Séance 1 — Langage et raisonnement

Nier une proposition logiqueO2

Quand l'utiliser ?

Dès qu’on te demande la négation d’un énoncé.

Déplier le corrigé — étapes, exemple, piège

Étapes

Repère d’abord la structure de l’énoncé : quel est le connecteur principal ( $\land$ , $\lor$ , $\Rightarrow$ ) et quels sont les quantificateurs qui l’entourent ?
Fais entrer la négation une couche à la fois, de l’extérieur vers l’intérieur, avec les règles : $\lnot(\alpha\land \beta)$ devient $\lnot \alpha \lor \lnot \beta$ et $\lnot(\alpha\lor \beta)$ devient $\lnot \alpha \land \lnot \beta$ (lois de De Morgan) ; $\lnot(\alpha\Rightarrow \beta)$ devient $\alpha \land \lnot \beta$ ; $\lnot(\forall\, x,\ \alpha(x))$ devient $\exists\, x,\ \lnot \alpha(x)$ , et $\lnot(\exists\, x,\ \alpha(x))$ devient $\forall\, x,\ \lnot \alpha(x)$ .
Termine en niant les propositions sans connecteurs ni quantificateurs : $=$ devient $\ne$ , $<$ devient $\ge$ , $>$ devient $\le$ , et $\in$ devient $\notin$ .

Exemple

Nions $\forall\, e, (e>0\Rightarrow e^2>0)$ . Le quantificateur $\forall$ devient $\exists$ et on nie l’intérieur, ce qui donne d’abord $\exists\, e,\ \lnot(e>0\Rightarrow e^2>0)$ . Or la négation d’une implication $\alpha\Rightarrow \beta$ s’écrit $\alpha\land\lnot \beta$ ; on obtient donc $\exists\, e,\ (e>0\ \land\ \lnot\,(e^2>0))$ , c’est-à-dire $\exists\, e,\ (e>0\ \land\ e^2\le 0)$ .

Le piège

Un piège est de garder le même quantificateur en niant (laisser un $\forall$ là où il faut un $\exists$ ). Un autre est de nier une inégalité stricte par une autre stricte : la négation de $>$ n’est pas $<$ mais $\le$ , car il ne faut pas oublier le cas d’égalité.

Traduire une phrase en langage formelO1

Quand l'utiliser ?

Dès qu’une phrase de la vie courante contient un mot logique — « et », « ou », « si… alors », « non » — ou qu’elle parle d’un nombre qui appartient (ou non) à un ensemble.

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Étapes

Repère les connecteurs logiques et les quantificateurs : les connecteurs « et », « ou », « si… alors » ou les quantificateurs « pour tout », « il existe ».
Traduis ensuite chaque morceau séparément : une proposition simple devient une lettre ( $\alpha$ , $\beta$ …), « et » devient $\land$ , « ou » devient $\lor$ , « non » (ou « ne… pas ») devient $\lnot$ , et « si… alors » devient $\Rightarrow$ .
Relis pour vérifier le sens : demande-toi qui implique qui; parle-t-on d’un élément appartenant à un ensemble (relation $\in$ ) ou d’une relation entre plusieurs ensembles (relation $\subseteq$ )?

Exemple

Prenons « Le patient est malade mais son test est négatif ». On pose $\alpha$ = « le patient est malade » et $\beta$ = « le test est positif ». Le mot « mais » joue exactement le rôle d’un « et » : il relie deux faits vrais en même temps. « Négatif » est la négation de « positif ». La phrase se traduit donc par $\alpha \land \lnot\beta$ .

Le piège

Le mot « mais » exprime un contraste dans la langue, mais en logique il ne dit rien de plus que « et » : le traduire autrement est une erreur. Fais aussi attention à ne pas inverser le sens de l’implication (« si $\alpha$ alors $\beta$ » n’est pas la même chose que « si $\beta$ alors $\alpha$ »), et à ne pas confondre l’appartenance d’un élément ( $\in$ ) avec l’inclusion d’un ensemble ( $\subseteq$ ).

Décider l'appartenance à un intervalleO2

Quand l'utiliser ?

Dès qu’on te demande si un nombre appartient à un intervalle, par exemple « $x \in [a,b[$ ? ».

