Socle — exercices routiniers

Séance 2 · à faire à ton rythme

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AstuceÀ lire d’abord

Cherche au brouillon d’abord. N’hésite pas à résoudre les exercices avec tes voisin.e.s. Ouvre les indices dans l’ordre (référence → question → étape → solution). La solution est le dernier recours.

Les exercices du socle sont des exercices routiniers, pour installer les automatismes. Résous-les à ton rythme. Si tu n’arrives pas au bout du socle lors de la séance, ce n’est pas grave: tu peux le poursuivre à domicile avec les coups de pouce et la solution finale.

Mise en garde✎ Exercice S.1 #Socle · O1 · ★★☆

Calculer.

  1. 7−3⋅227 - 3 \cdot 2^2
  2. (7−3)⋅22(7 - 3) \cdot 2^2
  3. (7−3⋅2)2(7 - 3 \cdot 2)^2
  4. 12:[10−(4+4)]2+4−4⋅(−2)12 : \sqrt{\left[10 - (4 + 4)\right]^2 + 4 - 4 \cdot (-2)}

Retourne à la théorie du cours : Expressions et priorités des opérations.

Question à te poser.

Dans quel ordre évalue-t-on une expression ?

Étape.

Évalue d’abord ce qui est entre parenthèses ; ensuite seulement les puissances, puis les multiplications, et enfin les additions et soustractions.

  1. 7−3⋅22=7−3⋅4=7−12=−57 - 3 \cdot 2^2 = 7 - 3 \cdot 4 = 7 - 12 = -5.
  2. (7−3)⋅22=4⋅4=16(7 - 3) \cdot 2^2 = 4 \cdot 4 = 16.
  3. (7−3⋅2)2=(7−6)2=12=1(7 - 3 \cdot 2)^2 = (7 - 6)^2 = 1^2 = 1.
  4. 10−(4+4)=210 - (4 + 4) = 2, donc [10−(4+4)]2=4\left[10 - (4 + 4)\right]^2 = 4 ; sous la racine 4+4−4⋅(−2)=4+4+8=164 + 4 - 4 \cdot (-2) = 4 + 4 + 8 = 16, puis 16=4\sqrt{16} = 4 et enfin 12:4=312 : 4 = 3.

Soustraire avant de multiplier en (a) ; en (c), distribuer le carré dans les parenthèses ; en (d), oublier que −4⋅(−2)=+8-\,4 \cdot (-2) = +8 ou diviser avant d’avoir évalué la racine (la barre de racine joue le rôle de parenthèses : on évalue tout l’intérieur d’abord).

Mise en garde✎ Exercice S.2 #Socle · O1 · ★★☆
  1. Développer (x+5)2(x + 5)^2.
  2. Développer (3t−4)(3t+4)(3t - 4)(3t + 4).
  3. Factoriser 4y2+12y4y^2 + 12y.

Retourne à la théorie du cours : Distributivité : ce qui peut être propagé.

Question à te poser.

Pour développer, quelle identité remarquable peux-tu utiliser ?

Pour factoriser, quel facteur commun peux-tu mettre en évidence ?

Étape.

En (a), pense à (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ; en (b), à (a−b)(a+b)=a2−b2(a - b)(a + b) = a^2 - b^2 ; en (c), le plus grand facteur commun de 4y24y^2 et 12y12y est 4y4y : mets-le en évidence.

  1. (x+5)2=x2+10x+25(x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25.
  2. (3t−4)(3t+4)=9t2−16(3t - 4)(3t + 4) = 9t^2 - 16.
  3. 4y2+12y=4y(y+3)4y^2 + 12y = 4y(y + 3).

Écrire (x+5)2=x2+25(x + 5)^2 = x^2 + 25 (oubli du double produit 2⋅x⋅5=10x2 \cdot x \cdot 5 = 10x).

