Séance 2 — Calcul fiable et trigonométrie

IMSV · Introduction Mathématique aux Sciences de la Vie — séance d’exercices

Quentin Lambotte · FMPB · UMONS

28 septembre 2026

Présentation

Le déroulé de la séance

Temps Durée Ce qu’on y fait
1 · Échauffement 10 min Quatre questions rapides projetées. Tu réponds sur papier, puis on vote.
2 · Socle 35 min Les exercices de base, à ton rythme, en t’auto-corrigeant sur un site.
3 · Pause 10 min On souffle, on prend un café, …
4 · Transfert 35 min Des problèmes en contexte. Ici le travail avec les voisin·es est conseillé.
5 · Méthode 20 min On dégage ensemble une ou deux méthodes réutilisables.

La gestion du bruit

Travail autonome

Seul ou avec tes voisin·es : le bruit est normal, mais il doit rester contenu.

Travail collectif

Quand je reprends la parole, j’ai besoin d’un silence complet.

Le niveau sonore projeté reste affiché pendant les moments de travail :

  • Bleu — c’est bon, on continue.
  • Rouge, signalé par un gong — on baisse le volume d’un cran.

Seul·es tes voisin·es doivent t’entendre. Avec environ 400 étudiant·es dans la salle, quelques conversations de trop suffisent à rendre le travail impossible pour tout le monde.

Annonces

Remédiations:

  • Remédiations thématiques:
    • Biomed: mardi, sur la logique
    • Bio+Biomed: mercredi, sur le calcul fiable
    • Pharma: jeudi, sur le calcul fiable
  • Séance Q/R:
    • Vous pouvez venir et on répondra à toutes vos questions ;-)

Tests de positionnement scientifique

  • Test de positionnement (chimie, bio, physique, math): consultez les valves!!
    • réalisez le test sur UMOOC (le correctif est disponible en ligne)
    • une séance QR mardi soir pour répondre à vos questions
    • Possibilité de réserver un sandwich.

Examen blanc

  • Examen blanc: 26 octobre. Ne compte pas dans la note finale; le but est de voir où on en est et vous donner une idée de l’examen.

Échauffement

Les questions

Q1 O1 — calculer 2 + 3 \cdot 4^2.

Q2 O2 — après une hausse de 50\,\%, un prix vaut 90 €. Quel était le prix initial ?

Q3 O3 — estimer \dfrac{6{,}2 \times 10^{7}}{2{,}9 \times 10^{3}}.

Q4 Séance 1 · O2 — voici les valeurs de vérité de \alpha, \beta et d’une proposition cachée « ? ». Est-ce \alpha \Rightarrow \beta ou \beta \Rightarrow \alpha ?

\alpha \beta ?
V V V
V F V
F V F
F F V

Vote sur Wooclap

Code : UDXTFEY

05:00

Q1 O1

Calculer :

2 + 3 \cdot 4^2

2 + 3 \cdot 4^2 = 2 + 3 \cdot 16 = 2 + 48 = 50.

On évalue d’abord la puissance, puis la multiplication, et enfin l’addition. Additionner d’abord donnerait 5 \cdot 16 = 80 : c’est l’erreur classique.

Q2 O2

Après une hausse de 50\,\%, un prix vaut 90 €. Quel était le prix initial ?

Une hausse de 50\,\% multiplie par 1{,}5 : 1{,}5\,x = 90, donc x = 60 €.

Retirer 50\,\% de 90 pour trouver 45 est l’erreur classique : le pourcentage porte sur la valeur initiale, pas sur la valeur finale.

Q3 O3

Estimer :

\dfrac{6{,}2 \times 10^{7}}{2{,}9 \times 10^{3}}

On arrondit chaque nombre à un chiffre : \dfrac{6 \times 10^{7}}{3 \times 10^{3}} = 2 \times 10^{7-3} = 2 \times 10^{4}.