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Étapes

Traduis chaque crochet : un crochet fermé (tourné vers le nombre) signifie que la borne est incluse à l’intervall ; un crochet ouvert signifie qu’elle est exclue de l’intervalle.
Rappelle-toi qu’une borne infinie ( $+\infty$ ou $-\infty$ ) est toujours ouverte : l’infini n’est jamais dans un intervalle.
Compare le nombre à chaque borne et vérifie les deux conditions à la fois (au-dessus de la borne de gauche, en dessous de celle de droite), en tenant compte de l’inclusion ou de l’exclusion.

Exemple

On a $7\notin[3,\ 7[$ : en effet $7$ bien supérieur ou égal à $3$ ( $3\le 7$ ), mais il n’est pas strictement inférieur à $7$ ( $\neg(7<7)$ ). En revanche, $-2 \in\ ]{-}\infty,\ -2]$ : on a bien $-\infty<2$ et $2\le 2$ .

Le piège

Confondre crochet fermé et crochet ouvert est l’erreur la plus fréquente ; retiens que le crochet « s’ouvre » vers l’extérieur quand la borne est exclue. Et n’inclus jamais une borne infinie.

Réciproque, contraposée : laquelle est vraie ?O2

Quand l'utiliser ?

On te donne une implication « $\alpha \Rightarrow \beta$ » et on te demande sa réciproque ou sa contraposée. On te demande si l’une d’elles est vraie.

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Étapes

Pars de l’implication de départ, $\alpha \Rightarrow \beta$ .
Écris la réciproque en échangeant $\alpha$ et $\beta$ : elle s’écrit $\beta \Rightarrow \alpha$ .
Écris la contraposée en niant $\alpha$ et $\beta$ puis en les échangeant : elle s’écrit $\lnot\beta \Rightarrow \lnot\alpha$ .
Applique enfin la règle suivante : la contraposée est toujours équivalente à l’implication de départ (si l’une est vraie, l’autre l’est aussi). La validité de la réciproque d’une implication est indépendante de la validité de l’implication.

Exemple

Partons de « si $n$ est multiple de 4, alors $n$ est pair ». Sa contraposée est « si $n$ est impair, alors $n$ n’est pas multiple de 4 » : elle est vraie, tout comme l’implication de départ. Sa réciproque est « si $n$ est pair, alors $n$ est multiple de 4 » : elle est fausse, et $n = 6$ le montre ( $6$ est pair, mais pas multiple de 4).

Voici un exemple d’une implication vraie dont la réciproque est vraie. Considérons « si $n$ est divisible par 6, alors $n$ est divisible par 2 et par 3 ». Sa réciproque « si $n$ est divisible par 2 et 6, alors $n$ est divisible par 6 » est vraie aussi.

Le piège

L’erreur classique est de confondre réciproque et contraposée, ou de croire qu’une contraposée « pourrait être fausse » alors que l’implication de départ est vraie : c’est impossible, puisque toutes deux sont équivalentes.

Exemple, contre-exemple ou preuve d'un énoncé universel ?O3

Quand l'utiliser ?

Dès qu’on te propose un argument pour justifier (ou réfuter) un énoncé universel et qu’il faut juger si cet argument établit vraiment quelque chose.

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Étapes

Dans le cas d’une proposition universelle, regarde si l’argument traite un seul cas ou tous les cas à la fois : c’est ce qui décide de la valeur de l’argument. Dans un énoncé universel, une preuve doit analyser tous les cas.
Souviens-toi qu’un exemple (un cas qui marche) n’établit rien pour un énoncé universel : ce n’est pas une preuve.
Un contre-exemple (un seul cas qui échoue, mais dans le domaine de l’énoncé) suffit à le réfuter ; une preuve, elle, doit couvrir tous les cas pour l’établir.

Exemple

Pour l’énoncé « tout nombre premier est impair », le nombre $2$ est un contre-exemple : il est premier et pair, donc l’énoncé est faux. À l’inverse, remarquer que « $3$ est premier et impair » ne prouve rien — c’est un simple exemple parmi d’autres.

Le piège

Prendre un exemple pour une preuve est le piège majeur. Et n’oublie pas qu’un seul contre-exemple suffit à réfuter (inutile d’en chercher plusieurs), à condition qu’il appartienne bien au domaine de l’énoncé.