Mise en garde✎ Exercice S.3 #Socle · O1 · ★★☆

Calculer puis simplifier, en donnant une fraction irréductible.

  1. 4560\dfrac{45}{60}
  2. 56−38\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{8}
  3. 38⋅49\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{4}{9}
  4. 67:914\dfrac{6}{7} : \dfrac{9}{14}
  5. (54−63):12\left(\dfrac{5}{4} - \dfrac{6}{3}\right) : \dfrac{1}{2}

Retourne à la théorie du cours : Fractions équivalentes et simplification, Addition et soustraction de fractions et Produit et quotient de fractions.

Question à te poser.

Quelle est la première chose à faire : simplifier la (ou les) fractions, mettre au même dénominateur, renverser une fraction ?

Étape.

  1. simplifie par un facteur commun ;
  2. prends 2424 comme dénominateur commun ;
  3. multiplie numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux ;
  4. multiplie par l’inverse de la seconde fraction.
  1. 4560=34\dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4}.
  2. 2024−924=1124\dfrac{20}{24} - \dfrac{9}{24} = \dfrac{11}{24}.
  3. 3⋅48⋅9=1272=16\dfrac{3 \cdot 4}{8 \cdot 9} = \dfrac{12}{72} = \dfrac{1}{6}.
  4. 67⋅149=8463=43\dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{14}{9} = \dfrac{84}{63} = \dfrac{4}{3}.
  5. 63=2\dfrac{6}{3} = 2, donc 54−63=54−2=−34\dfrac{5}{4} - \dfrac{6}{3}=\dfrac{5}{4} - 2 = -\dfrac{3}{4} ; puis −34:12=−34⋅2=−32-\dfrac{3}{4} : \dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{4} \cdot 2 = -\dfrac{3}{2}.

Additionner numérateurs et dénominateurs (56−38≠214\frac56 - \frac38 \ne \frac{2}{14}).

Mise en garde✎ Exercice S.4 #Socle · O2 · ★★☆
  1. Écrire 25\dfrac{2}{5} sous forme décimale, puis en pourcentage.
  2. Ranger du plus petit au plus grand : 35\dfrac{3}{5}, 0,55\ 0{,}55, 65%\ 65\,\%.
  3. On augmente 8080 de 25%25\,\%, puis on diminue le résultat de 25%25\,\%. Retombe-t-on sur 8080 ?
  4. Après une baisse de 20%20\,\%, une quantité vaut 9696. Quelle était sa valeur initiale ?

Retourne à la théorie du cours : Fractions : quel est leur sens ? et Pourcentages.

Question à te poser.

Sous quelle forme commune écrire les nombres de (b) pour pouvoir les comparer ?

En (c) et (d), augmenter ou diminuer d’un pourcentage : est-ce ajouter/retrancher, ou multiplier ?

Étape.

Pour (a) et (b), ramène chaque nombre à un décimal. En (c), multiplie 8080 par 1,251{,}25 puis par 0,750{,}75. En (d), écris l’équation 0,80⋅x=960{,}80 \cdot x = 96 et isole xx.

  1. 25=0,4=40%\dfrac{2}{5} = 0{,}4 = 40\,\%.
  2. 35=0,60\dfrac{3}{5} = 0{,}60 et 65%=0,6565\,\% = 0{,}65 ; d’où 0,55<35<65%0{,}55 < \dfrac{3}{5} < 65\,\%.
  3. 80⋅1,25⋅0,75=75≠8080 \cdot 1{,}25 \cdot 0{,}75 = 75 \ne 80 : non. La baisse de 25%25\,\% ne compense pas la hausse parce qu’elle porte sur une valeur plus grande (100100) que celle de départ (8080) : on retranche 25%25\,\% de 100=25100 = 25, alors qu’on n’avait ajouté que 25%25\,\% de 80=2080 = 20. Deux variations en pourcentage se composent (on multiplie les facteurs 1,251{,}25 et 0,750{,}75), elles ne s’additionnent pas.
  4. On cherche xx tel que 0,80⋅x=960{,}80 \cdot x = 96, d’où x=96:0,80=120x = 96 : 0{,}80 = 120. La valeur initiale est donc 120120.