Dans un quotient, les exposants de 10 se soustraisent.

Q4 Séance 1 · O2

\alpha \beta ?
V V V
V F V
F V F
F F V

« ? » est-il \alpha \Rightarrow \beta ou \beta \Rightarrow \alpha ?

Une implication est un contrat. Avec \alpha : « je réussis ma bac 1 » et \beta : « j’invite mes parents au resto », \alpha \Rightarrow \beta dit : si je réussis, j’invite mes parents.

Le contrat n’est rompu que dans un seul cas : \alpha vrai et \beta faux (je réussis, mais je n’invite pas). Si j’échoue, le contrat ne m’oblige à rien : il n’est pas rompu, que j’invite ou non.

\beta \Rightarrow \alpha.

« ? » n’est faux que sur la ligne \alpha = F, \beta = V. Pour \beta \Rightarrow \alpha, c’est bien le cas où le contrat est rompu : \beta vrai, \alpha faux. Pour \alpha \Rightarrow \beta, il serait rompu sur la ligne \alpha = V, \beta = F, où « ? » vaut pourtant V.

Institutionnalisation

Avant de commencer

Aujourd’hui, on construit une méthode pour contrôler un résultat.

Avec tes mots, essaye de donner des moyens pour contrôler un résultat.

▶

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Code : OSMKPOP

Contrôler

Un exemple pour construire la méthode

Combien de globules rouges, de diamètre environ 7\,\mu\text{m}, peut-on aligner côte à côte sur 1\,\text{mm} ?

Un·e étudiant·e répond :

\dfrac{1}{7} \approx 0{,}14

On va contrôler ce résultat, une vérification à la fois.

Étape 1 — l’ordre de grandeur

1 À peu près combien s’attend-on à trouver ?

On arrondit à un chiffre et on travaille avec des puissances de dix : 1\,\text{mm} = 10^{3}\,\mu\text{m}.

\dfrac{10^{3}}{7} \approx 10^{2} : on attend une centaine de globules rouges.

Le résultat annoncé, 0{,}14, est environ mille fois trop petit.

Étape 2 — les unités

2 Les unités se combinent-elles correctement ?

On divise des millimètres par des micromètres : ce ne sont pas les mêmes unités.

Il faut d’abord convertir : \dfrac{1000\,\mu\text{m}}{7\,\mu\text{m}} \approx 143. Les \mu\text{m} se simplifient : le résultat est un nombre de globules rouges, sans unité.

L’erreur venait de la conversion oubliée : un facteur 1000.

Étape 3 — le sens

3 Le résultat va-t-il dans la direction attendue ?

Un globule rouge est bien plus petit que 1\,\text{mm}.

Il doit donc y en avoir beaucoup, et en tout cas plus qu’un. Un résultat inférieur à 1 est absurde : on ne peut pas aligner « 0{,}14 globule ».

Ce contrôle seul suffisait à détecter l’erreur, sans refaire le calcul.

Le piège à connaître

Piège

Oublier de convertir dans une unité commune avant d’additionner ou de comparer.

La carte « Contrôler un résultat »

C’est la page qui t’attend sur ta feuille de méthode — même squelette, tu la remplis en même temps.

Contrôler un résultat O3

Exercices associés (numéros)

à noter toi-même

Théorie associée (chapitre / slide)

à noter toi-même

Quand l’utiliser ?

Avant d’accepter tout résultat de calcul — surtout dans un problème, où une erreur d’unité ou de sens passe vite inaperçue.

Étapes

  1. Ordre de grandeur : arrondis chaque donnée à un chiffre, calcule les puissances de dix, et compare l’estimation à ton résultat.
  2. Unités / dimensions : vérifie que les unités se combinent correctement et que le résultat porte la bonne unité.
  3. Sens : le résultat va-t-il dans la direction attendue — plus grand ou plus petit, bon signe, contrainte respectée ?

