Avant de commencer
Aujourd’hui, on construit une méthode pour mettre un problème en équation, le résoudre et contrôler la réponse.
Avec tes mots : quand tu lis un énoncé de problème, par quoi commences-tu ?
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Mettre en équation
Un exemple pour construire la méthode
Un flacon de sérum contient 500 mL. Après 3 heures de perfusion à débit constant, il reste 140 mL dans le flacon.
Quel est le débit de la perfusion ?
On va construire la réponse, une étape à la fois.
Étape 1 — l’inconnue
1 Que cherche-t-on, et dans quelle unité ?
La question posée désigne l’inconnue.
Soit d le débit de la perfusion, en mL/h.
Nommer l’inconnue et son unité évite de mélanger ensuite des heures, des minutes, des mL et des L.
Étape 2 — traduire
2 Quelle égalité l’énoncé décrit-il ?
On traduit morceau par morceau, dans l’ordre des mots.
En 3 heures, le flacon perd 3d mL. Il en reste 140. Donc l’équation est
500 - 3d = 140.
Les deux membres de l’équation sont en mL.
Étape 3 — résoudre
3 Quelles transformations appliquer aux deux membres ?
500 - 3d = 140 \;\Leftrightarrow\; -3d = -360 \;\Leftrightarrow\; d = 120.
On applique la même transformation aux deux membres, à chaque étape : \mathrm{Sol} = \{120\}.
Étape 4 — contrôler
4 La solution a-t-elle un sens dans le contexte ?
Vérification : 500 - 3 \cdot 120 = 500 - 360 = 140. ✓
Admissibilité : un débit est positif, et il ne peut pas vider plus que le flacon en 3 heures, donc 3d \le 500. Avec d = 120, on a 360 \le 500. ✓
Étape 5 — répondre
5 Qu’écrit-on comme réponse ?
La perfusion a un débit de 120 mL/h.
On répond à la question posée, par une phrase, avec l’unité. Le nombre 120 seul ne suffit pas.
Le piège à connaître
Traduire l’énoncé dans le mauvais ordre (3(x + 4) pour « le triple, augmenté de 4 ») ; oublier l’unité de l’inconnue ; accepter une solution sans vérifier qu’elle a un sens dans le contexte.
La carte « Mettre un problème en équation »
C’est la page qui t’attend sur ta feuille de méthode — même squelette, tu la remplis en même temps.
Mettre un problème en équation O1
Exercices associés (numéros)
à noter toi-même
Théorie associée (chapitre / slide)
à noter toi-même
Quand l’utiliser ?
Dès qu’un énoncé décrit une situation par des mots et demande une valeur inconnue.
Étapes
- Inconnue : repère la question posée, nomme l’inconnue et son unité.
- Traduire : écris chaque relation, morceau par morceau, dans l’ordre des mots ; vérifie que les deux membres ont la même unité.
- Résoudre : applique la même transformation aux deux membres.
- Contrôler : vérifie la solution dans l’équation et son admissibilité (signe, domaine, ordre de grandeur).
- Répondre : une phrase, avec l’unité.
Exemple
Flacon de 500 mL, 140 mL restants après 3 h. Soit d le débit (mL/h) : 500 - 3d = 140, donc d = 120. Vérification : 500 - 360 = 140 ✓. Le débit vaut 120 mL/h.
Le piège
Traduire dans le mauvais ordre ; oublier l’unité ; accepter une solution sans vérifier qu’elle a un sens.
Méthode 2 : résoudre un système linéaire
Avant de commencer
Deux inconnues, deux équations : comment s’y prendre ?
Avec tes mots : comment ramener un système à une équation à une seule inconnue ?
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Systèmes
Notre fil rouge
Un laboratoire dispose de 30 tubes de prélèvement, les uns de 5 mL, les autres de 10 mL. Remplis, ils contiennent 200 mL au total.
Combien y a-t-il de tubes de chaque sorte ?
Comme pour la méthode précédente, on procède par morceaux.
Étape 1 — poser le système
1 Quelles inconnues, et quelles équations ?
Deux inconnues demandent deux équations.
Soit x le nombre de tubes de 5 mL et y le nombre de tubes de 10 mL.
\begin{cases} x + y = 30 & (1) \quad \text{nombre de tubes} \\ 5x + 10y = 200 & (2) \quad \text{volume, en mL} \end{cases}
Étape 2 — se ramener à une inconnue
2 Substitution ou élimination ?
Substitution : dans (1), le coefficient de x vaut 1, donc x = 30 - y. On remplace dans (2) : 5(30 - y) + 10y = 200 \;\Leftrightarrow\; 150 + 5y = 200 \;\Leftrightarrow\; y = 10.
Élimination : on multiplie (1) par -5, puis on additionne à (2) terme à terme : -5x - 5y + 5x + 10y = -150 + 200, soit 5y = 50. Même résultat.
Étape 3 — remonter et vérifier
3 Comment obtenir l’autre inconnue, et comment être sûr du couple ?
On reporte dans x = 30 - y : x = 20. Donc \mathrm{Sol} = \{(20,\, 10)\}.
Vérification dans les deux équations : 20 + 10 = 30 ✓ et 5 \cdot 20 + 10 \cdot 10 = 100 + 100 = 200 ✓.
Il y a 20 tubes de 5 mL et 10 tubes de 10 mL.
Étape 4 — une seule solution, aucune, ou une infinité ?
4 Et si tous les tubes contenaient 5 mL ?
Le système devient \begin{cases} x + y = 30 \\ 5x + 5y = 200 \end{cases}.
En retranchant 5 fois (1) de (2), on obtient 0 = 50 : égalité toujours fausse. Aucune solution, \mathrm{Sol} = \varnothing : les droites sont parallèles. Trente tubes de 5 mL ne font que 150 mL.
Avec 5x + 5y = 150, on obtiendrait 0 = 0 : égalité toujours vraie, une infinité de solutions, droites confondues.
Le piège à connaître
Donner un seul nombre au lieu d’un couple ; ne vérifier qu’une des deux équations ; en élimination, ne multiplier qu’un membre de l’équation ; lire « 0 = 0 » comme « x = 0 ».
La carte « Résoudre un système linéaire »
Résoudre un système linéaire O2
Exercices associés (numéros)
à noter toi-même
Théorie associée (chapitre / slide)
à noter toi-même
Quand l’utiliser ?
Dès qu’il faut trouver plusieurs inconnues satisfaisant plusieurs équations en même temps.
Étapes
- Poser : une inconnue par grandeur (avec son unité), une équation par relation ; numérote-les.
- Se ramener à une inconnue : substitution (isoler, remplacer) ou élimination (coefficients opposés, addition terme à terme).
- Remonter : reporte la valeur trouvée pour obtenir l’autre inconnue ; vérifie le couple dans les deux équations.
- Conclure : une valeur par inconnue → une solution ; égalité toujours fausse → \mathrm{Sol} = \varnothing ; égalité toujours vraie → une infinité.
Exemple
30 tubes, de 5 et 10 mL, pour 200 mL : x + y = 30 et 5x + 10y = 200. Substitution : x = 30 - y, 150 + 5y = 200, donc y = 10 et x = 20. \mathrm{Sol} = \{(20,\, 10)\}.
Le piège
Donner un seul nombre au lieu d’un couple ; ne vérifier qu’une équation ; lire « 0 = 0 » comme « x = 0 ».