Comparer des écritures différentes sans les ramener à une forme commune ; composer des pourcentages par addition (+25−25=0+25 - 25 = 0) ; appliquer le pourcentage à la valeur finale au lieu de l’initiale.

Mise en garde✎ Exercice S.5 #Socle · O1 · ★★☆

Écrire sous la forme d’une seule puissance.

  1. 2523\dfrac{2^5}{2^3}
  2. (32)3\left(3^2\right)^3
  3. 4−24^{-2}
  4. b7⋅b−3b2\dfrac{b^7 \cdot b^{-3}}{b^2} (avec b≠0b \ne 0)

Retourne à la théorie du cours : Puissances.

Question à te poser.

Quelle est la structure de l’expression : un quotient, un produit, une puissance de puissance ? À chaque structure correspond une règle : laquelle ?

Étape.

Applique am:an=am−na^m : a^n = a^{m-n} en (a) ; (am)n=amn\left(a^m\right)^n = a^{mn} en (b) ; a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^n} en (c) ; en (d), regroupe les exposants du haut et retranche celui du bas.

  1. 25−3=22=42^{5-3} = 2^2 = 4.
  2. 32⋅3=36=7293^{2 \cdot 3} = 3^6 = 729.
  3. 142=116\dfrac{1}{4^2} = \dfrac{1}{16}.
  4. b7−3−2=b2b^{7 - 3 - 2} = b^2.

Confondre amana^m a^n (on ajoute) et (am)n\left(a^m\right)^n (on multiplie).

Mise en garde✎ Exercice S.6 #Socle · O3 · ★★☆
  1. Calculer (−7)2\sqrt{(-7)^2} et (2−9)2\sqrt{(2 - 9)^2}.
  2. Écrire en notation scientifique : 0,000580{,}00058 ; puis (6×104)⋅(5×10−7)(6 \times 10^{4}) \cdot (5 \times 10^{-7}).
  3. Estimer l’ordre de grandeur de 3,9×1051,9×102\dfrac{3{,}9 \times 10^{5}}{1{,}9 \times 10^{2}}.

Retourne à la théorie du cours : Valeur absolue, Notation scientifique et Ordres de grandeur et estimations.

Question à te poser.

Quel est le signe d’une racine carrée ?

Par quelle puissance de 1010 faut-il multiplier pour amener le facteur entre 11 et 1010 ? Comment se combinent les puissances de 1010 dans un produit ou un quotient ?

Étape.

En (a), x2=|x|\sqrt{x^2} = |x|. En (b), compte les déplacements de la virgule pour l’exposant de 1010, et vérifie que le facteur est dans [1,10[[1, 10[. En (c), arrondis chaque nombre à un chiffre, puis soustrais les exposants de 1010.

  1. (−7)2=|−7|=7\sqrt{(-7)^2} = |-7| = 7 ; (2−9)2=|2−9|=|−7|=7\sqrt{(2 - 9)^2} = |2 - 9| = |-7| = 7.
  2. 0,00058=5,8×10−40{,}00058 = 5{,}8 \times 10^{-4} ; (6×104)⋅(5×10−7)=30×10−3=3×10−2(6 \times 10^{4}) \cdot (5 \times 10^{-7}) = 30 \times 10^{-3} = 3 \times 10^{-2}.
  3. 3,9×1051,9×102≈4×1052×102=2×103\dfrac{3{,}9 \times 10^{5}}{1{,}9 \times 10^{2}} \approx \dfrac{4 \times 10^{5}}{2 \times 10^{2}} = 2 \times 10^{3}.

