Séance 1 — Langage et raisonnement

IMSV · Introduction Mathématique aux Sciences de la Vie — séance d’exercices

Quentin Lambotte · FMPB · UMONS

21 septembre 2026

Présentation

Le déroulé de la séance

Temps	Durée	Ce qu’on y fait
1 · Échauffement	10 min	Trois questions rapides projetées. Tu réponds sur papier, puis on vote.
2 · Socle	35 min	Les exercices de base, à ton rythme, en t’auto-corrigeant sur un site.
3 · Pause	10 min	On souffle, on prend un café, …
4 · Transfert	35 min	Des problèmes en contexte. Ici le travail avec les voisin·es est conseillé.
5 · Méthode	20 min	On dégage ensemble une ou deux méthodes réutilisables.

Comment on travaille ensemble

Deux modes de travail:

Travail autonome

Seul ou avec tes voisin·es — parler, comparer une réponse, discuter un indice, … Ce mode de travail engendrera du bruit: on s’entraînera pour le canaliser.

Travail collectif

Ce sont les moments où je reprends la parole. Lors de ces moments, j’ai besoin d’un silence complet. Ces moments seront les plus courts possibles.

Une seule règle à retenir : seul·es tes voisin·es doivent t’entendre. On est nombreux. On verra lorsqu’on parlera d’exponentielles et de logarithmes que l’accumulation de bavardage mène vite à un bruit incompatible avec le travail. On veillera donc à maintenir le volume sonore à un niveau raisonnable.

L’outil qui affiche le niveau sonore

Pendant les moments de travail, un niveau sonore projeté tourne en fond sur l’écran. Deux niveaux seulement, et un signal qui ne demande pas de regarder l’écran en continu :

Bleu — c’est bon, on continue.
Rouge, signalé par un gong — on baisse le volume d’un cran.

Le gong est là pour nous donner un repère, car il est difficile de se rendre compte que le volume est trop haut.

Nous allons calibrer ensemble l’appli.

On sera cinq pour vous accompagner

Cinq enseignant·es, pour environ 400 étudiant·es. Conséquences:

l’attention qu’on peut vous donner individuellement est comptée;
la séance demande, en retour, davantage d’autonomie que ce à quoi vous êtes peut-être habitué·es.

Ça peut déstabiliser au début. C’est voulu, et voici pourquoi : les mathématiques s’apprennent comme un langage — en le pratiquant, en se trompant, en corrigeant. Personne n’apprend une langue en écoutant seulement quelqu’un la parler. Le but n’est pas de vous laisser seul·es face à la difficulté, mais de vous préparer à vous en sortir par vous-même — à l’examen, vous serez seul·es face aux questions.

Ce qu’on fait — et ce qu’on ne fait pas

On ne donne pas de mini-cours. Si un point de théorie manque, on te renvoie vers elle plutôt que de la refaire.
On ne fait pas l’exercice à ta place. On te pose des questions, pour que ce soit ton raisonnement qui avance — pas le nôtre.
On répondra à « je ne comprends pas » par une question, pas par la solution. L’objectif : que tu apprennes, progressivement, à t’en sortir seul.

Tu n’es pas laissé·e sans ressource pour autant. Les leviers : les indices du site (trois niveaux, avant la solution), ton voisin, les assistant·es qui te guident, la remédiation si les bases manquent, les méthodes qu’on dégage en fin de séance — et, si un blocage touche tout le monde, une mise au point collective, ponctuelle, faite par moi.

Le site de la séance

Exercices, indices à trois niveaux, corrections, méthodes : tout est sur le site, accessible pendant toute la séance et après.

Échauffement

Les questions

Q1 O3 — « x \ge 0 » : proposition ou prédicat ?

Q2 O1 — traduire « -7 est un entier ».

Q3 O2 — nier \forall\, x \in \mathbb{R},\ x^2 > 0.

Vote sur Wooclap

Code : MSKHLGY

04:00

Q1 O3

On considère l’énoncé :

« x \ge 0 »

Est-ce une proposition (on peut dire, tel quel, si c’est vrai ou faux) ou un prédicat (ça dépend d’une lettre) ?

Prédicat. La valeur de vérité dépend de x : vrai pour x = 2, faux pour x = -3. Tant qu’on n’a pas fixé x, on ne peut pas trancher.

Q2 O1

Comment traduire en langage formel :

« -7 est un entier »

-7 \in \mathbb{Z}.

On parle d’un élément (-7) qui appartient à un ensemble (\mathbb{Z}) : c’est \in, pas \subseteq. On écrirait \subseteq pour une relation entre deux ensembles, comme \mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z}.

Q3 O2

Quelle est la négation de :

\forall\, x \in \mathbb{R},\ x^2 > 0

\exists\, x \in \mathbb{R},\ x^2 \le 0.

Le \forall devient \exists, et la négation de « > 0 » est « \le 0 » — le cas d’égalité compte.

Institutionnalisation

Comment fabriquer une méthode

Pour fabriquer une méthode, il n’y a rien à inventer : on récupère dans le cours et les exercices les gestes qui reviennent, et on les met en ordre.

Aujourd’hui, on construit une méthode pour nier une proposition.

Avec tes mots, essaye de donner des étapes pour nier une proposition.

▶

Ouvre le Wooclap — Nier. Trois questions ouvertes, une par étape.

Code : MQTNSRK

Nier

Un exemple pour construire la méthode

On veut nier cette proposition :

\forall\, e,\ \big(e > 0 \Rightarrow e^2 > 0\big)

On va la nier de l’extérieur vers l’intérieur, une couche à la fois.

Étape 1 — repérer la structure

1 Quel est le connecteur principal, et quels quantificateurs l’entourent ?

Avant de nier quoi que ce soit, on regarde comment l’énoncé est construit.

Ici : un \forall posé autour d’une implication (\Rightarrow).

Étape 2 — faire entrer la négation, une couche à la fois

2.1 On nie le quantificateur

La négation d’un \forall est un \exists

\lnot\Big(\forall\, e,\ (e>0 \Rightarrow e^2>0)\Big) \iff \exists\, e,\ \lnot\big(e>0 \Rightarrow e^2>0\big)

2.2 On nie maintenant l’implication.

\lnot(\alpha \Rightarrow \beta) \iff \alpha \land \lnot\beta.

Une implication n’est fausse que dans un seul cas : prémisse vraie, conclusion fausse. Donc :

\exists\, e,\ \lnot(e>0 \Rightarrow e^2>0) \iff \exists\, e,\ \big(e>0 \ \land\ \lnot(e^2>0)\big)

Étape 3 — nier les propositions sans quantificateurs ni connecteurs

3 Il ne reste qu’à nier ce qui n’a plus ni connecteur ni quantificateur.

Les négations « de base » : = devient \ne, < devient \ge, > devient \le et \in devient \notin.

\lnot(e^2 > 0) \iff e^2 \le 0.

On aboutit à :

\exists\, e,\ \big(e > 0 \ \land\ e^2 \le 0\big)

Le piège à connaître

Piège

Deux erreurs classiques : garder le même quantificateur en niant (laisser un \forall là où il faut un \exists) ; et nier une inégalité stricte par une autre stricte — la négation de > n’est pas <, mais \le. On oublie le cas d’égalité.

Conclusion

Ce qui vous reste à faire

Mettre au propre les méthodes — celle d’aujourd’hui, et les autres sur le site web. Ce sont des outils précieux pour l’examen.
Terminer le socle et le transfert.
Faire quelques exercices de renforcement pour consolider.

Bon travail et bonne semaine. 😃

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