Séance 2 — Calcul fiable et trigonométrie

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Méthodes de la séance — correctif (PDF)

Développer et factoriserO1

Quand l'utiliser ?

Dès qu’il faut transformer une expression algébrique : passer d’un produit à une somme (développer) ou d’une somme à un produit (factoriser, ou mettre en évidence).

Déplier le corrigé — étapes, exemple, piège

Étapes

1. Décide du sens voulu : développer (produit → somme) ou factoriser (somme → produit).
2. Pour développer, applique la distributivité $a(b \pm c) = ab \pm ac$, la double distributivité $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$, ou une identité remarquable : $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ et $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
3. Pour factoriser, mets d’abord en évidence le facteur commun, puis regarde si le reste est une identité remarquable.
4. (Optionnelle) Contrôle en redéveloppant : tu dois retomber sur l’expression de départ.

Exemple

$(2a + 5)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = 4a^2 + 20a + 25$. Dans l’autre sens, $6x^2 + 15x = 3x\,(2x + 5)$ (facteur commun $3x$).

Le piège

Oublier le double produit dans $(a \pm b)^2$ — écrire $x^2 + 25$ pour $(x + 5)^2$. Et « simplifier » un terme d’une somme comme s’il s’agissait d’un facteur.

Calculer avec des fractionsO1

Quand l'utiliser ?

Dès qu’une expression contient des fractions à simplifier, additionner, soustraire, multiplier ou diviser.

Déplier le corrigé — étapes, exemple, piège

Étapes

1. Simplifie d’abord : divise le haut et le bas par un facteur commun (jamais un terme d’une somme).
2. Pour une somme ou une différence, passe par le dénominateur commun : $\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad \pm bc}{bd}$.
3. Pour un produit, multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ; simplifie « en diagonale » avant de multiplier si tu peux.
4. Pour un quotient, multiplie par l’inverse : $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$.

Exemple

$\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{20}{24} - \dfrac{9}{24} = \dfrac{11}{24}$ ; $\dfrac{6}{7} : \dfrac{9}{14} = \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{14}{9} = \dfrac{4}{3}$.

Le piège

Additionner les numérateurs et les dénominateurs entre eux ($\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \ne \frac{a+c}{b+d}$). Simplifier « en diagonale » ailleurs que dans un produit.

Changer d'écriture et manier les pourcentagesO2

Quand l'utiliser ?

Dès qu’on passe d’une écriture à une autre (fraction, décimal, pourcentage), qu’on compare de telles écritures, ou qu’on augmente / diminue / enchaîne des pourcentages.

Déplier le corrigé — étapes, exemple, piège

Étapes

1. Un pourcentage est une fraction de dénominateur $100$ : $\dfrac{p}{100}$. Fraction, décimal et pourcentage décrivent la même valeur — pour comparer, ramène tout à une écriture commune (des décimaux, par exemple).
2. Augmenter de $p\,\%$ = multiplier par $\left(1 + \tfrac{p}{100}\right)$ ; diminuer = multiplier par $\left(1 - \tfrac{p}{100}\right)$.
3. Des pourcentages successifs se composent par multiplication, pas par addition.
4. Pour retrouver la valeur initiale $x$ menant à $y$, résous $\left(1 \pm \tfrac{p}{100}\right) x = y$.

Exemple

$\dfrac{3}{4} = 0{,}75 = 75\,\%$. Augmenter de $20\,\%$ puis diminuer de $20\,\%$ : $\times 1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$ (une baisse de $4\,\%$, pas un retour au départ). Pour retrouver $x$ après une baisse de $20\,\%$ menant à $96$ : $0{,}80\,x = 96$, donc $x = 120$.

Le piège

Comparer deux écritures sans les ramener à une forme commune ; additionner des pourcentages successifs ; appliquer le pourcentage à la valeur finale au lieu de l’initiale.

Contrôler un résultatO3

Quand l'utiliser ?

Avant d’accepter tout résultat de calcul — surtout dans un problème, où une erreur d’unité ou de sens passe vite inaperçue.

Déplier le corrigé — étapes, exemple, piège

Étapes

1. Ordre de grandeur : arrondis chaque donnée à un chiffre, calcule les puissances de dix, et compare l’estimation à ton résultat.
2. Unités / dimensions : vérifie que les unités se combinent correctement et que le résultat porte la bonne unité.
3. Sens : le résultat va-t-il dans la direction attendue — plus grand ou plus petit, bon signe, contrainte respectée ?

Exemple

Pour préparer $200$ mL d’une solution diluée, le volume de solution mère prélevé doit être inférieur à $200$ mL : un résultat de $320$ mL est donc faux, sans même refaire le calcul.

Le piège

Oublier de convertir dans une unité commune avant d’additionner ou de comparer.

Se repérer sur le cercle trigonométriqueO4

Quand l'utiliser ?

Dès qu’il faut retrouver un $\cos$ ou un $\sin$, situer un angle, ou lire ses coordonnées sur le cercle.

Déplier le corrigé — étapes, exemple, piège

Étapes

1. Place l’angle sur le cercle, en radians ($180° = \pi$), dans le bon quadrant.
2. Lis $\cos\theta$ en abscisse et $\sin\theta$ en ordonnée ; le quadrant fixe les signes.
3. Appuie-toi sur les valeurs remarquables ($\tfrac{\pi}{6}, \tfrac{\pi}{4}, \tfrac{\pi}{3}$) et sur les symétries (angles opposés, supplémentaires, complémentaires) pour retrouver les autres.

Exemple

$150° = 180° - 30°$ (supplémentaire de $30°$), donc $\cos(150°) = -\dfrac{\sqrt3}{2}$ et $\sin(150°) = \dfrac{1}{2}$.

Le piège

Confondre $\cos$ (abscisse) et $\sin$ (ordonnée). Mélanger degrés et radians. Oublier le signe imposé par le quadrant.

Triangle rectangle et identité fondamentaleO4

Quand l'utiliser ?

Dès qu’il faut relier les côtés d’un triangle rectangle à un angle, calculer une tangente, ou passer de $\cos$ à $\sin$ (ou l’inverse).

Déplier le corrigé — étapes, exemple, piège

Étapes

1. Dans le triangle rectangle : $\sin = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$, $\cos = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ (indéfinie quand $\cos\theta = 0$, soit $\theta = \tfrac{\pi}{2} + k\pi$).
2. Pour passer de l’un à l’autre, utilise l’identité fondamentale $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
3. Fixe le signe par le quadrant (ou par « angle aigu » quand c’est le cas).

Exemple

Si $\cos\theta = \dfrac{3}{5}$ et $\theta$ aigu, alors $\sin\theta = \sqrt{1 - \tfrac{9}{25}} = \sqrt{\tfrac{16}{25}} = \dfrac{4}{5}$.

Le piège

Inverser côté opposé et côté adjacent. Oublier le signe imposé par le quadrant en tirant $\sin\theta$ de l’identité.