Écrire x2=x\sqrt{x^2} = x (faux si x<0x < 0) ; laisser 30×10−330 \times 10^{-3} (le facteur doit être dans [1,10[[1, 10[) ; se tromper en soustrayant les exposants de 1010.

Mise en garde✎ Exercice S.7 #Socle · O4 · ★☆☆
  1. Convertir en radians : 60°60°, 90°90°, 120°120°, 270°270°.
  2. Convertir en degrés : π6\dfrac{\pi}{6}, 3π4\dfrac{3\pi}{4}, 3π2\dfrac{3\pi}{2}, 2π2\pi.

Retourne à la théorie du cours : Cercle trigonométrique.

Question à te poser.

À combien de radians correspond un angle plat de 180°180° ?

Étape.

180°180° correspond à π\pi rad. On applique ensuite une règle de troi.

  1. π3\dfrac{\pi}{3}, π2\ \dfrac{\pi}{2}, 2π3\ \dfrac{2\pi}{3}, 3π2\ \dfrac{3\pi}{2}.
  2. 30°30°, 135°\ 135°, 270°\ 270°, 360°\ 360°.
Mise en garde✎ Exercice S.8 #Socle · O4 · ★★☆
  1. Donner cos⁡θ\cos\theta et sin⁡θ\sin\theta pour θ=π6\theta = \dfrac{\pi}{6}, π4\dfrac{\pi}{4}, π3\dfrac{\pi}{3}.
  2. Un point du cercle trigonométrique a pour coordonnées (12,−32)\left(\dfrac{1}{2},\ -\dfrac{\sqrt3}{2}\right). Quel angle θ∈[0,2π[\theta \in [0,\ 2\pi[ ?
  3. Même question pour (0,−1)(0,\ -1).

Retourne à la théorie du cours : Cercle trigonométrique et Angles et valeurs remarquables.

Question à te poser.

Sur le cercle, laquelle des deux coordonnées est le cosinus, laquelle est le sinus ?

Étape.

Le point du cercle d’angle θ\theta est (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta,\ \sin\theta). Compare chaque couple donné à la table des valeurs remarquables, et repère le quadrant.

  1. dans l’ordre de l’énoncé: cos⁡:32,22,12\cos: \dfrac{\sqrt3}{2},\ \dfrac{\sqrt2}{2},\ \dfrac{1}{2} ; sin⁡:12,22,32\sin : \dfrac{1}{2},\ \dfrac{\sqrt2}{2},\ \dfrac{\sqrt3}{2}.
  2. θ=5π3\theta=\dfrac{5\pi}{3}.
  3. θ=3π2\theta = \dfrac{3\pi}{2} : le point (0,−1)(0,\ -1) est tout en bas du cercle, d’abscisse nulle (cos⁡θ=0\cos\theta = 0) et d’ordonnée −1-1 (sin⁡θ=−1\sin\theta = -1), soit trois quarts de tour depuis (1,0)(1, 0).

Confondre π6\dfrac{\pi}{6} et π3\dfrac{\pi}{3} en intervertissant cos\cos (abscisse) et sin\sin (ordonnée).

Mise en garde✎ Exercice S.9 #Socle · O4 · ★★☆
  1. Pour chacun des quatre quadrants, donner les signes de cos⁡θ\cos\theta et de sin⁡θ\sin\theta.
  2. À partir des valeurs remarquables et des symétries, donner cos\cos et sin\sin de 135°135° et de −π6-\dfrac{\pi}{6}.

Retourne à la théorie du cours : Signes et Symétries.

Question à te poser.

Dans quel quadrant cos\cos (resp. sin\sin) est-il positif ? De quel angle remarquable 135°135° est-il le supplémentaire ? Et −π6-\dfrac{\pi}{6}, de quel angle est-il l’opposé ?

Étape.

Pour 135°=180°−45°135° = 180° - 45°, applique cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta et sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(\pi - \theta) = \sin\theta. Pour −π6-\dfrac{\pi}{6}, applique cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta) = \cos\theta et sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta) = -\sin\theta.