Exemple

Combien de globules rouges de 7\,\mu\text{m} sur 1\,\text{mm} ? Le résultat 0{,}14 est mille fois trop petit par rapport à \dfrac{10^{3}}{7} \approx 10^{2}, vient d’une conversion oubliée, et est inférieur à 1 : absurde.

Le piège

Oublier de convertir dans une unité commune avant d’additionner ou de comparer.

Cette fiche rejoint ta boîte à outils sur le site.

Méthode supplémentaire: Changer d’écriture et manier les pourcentages

Notre fil rouge

Une culture compte 200 bactéries. Elle augmente de 30\,\% le premier jour, puis diminue de 30\,\% le second.

Combien de bactéries à la fin ? De combien a-t-elle varié au total ?

Comme pour contrôler, on procède par morceaux, sans se presser.

Étape 1 — écrire le pourcentage comme un nombre

1 Sous quelle forme écrire 30\,\% ?

Fraction, décimal et pourcentage décrivent la même valeur. Pour comparer, on les ramène à une écriture commune.

30\,\% = \dfrac{30}{100} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3.

Par exemple, 30\,\% est plus grand que \dfrac{1}{4}, car 0{,}3 > 0{,}25.

Étape 2 — multiplier

2 Augmenter ou diminuer de p\,\%, est-ce ajouter ou multiplier ?

Multiplier. Augmenter de 30\,\%, c’est multiplier par 1 + 0{,}3 = 1{,}3 ; diminuer de 30\,\%, c’est multiplier par 1 - 0{,}3 = 0{,}7.

Après le premier jour : 200 \cdot 1{,}3 = 260.

Étape 3 — composer

3 Comment enchaîner les deux variations ?

Des pourcentages successifs se composent par multiplication, pas par addition.

200 \cdot 1{,}3 \cdot 0{,}7 = 260 \cdot 0{,}7 = 182.

Le facteur global est 1{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}91 = 1 - 0{,}09 : une baisse de 9\,\%, et non un retour à 200.

Étape 4 — retrouver la valeur initiale

4 Comment remonter à la valeur de départ ?

Un autre jour, après une baisse de 30\,\%, la culture compte 140 bactéries. Combien en comptait-elle au départ ?

On écrit l’équation 0{,}7\,x = 140, donc x = 200.

On ne calcule pas 30\,\% de 140 : le pourcentage porte sur la valeur initiale.

Le piège à connaître

Piège

Comparer deux écritures sans les ramener à une forme commune ; additionner des pourcentages successifs (+30 - 30 = 0) ; appliquer le pourcentage à la valeur finale au lieu de l’initiale.

La carte « Pourcentages »

Changer d’écriture et manier les pourcentages O2

Exercices associés (numéros)

à noter toi-même

Théorie associée (chapitre / slide)

à noter toi-même

Quand l’utiliser ?

Dès qu’on passe d’une écriture à une autre (fraction, décimal, pourcentage), qu’on compare de telles écritures, ou qu’on augmente / diminue / enchaîne des pourcentages.

Étapes

  1. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100 : \dfrac{p}{100}. Pour comparer, ramène tout à une écriture commune.
  2. Augmenter de p\,\% = multiplier par \left(1 + \tfrac{p}{100}\right) ; diminuer = multiplier par \left(1 - \tfrac{p}{100}\right).
  3. Des pourcentages successifs se composent par multiplication, pas par addition.
  4. Pour retrouver la valeur initiale x menant à y, résous \left(1 \pm \tfrac{p}{100}\right) x = y.

Exemple

Hausse de 30\,\% puis baisse de 30\,\% : \times 1{,}3 \times 0{,}7 = 0{,}91, soit une baisse de 9\,\%. Après une baisse de 30\,\% menant à 140 : 0{,}7\,x = 140, donc x = 200.

Le piège

Comparer deux écritures sans forme commune ; additionner des pourcentages successifs ; appliquer le pourcentage à la valeur finale.

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