non défini dans $\mathbb{R}$ : aucun réel élevé au carré ne donne un nombre négatif (un carré est toujours $\ge 0$ ).
$8^{2/3} = \sqrt[3]{8^2} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$ .
$81^{-1/4} = \dfrac{1}{\sqrt[4]{81}} = \dfrac{1}{3}$ .

Vouloir calculer $\sqrt{-4}$ dans $\mathbb{R}$ ; écrire $\sqrt{x^2} = x$ sans valeur absolue : $\sqrt{x^2} = |x|$ .

✎ Exercice R.12 #Renforcement · O4 · ★★☆

Un déplacement de longueur $12$ fait un angle de $60°$ avec l’horizontale.

Exprimer ses composantes horizontale et verticale à l’aide de $\cos$ et $\sin$ .
Les calculer.

Retourne à la théorie du cours : Pourquoi s’intéresser aux angles ? et Cercle trigonométrique.

Sur le triangle rectangle formé par la projection : la composante horizontale est le côté adjacent à l’angle, la verticale le côté opposé. Donc horizontale $= 12\cos(60°)$ , verticale $= 12\sin(60°)$ .

Horizontale $= 12\cos(60°)$ ; verticale $= 12\sin(60°)$ .
$12 \cdot \dfrac{1}{2} = 6$ ; $12 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 6\sqrt3 \approx 10{,}4$ .

Inverser $\cos$ (horizontale) et $\sin$ (verticale) ; confondre l’angle avec l’horizontale et avec la verticale.

Footnotes

Quantité exacte d’un médicament à prendre, la fréquence des prises et la durée du traitement.↩︎