  1. Sur le cercle, cos⁡θ\cos\theta est l’abscisse du point (positive à droite de l’axe vertical, négative à gauche) et sin⁡θ\sin\theta son ordonnée (positive au-dessus de l’axe horizontal, négative en dessous). D’où : I : (cos⁡>0,sin⁡>0)(\cos > 0,\ \sin > 0) ; II : (cos⁡<0,sin⁡>0)(\cos < 0,\ \sin > 0) ; III : (cos⁡<0,sin⁡<0)(\cos < 0,\ \sin < 0) ; IV : (cos⁡>0,sin⁡<0)(\cos > 0,\ \sin < 0).
  2. cos⁡(135°)=−22\cos(135°) = -\dfrac{\sqrt2}{2}, sin⁡(135°)=22\sin(135°) = \dfrac{\sqrt2}{2} ; cos⁡(−π6)=32\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt3}{2}, sin⁡(−π6)=−12\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}.

Se tromper de signe selon le quadrant ; confondre la symétrie des angles opposés et celle des supplémentaires.

Mise en garde✎ Exercice S.10 #Socle · O4 · ★★☆
  1. Dans un triangle rectangle en BB avec |AB|=5|AB| = 5, |BC|=12|BC| = 12 et |AC|=13|AC| = 13, calculer sin⁡(BAĈ)\sin(\widehat{BAC}), cos⁡(BAĈ)\cos(\widehat{BAC}) et tan⁡(BAĈ)\tan(\widehat{BAC}).
  2. Exprimer tan⁡θ\tan\theta en fonction de sin⁡θ\sin\theta et cos⁡θ\cos\theta ; pour quels θ\theta n’est-elle pas définie ?
  3. Si cos⁡θ=817\cos\theta = \dfrac{8}{17} et θ∈[0,π2]\theta \in \left[0,\ \tfrac{\pi}{2}\right], calculer sin⁡θ\sin\theta.

Retourne à la théorie du cours : Cercle trigonométrique, Tangente et Périodicité et identité fondamentale.

Question à te poser.

Dans un triangle rectangle, quel rapport de côtés donne le sinus ? le cosinus ? Comment obtient-on la tangente à partir des deux ? Quelle relation lie sin⁡2θ\sin^2\theta et cos⁡2θ\cos^2\theta ?

Étape.

sin⁡=opposéhypoténuse\sin = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}, cos⁡=adjacenthypoténuse\cos = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}, tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}. En (c), tire sin⁡θ\sin\theta de sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 et fixe son signe par le quadrant.

  1. sin⁡(BAĈ)=|BC||AC|=1213\sin(\widehat{BAC}) = \dfrac{|BC|}{|AC|} = \dfrac{12}{13} ; cos⁡(BAĈ)=|AB||AC|=513\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{|AB|}{|AC|} = \dfrac{5}{13} ; tan⁡(BAĈ)=125\tan(\widehat{BAC}) = \dfrac{12}{5}.
  2. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} ; elle n’est pas définie là où cos⁡θ=0\cos\theta = 0, c’est-à-dire pour θ=π2+kπ\theta = \tfrac{\pi}{2} + k\pi (k∈ℤk \in \mathbb{Z}), car on diviserait alors par zéro.
  3. On a que sin⁡2(θ)=1−(817)2=1−64289=225289\sin^2(\theta)=1-\left(\dfrac{8}{17}\right)^2=1-\dfrac{64}{289}=\dfrac{225}{289}. Comme θ\theta est dans le premier quadrant, son sinus est positif. Donc sin⁡θ=225289=1517\sin\theta = \sqrt{\tfrac{225}{289}} = \dfrac{15}{17}.

Inverser côté opposé et côté adjacent ; oublier le signe donné par le quadrant en (c).

Terminé avant la fin ? Passe au Transfert.